11.1整式的乘法（第2课时单项式乘单项式、单项式乘整式、整式乘整式）（讲义，3大知识点&11大题型&刷好题）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦整式乘法核心知识点，系统梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，以幂运算为基础，通过乘法分配律延伸构建知识体系，提供法则分步讲解、面积模型推导等学习支架。 资料亮点在于注重算理理解，借助几何面积模型推导法则培养几何直观，通过乘法分配律关联三类运算发展推理意识，设置图形面积计算、杨辉三角规律探究等题型强化模型意识，随学随练与分层练习助力课中教学与课后巩固。

第十一章 整式的乘除 11.1 整式的乘法（第2课时单项式乘单项式、单项式乘整式、整式乘整式） 课标要点 1.认识单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算意义，掌握三类整式乘法的核心运算法则，能准确梳理运算步骤，规范完成各类整式乘法的基础运算。 2. 能借助长方形面积模型自主推导三类整式乘法的运算法则，准确辨析不同乘法运算的结构特征，能基于乘法分配律解释运算的算理，建立 “幂运算为基础→乘法分配律延伸→整式乘法体系” 的认知逻辑。 3. 能基于整式乘法的知识解决几何图形面积表示、实际问题的数量关系化简、代数式子变形等问题，能在混合运算中合理运用运算律简化过程，解释运算结果的实际含义。 学习重难点 重点： 1.单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则内容与基础规范运算。 2.乘法分配律在整式乘法中的应用，多项式乘多项式的逐项相乘规则与项数把控。 难点： 1.基于乘法分配律理解三类整式乘法的内在联系，建立 “系数运算、同底数幂运算分级处理” 的运算思维模型，厘清不同运算的操作逻辑。 2. 多项式乘法运算中的符号处理，避免漏乘、错乘，准确处理含负号的整式乘法运算。 3. 整式乘法混合运算的顺序把控，结合几何场景的综合应用与代数式的逆向变形。 知识点 单项式乘单项式 1．法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。 (1)积的系数等于各因式系数的积. (2)相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照"底数不变，指数相加”计算. (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式. (4)单项式乘单项式的结果仍然是单项式 2．推广：对于三个以上的单项式相乘同样适用。 凡在单项式里出现过的字母，在它的计算结果里也应全部出现． 1．单项式乘单项式的计算步骤 第一步：系数相乘，结果作为积的系数。 第二步：同底数幂相乘，结果作为积的因式。 第三步：只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2．单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按＂先乘方、再乘法＂的顺序进行。 随学随练 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】解：． 2．计算：________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方公式计算原式第一个括号，再根据单项式乘单项式即可得答案． 【详解】解： 3．________． 【答案】 【详解】解：． 知识点 单项式乘整式 1．法则：单项式乘整式，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加。 2．符号表示：。 单项式与整式相乘应注意以下几点： （1）运算法则中的＂每一项＂包含其运算符号； （2）单项式乘整式，其积为整式，积的项数与原多项式（没有同类项）的项数相同； （3）积中符号的确定与去括号法则基本相同，括号前的单项式系数为正数时，去括号后整式各项的符号都不变，否则都改变； （4）对混合运算，应注意运算顺序，结果有同类项的要合并。 整式的混合运算顺序 要先确定题目中有哪几种运算，然后按先乘方，再乘法，最后加减的运算顺序进行运算，如果有括号，先算括号里面的． 随学随练 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用单项式乘多项式的运算法则展开计算即可得到结果. 【详解】解： . 2．计算的结果是______． 【答案】/ 【分析】根据单项式乘多项式法则计算求解即可． 【详解】解：． 3．计算的结果为________． 【答案】 【详解】解：． 知识点 整式乘整式 1．法则 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式中的每一项，再把所得的积相加． 2．符号表示 3．在进行整式相乘运算时应注意的问题． （1）要用一个整式中的每一项分别乘另一个整式中的每一项，不能遗漏． （2）两整式相乘的结果仍是整式，在没有合并同类项之前，所得积的项数应为两个整式的项数的积，如 的结果应为（项）．这也是检查相乘后有无漏乘的一般方法． （3）注意整式乘法运算过程中的符号问题。整式中的每一项均包括它前面的符号，计算时要细心。 （4）整式相乘的结果中若有同类项，应合并，使结果最简，并且最终结果一般都按照某个字母降幂（或升幂）排列，这样符合规范性要求。 4．含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一字母的二次三项式． 如。它的二次项由两个因式中的一次项相乘得到，积的一次项是由两个因式中的常数项分别乘另一个因式中的一次项后，合并同类项得到，积的常数项是两个因式中常数项的积。若两个因式中的一次项系数均为 1 ，两个常数项分别用a, b表示，则这一规律可表达为 ． 随学随练 1．化简：________． 【答案】 【详解】解：． 2．计算： 【答案】 【详解】解：， ， ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型1 计算单项式乘单项式 ▌例1（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、同底数幂相乘、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了幂的运算，单项式乘单项式，多项式乘多项式． （1）根据积的乘方计算和，再进行单项式乘法运算即可； （2）先计算系数的乘积，再计算同底数幂的乘积，最后将系数与幂相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． ▌对点练1-1（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． ▌对点练1-2计算：_________________． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了单项式乘单项式．根据单项式乘单项式法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． ▌对点练1-3计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法和加法运算即可得到结果． 【详解】解：原式 【点睛】此题考查了整式的加法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ▌对点练1-4）已知：，求的值． 【答案】5 【知识点】同底数幂相乘、计算单项式乘单项式 【分析】已知等式左边利用单项式乘以单项式法则计算，根据单项式相等的条件即可求出m与n的值，进而求出m+n的值． 【详解】原式=，由此可得， 可解得， 所以，． 【点睛】此题考查了单项式乘以单项式法则，以及同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 ▌例2先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则． 【详解】解： 当，时， 原式 ． ▌对点练2-1先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． ▌对点练2-2先化简，再求值，其中． 【答案】， 【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法，接着合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． ▌对点练2-3已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 【答案】18 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵代数式的值是7， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 题型3 计算单项式乘整式及求值 ▌例3（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． ▌对点练3-1（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了多项式乘单项式，先运算多项式乘单项式，再合并同类项，得． 【详解】解： ． ▌对点练3-2（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘整式及求值 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以整式运算，熟记整式乘法运算法则是解决问题的关键． 先计算积的乘方运算，再由单项式乘以整式运算展开即可得到答案． 【详解】解： ． ▌对点练3-3（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________． 【答案】 【知识点】计算单项式乘整式及求值 【分析】本题考查整式与单项式的乘法运算，运用分配律将单项式分别乘以整式中的每一项，再计算系数和变量的乘积． 【详解】原式 ． 故答案为 ． ▌对点练3-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘整式及求值、计算整式乘整式 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键． 先进行乘法运算，然后去括号，最后合并同类项即可解答． 【详解】解： ． ▌对点练3-5（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】单项式乘整式的应用、计算整式乘整式 【分析】本题主要考查了整式乘以整式，单项式乘以整式，根据整式乘以整式和单项式乘以整式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 题型4 利用单项式乘整式求字母的值 ▌例4设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用、利用单项式乘整式求字母的值 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． ▌对点练4-1若的展开式中不含项，则的值是______． 【答案】4 【知识点】利用单项式乘整式求字母的值 【分析】本题主要考查了整式乘法中的无关型问题，先根据整式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． ▌对点练4-2若对任意都成立，则______． 【答案】1 【知识点】利用单项式乘整式求字母的值 【分析】本题主要考查单项式乘整式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘整式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． ▌对点练4-3已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【知识点】利用单项式乘整式求字母的值 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B ▌对点练4-4若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【知识点】利用单项式乘整式求字母的值 【分析】利用单项式乘整式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解． 【详解】解： ， 结果中不含有项， ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘整式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则． 题型5 计算整式乘整式 ▌例5（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【答案】 【知识点】计算整式乘整式 【分析】本题主要考查整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式是解题的关键；根据整式乘法的运算法则，将两个整式的每一项分别相乘，再合并同类项即可． 【详解】解：； 故答案为． ▌对点练5-1（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】计算整式乘整式 【分析】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：整式乘整式法则，平方差公式，去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 原式利用整式乘整式及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． ▌对点练5-2（25-26七年级上·上海·期中）已知，则________． 【答案】 【知识点】计算整式乘整式 【分析】本题考查了整式乘以整式法则，能正确根据法则展开是解题的关键； 通过展开左边整式，与右边整式比较系数，求出和的值，再计算它们的和． 【详解】∵左边， 右边， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ▌对点练5-3（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】计算整式乘整式 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先进行乘法运算，然后去括号，最后合并同类项即可解答． 【详解】解： ． ▌对点练5-4（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知二次三项式的一个因式是，则常数______． 【答案】 【知识点】计算整式乘整式 【分析】本题考查了整式乘整式．由于已知一个因式，可设另一个因式为一次式，通过因式分解与整式乘法的互逆关系，比较系数求解，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，设另一个因式为， 则， 展开右边：， 则， ∴，， 解得， 则， ∴， 故， 故答案为：． 题型6 （x+p）（x+q）型整式乘法 ▌例6（25-26七年级上·上海崇明·期中）若，则____________． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型整式乘法 【分析】本题主要考查了整式乘以整式，根据整式乘以整式的法则可得：，因为，所以，通过比较两边整式的系数，建立方程求解． 【详解】解： ， ， ， 可得： 、， 解得： 故答案为：． ▌对点练6-1（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型整式乘法 【分析】本题考查了因式分解，根据已知条件，将 p 和 q 代入整式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴ 整式为， ∴． 即因式分解结果为． 故选：B． ▌对点练6-2（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型整式乘法 【分析】本题主要考查了整式乘以整式的运算，直接根据整式乘以整式的运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． ▌对点练6-3（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】（x+p）（x+q）型整式乘法 【分析】本题考查整式乘法的展开和系数比较，是基础题． 通过展开右侧的因式形式，比较整式系数，即可得出和的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， 比较系数得：，． 故选：B． ▌对点练6-4若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【知识点】（x+p）（x+q）型整式乘法 【分析】此题考查了整式乘整式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 运用整式乘整式的计算方法进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 题型7 已知整式乘积不含某项求字母的值 ▌例7（25-26七年级上·上海·期末）若的展开式中不含x的一次项，则_____． 【答案】 【知识点】已知整式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式乘以整式，通过整式乘法，确定展开式中x的一次项系数，并令其为零求解． 【详解】解：的展开式中，的一次项由与相乘、与相乘得到， 即的一次项系数为：， 因不含的一次项， 故， 解得． 故答案为． ▌对点练7-1（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知整式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． 【答案】1 【知识点】已知整式乘积不含某项求字母的值 【分析】根据整式乘整式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为，列式求解得到a和b的值，即可求得的值． 【详解】解： ∵整式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为， ∴，， 解得：，， ∴． ▌对点练7-2（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． 【答案】 【知识点】已知整式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查整式与整式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． ▌对点练7-3（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是_____． 【答案】 【知识点】已知整式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了整式乘整式法则，以及已知整式乘积不含某项求字母的值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将整式展开并合并同类项，根据条件“不含二次项”和“含一次项”建立方程求解即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 又∵含有x的一次项， ∴，即， ∴， 故答案为：． ▌对点练7-4（25-26七年级上·上海·期中）与一个关于x的二项式相乘，乘积中不出现一次项，则a的值为________． 【答案】 【知识点】已知整式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了整式的乘法． 将二次三项式与二项式相乘，展开后合并同类项，令一次项系数为零，求解的值即可． 【详解】解： ∵乘积中不出现一次项， ∴一次项系数为零，即， 解得． 故答案为：． ▌对点练7-5（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【知识点】已知整式乘积不含某项求字母的值 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据整式乘以整式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的系数为0，求出的值即可． 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 题型8 整式乘整式——化简求值 ▌例8（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是________． 【答案】20 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式乘整式——化简求值 【分析】本题考查了整式乘以整式，求代数式的值等知识﹒根据得到，计算得到变形为整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴﹒ 故答案为：20 ▌对点练8-1（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】整式乘整式——化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据整式乘以整式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． ▌对点练8-2（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 __． 【答案】9 【知识点】整式乘整式——化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式乘以整式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． ▌对点练8-3先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【知识点】整式乘整式——化简求值 【分析】本题考查了整式的乘法运算化简求值，先利用整式乘整式和单项式乘整式法则去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型9 整式乘整式与图形面积 ▌例9（25-26七年级上·上海宝山·期末）如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 【答案】A 【知识点】整式乘整式与图形面积 【分析】本题考查了整式乘法的应用；根据题意有，根据可表示为或或三种形式，则可得到长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为，进而可作出判断． 【详解】解：取出1张型卡片，12张型卡片，其面积和为； 而可表示为或或三种形式， 对应地，长方形的长为，宽为，或长为，宽为，或长为，宽为， 此时，，， 则可以取13张或8张或7张B型卡片； 当取6张B型卡片时，其面积为，所取三种卡片不能拼成一个长方形． 故选：A． ▌对点练9-1（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 【答案】10 【知识点】整式乘整式与图形面积 【分析】本题考查了整式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键．整式与整式相乘，先用一个整式的每一项分别乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据三张卡片的面积分别是，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． ▌对点练9-2（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． 【答案】(1)如图所示： (2)12 (3)８ 【知识点】整式乘整式与图形面积 【分析】本题考查了整式乘法与几何图形，根据图形面积相等建立等量关系是解题关键． （1）画出长方形可知长方形的长为，宽为，根据拼成的大长方形面积为即可求解； （2）根据1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为即可求解； （3）根据可求解． 【详解】（1）解：由图可知拼成的长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积， ∵拼成的大长方形面积为， ∴大长方形的代数意义为， （2）解：1号正方形的面积为，2号正方形的面积为，3号长方形的面积为， 故根据的结论可知，，，， 所以，， 故答案为：12； （3）解：∵， ∴需要3号卡片8张． 故答案为：8． ▌对点练9-3（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． 【答案】(1) (2)16 (3)6 (4) 【知识点】整式乘整式与图形面积 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键． （1）依据正方形的面积；正方形的面积，可得等式； （2）依据，进行计算即可； （3）依据所拼图形的面积为：，而，即可得到的值． （4）根据原几何体的体积新几何体的体积，列式可得结论． 【详解】（1）解：由图2得：正方形的面积可表示为， 正方形的面积也可表示为， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ， 故答案为：16； （3）解：由题意得：， ， ， ， 故答案为：6； （4）解：∵原几何体的体积， 新几何体的体积， ， 故答案为：． ▌对点练9-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）（1）请你写出图1所表示的代数恒等式：___________ （2）试在图2的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于． 【答案】（1）；（2）见解析． 【知识点】整式乘整式与图形面积 【详解】解：（1）矩形的面积可以用长乘以宽得：， 矩形的面积也可以用4个小正方形和5个小矩形的面积和得：， ∴图1所表示的代数恒等式：； 故答案为：； （2）∵， ∴可画如下图： ▌对点练9-5（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为_________． 【答案】90 【知识点】整式乘整式与图形面积 【分析】本题考查了整式乘以整式与几何图形，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为：，宽为：，故 的长为：，宽为：，故； 的长为：，宽为：，故． ∵， 解得 故答案为：90． ▌对点练9-6如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 【答案】(1)（或） (2)20 000 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式乘整式与图形面积 【分析】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据题意求得两个长方形喷泉池的长与宽的和，然后计算两个长方形喷泉池的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得两个长方形喷泉池的长为，它们宽的和为， 则 ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为； （2）当时， ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为20000． 题型10 整式乘法中的规律性问题 ▌例10（25-26七年级上·上海·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，，， ，…）的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_________． 【答案】 【知识点】整式乘法中的规律性问题 【分析】首先确定含的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可． 【详解】解：由，可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是． ▌对点练10-1（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列各式 计算：__________． 【答案】 【知识点】整式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了整式乘法中的规律探索，观察所给等式，发现，将和代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． ▌对点练10-2（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）已知，则___________． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律、已知式子的值，求代数式的值、整式乘法中的规律性问题、加减消元法 【分析】本题考查了整式乘法；本题直接利用乘法展开求各系数计算复杂，利用当和时，可以直接得到系数之间关系，再将看作一个整体求解即可． 【详解】解：当时；①， 当时；②， 由①-②得， ∴， 故答案为． ▌对点练10-3（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？其实这些系数的规律早在11世纪就已经被我国北宋数学家贾宪发现． 1262年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，你会发现，这个“三角形的两条斜的“边”都是由数字1组成的，而其他数都等于它“肩上”的两个数的和，借助这样的规律我们可以得出的展开式中各项系数．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，且各项系数之和为．请借助“贾宪三角”解决下列问题： (1)整式的展开式是一个__________次__________项式； (2)计算：； (3)若的展开式各项系数之和为，求的值（结果用幂的形式表示） 【答案】(1)五，六 (2)243 (3) 【知识点】整式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、列代数式及整式，能根据题意得出各式计算结果的系数变化规律是解题的关键． （1）根据所给式子，观察其各项系数，发现规律即可解决问题． （2）把，代入，即可解答本题； （3）分别求出所给式子计算结果的各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：观察所给各式可知， 计算结果中的各项系数依次为：1，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，2，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，3，3，1； 计算结果中的各项系数依次为：1，4，6，4，1； 由此可知，计算结果中的各项系数依次为：1，5，10，10，5，1， 即， ∴整式的展开式是一个五次六项式， 故答案为：五，六； （2）解：把，代入， 得：， ∴， ∴； （3）解：计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； 计算结果各项系数之和为； …， ∴计算结果各项系数之和为， ∴当时，的展开式各项系数之和的值为． ▌对点练12-4观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、整式乘法中的规律性问题 【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， ∴． 故选：A． 题型11 整式乘法混合运算 ▌例11（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方、单项式乘单项式以及合并同类项的运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练11-1（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．根据整式乘整式，单项式乘整式，合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练11-2（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法有关法则是解题的关键．根据整式乘法法则依次计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练11-3（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算、计算整式乘整式、（x+p）（x+q）型整式乘法 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． ▌对点练11-4（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据整式乘以整式以及平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ▌对点练11-5计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式乘法混合运算、计算单项式乘整式及求值、计算整式乘整式 【分析】（1）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案． （2）直接利用整式乘以整式运算法则、单项式乘整式运算法则计算得出答案． （3）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案． （4）直接利用整式乘以整式运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了整式的乘法，掌握其计算法则是解题的关键． 基础通关 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的运算，单项式除以单项式的运算，积的乘方运算，合并同类项和负整数指数幂，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算单项式乘整式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘以整式，熟练掌握单项式乘以整式的法则是解题的关键． 根据单项式乘以整式的法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 3．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 【答案】A 【知识点】计算整式乘整式、因式分解的应用 【分析】本题考查整式的因式分解与整数性质的综合应用，解题关键是利用整式乘法展开后对应系数相等，枚举所有满足条件的整数对计算k的可能值，进而判断选项. 【详解】解：∵ ∴对比系数可得， ∵a、b为整数且 ∴所有满足条件的整数对及对应k值为： ； ； ； ； ； ； （交换a、b位置，k值不变，略） ∴k的可能值为，6不在其中 ∴k的值不可能是6， 故选：A， 4．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）如图，在一个大长方形中放入三个边长互不相等的小正方形、、，现只知道正方形的面积，对于两个阴影部分周长的差及面积的差是否为定值，甲乙两位同学分别进行了探究甲的观点：一定能求出两个阴影部分周长的差；乙的观点：一定能求出两个阴影部分面积的差，则下列说法正确的是（ ） A．甲不正确，乙正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲乙都不正确 D．甲乙都正确 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、整式乘法混合运算 【分析】此题主要考查整式的加减、列代数式、去括号，解题的关键是根据图形的特点列出代数式求解． 设三个正方形的边长依次为a，b，c，重叠的小长方形的长和宽分别为，知道的面积可求出边长，表示出阴影部分的周长差即可． 【详解】解：如图，设三个正方形的边长依次为，重叠的小长方形的长和宽分别为， 阴影部分的周长差为： ． 阴影部分面积的差为： ． 所以甲的观点正确，乙的观点不正确． 故选：B． 5．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】根据单项式乘以单项式的法则求解即可． 【详解】解：． 6．化简：_____________． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 7．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】计算单项式乘整式及求值 【分析】本题考查单项式乘整式，根据单项式乘整式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 8．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、计算单项式乘整式及求值 【分析】本题考查了单项式乘以整式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以整式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 【答案】 【知识点】整式的项、项数或次数、利用单项式乘整式求字母的值 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以整式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 10．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 _______ 张． 【答案】10 【知识点】整式乘整式与图形面积 【分析】根据长方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，， 长方形的长为，宽为， 长方形的面积：， ，，类卡片一共需要张． 11．若，则______． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、计算整式乘整式、（x+p）（x+q）型整式乘法 【分析】本题考查了计算整式乘整式，型整式乘法，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将等式左边展开，与右边整式对比系数，求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解： ． 因为， 所以 所以，常数项． 故， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的混合运算、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法，以及完全平方公式和整式乘法．根据相关运算法则和公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 13．小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、计算整式乘整式、已知整式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了整式乘整式的运算，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键． （1）根据整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据整式乘整式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得：， ∴被遮住的一次项系数为． 素养提升 1．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 2．若，则___________. 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．若，则________． 【答案】2 【知识点】计算单项式乘单项式、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 4．小明在课后复习时，发现一道单项式与整式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 【答案】 【知识点】计算单项式乘整式及求值 【分析】本题主要考查了单项式乘整式的运算，熟练掌握单项式乘整式“用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加”的法则是解题的关键． 先根据单项式乘整式的法则计算左边式子，再通过对比等式两边确定被污染的部分． 【详解】解： ， ∵， ∴对比得，即． 故答案为：． 5．若实数x满足，则______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂乘法的逆用、单项式乘整式的应用 【分析】本题主要考查了利用整体的思想进行代数式求值，单项式与整式的乘法．由可得 ，将其代入所求表达式 中，通过代数变形降次，合并同类项后计算常数值得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 6．若的乘积中不含和项，则_______，_______． 【答案】 【知识点】已知整式乘积不含某项求字母的值 【分析】由整式乘以整式进行化简，然后结合不含和项，求出 ，即可求出答案． 【详解】解： ， ∵其结果中不含和项， ∴， 解得： ． 7．已知，，，根据前面各式的规律，可得：的值的个位数字是____________． 【答案】3 【知识点】有理数的乘方运算、整式乘法中的规律性问题、归纳与类比 【分析】根据已知等式归纳得到一般规律，将所求式子利用规律变形为，再找出的幂次的个位数字的循环周期规律，计算得到最终结果的个位数字． 【详解】解：由已知等式可得规律：， 令，，可得， ， ， ，个位数字为， ，个位数字为， ，个位数字为， ，个位数字为， ，个位数字为， ，个位数字为， 可得的幂次的个位数字以为一个周期循环， 的个位数字与的个位数字相同，为， 的个位数字为． 8．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 【答案】8 【知识点】整式乘法中的规律性问题 【分析】根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的整式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论； 【详解】解：，， ， ， ， ， 项的系数是8． 迁移创新 1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； C、上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴当时，， ∴C选项不符合题意， D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意， 故选：D． 2．如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式乘整式的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查三角形的面积公式、整式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，把阴影部分的面积表示出来． 由题意可得：阴影部分的面积，化简后即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴，， 阴影部分的面积 ， ∴要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道正方形的边长，即的长． 故选：B． 3．在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：由题意可得：，， ， ， ∴． (2) 【知识点】列代数式、整式的加减运算、整式乘整式与图形面积 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 4. 请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 整式除以整式 我们学习过整式乘整式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是整式除以整式． 两个整式相除，可以先把这两个整式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 例如，可仿照用竖式计算（如图）．   因此，整式除以整式可借助竖式进行计算． (1)任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________． (2)任务二：仿照例子的做法计算： ①__________； ②__________． (3)任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 竖式如图：如图所示： ，商式为 【知识点】单项式乘整式的应用、计算整式乘整式 【分析】本题考查了整式除以整式、整式乘整式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据整式乘整式法则得，则，即可作答． （2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；②模仿题干的竖式计算过程作答即可； （3）模仿题干的竖式计算过程作答即可； 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：①如图所示： ； 故答案为：； ②如图所示： ， 故答案为：； （3）如图所示： ∵的商为整式，且结合上图的竖式过程， ∴，即， ∴此时． 2 / 56 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 整式的乘除 11.1 整式的乘法（第2课时单项式乘单项式、单项式乘整式、整式乘整式） 课标要点 1.认识单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算意义，掌握三类整式乘法的核心运算法则，能准确梳理运算步骤，规范完成各类整式乘法的基础运算。 2. 能借助长方形面积模型自主推导三类整式乘法的运算法则，准确辨析不同乘法运算的结构特征，能基于乘法分配律解释运算的算理，建立 “幂运算为基础→乘法分配律延伸→整式乘法体系” 的认知逻辑。 3. 能基于整式乘法的知识解决几何图形面积表示、实际问题的数量关系化简、代数式子变形等问题，能在混合运算中合理运用运算律简化过程，解释运算结果的实际含义。 学习重难点 重点： 1.单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则内容与基础规范运算。 2.乘法分配律在整式乘法中的应用，多项式乘多项式的逐项相乘规则与项数把控。 难点： 1.基于乘法分配律理解三类整式乘法的内在联系，建立 “系数运算、同底数幂运算分级处理” 的运算思维模型，厘清不同运算的操作逻辑。 2. 多项式乘法运算中的符号处理，避免漏乘、错乘，准确处理含负号的整式乘法运算。 3. 整式乘法混合运算的顺序把控，结合几何场景的综合应用与代数式的逆向变形。 知识点 单项式乘单项式 1．法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。 (1)积的系数等于各因式系数的积. (2)相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照"底数不变，指数相加”计算. (3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式. (4)单项式乘单项式的结果仍然是单项式 2．推广：对于三个以上的单项式相乘同样适用。 凡在单项式里出现过的字母，在它的计算结果里也应全部出现． 1．单项式乘单项式的计算步骤 第一步：系数相乘，结果作为积的系数。 第二步：同底数幂相乘，结果作为积的因式。 第三步：只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式。 2．单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按＂先乘方、再乘法＂的顺序进行。 随学随练 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．________． 知识点 单项式乘整式 1．法则：单项式乘整式，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加。 2．符号表示：。 单项式与整式相乘应注意以下几点： （1）运算法则中的＂每一项＂包含其运算符号； （2）单项式乘整式，其积为整式，积的项数与原多项式（没有同类项）的项数相同； （3）积中符号的确定与去括号法则基本相同，括号前的单项式系数为正数时，去括号后整式各项的符号都不变，否则都改变； （4）对混合运算，应注意运算顺序，结果有同类项的要合并。 整式的混合运算顺序 要先确定题目中有哪几种运算，然后按先乘方，再乘法，最后加减的运算顺序进行运算，如果有括号，先算括号里面的． 随学随练 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果是______． 3．计算的结果为________． 知识点 整式乘整式 1．法则 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式中的每一项，再把所得的积相加． 2．符号表示 3．在进行整式相乘运算时应注意的问题． （1）要用一个整式中的每一项分别乘另一个整式中的每一项，不能遗漏． （2）两整式相乘的结果仍是整式，在没有合并同类项之前，所得积的项数应为两个整式的项数的积，如 的结果应为（项）．这也是检查相乘后有无漏乘的一般方法． （3）注意整式乘法运算过程中的符号问题。整式中的每一项均包括它前面的符号，计算时要细心。 （4）整式相乘的结果中若有同类项，应合并，使结果最简，并且最终结果一般都按照某个字母降幂（或升幂）排列，这样符合规范性要求。 4．含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一字母的二次三项式． 如。它的二次项由两个因式中的一次项相乘得到，积的一次项是由两个因式中的常数项分别乘另一个因式中的一次项后，合并同类项得到，积的常数项是两个因式中常数项的积。若两个因式中的一次项系数均为 1 ，两个常数项分别用a, b表示，则这一规律可表达为 ． 随学随练 1．化简：________． 2．计算： 3．计算：． 题型1 计算单项式乘单项式 ▌例1（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）计算： (1)． (2) ▌对点练1-1（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． ▌对点练1-2计算：_________________． ▌对点练1-3计算： ▌对点练1-4）已知：，求的值． 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 ▌例2先化简，后求值：，其中，． ▌对点练2-1先化简，再求值：，其中． ▌对点练2-2先化简，再求值，其中． ▌对点练2-3已知代数式的值是7，则代数式的值是_______． 题型3 计算单项式乘整式及求值 ▌例3（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． ▌对点练3-1（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： ▌对点练3-2（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． ▌对点练3-3（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算：_________． ▌对点练3-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算： ▌对点练3-5（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 题型4 利用单项式乘整式求字母的值 ▌例4设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 ▌对点练4-1若的展开式中不含项，则的值是______． ▌对点练4-2若对任意都成立，则______． ▌对点练4-3已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 ▌对点练4-4若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 题型5 计算整式乘整式 ▌例5（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． ▌对点练5-1（25-26七年级上·上海金山·期中）计算：． ▌对点练5-2（25-26七年级上·上海·期中）已知，则________． ▌对点练5-3（25-26七年级上·上海·期中）计算： ▌对点练5-4（25-26七年级上·上海闵行·期中）已知二次三项式的一个因式是，则常数______． 题型6 （x+p）（x+q）型整式乘法 ▌例6（25-26七年级上·上海崇明·期中）若，则____________． ▌对点练6-1（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． ▌对点练6-2（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算：__________． ▌对点练6-3（25-26七年级上·上海·阶段检测）如果，那么、的值是（　　） A． B． C． D． ▌对点练6-4若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 题型7 已知整式乘积不含某项求字母的值 ▌例7（25-26七年级上·上海·期末）若的展开式中不含x的一次项，则_____． ▌对点练7-1（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知整式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值． ▌对点练7-2（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则______． ▌对点练7-3（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是_____． ▌对点练7-4（25-26七年级上·上海·期中）与一个关于x的二项式相乘，乘积中不出现一次项，则a的值为________． ▌对点练7-5（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 题型8 整式乘整式——化简求值 ▌例8（25-26七年级上·上海·期中）若，求的值是________． ▌对点练8-1（24-25七年级上·上海·期中）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 ▌对点练8-2（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 __． ▌对点练8-3先化简，再求值：，其中． 题型9 整式乘整式与图形面积 ▌例9（25-26七年级上·上海宝山·期末）如图，现有三种不同型号的卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．现取出1张型卡片，12张型卡片，要再取几张B型卡片，使得所取卡片可以不重叠、无缝隙地拼成一个长方形．那么下列取法错误的是（　　） A．6张 B．7张 C．8张 D．13张 ▌对点练9-1（25-26七年级上·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 ▌对点练9-2（25-26七年级上·上海松江·期中）有足够多的长方形和正方形卡片，如下图： (1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系，写出这个长方形表示的等量关系． (2)小明想用类似方法解释整式乘法，那么需用1号卡片张2号卡片张，3号卡片张，那么__________． (3)如果要拼成一个大正方形，她先取1号卡片1张，再取2号卡片16张，则她还需取3号卡片__________张． ▌对点练9-3（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料：在学习乘法公式时，我们知道可以通过不同方法计算几何图形面积得到一些代数恒等式，例如，通过图①中面积计算可以得到完全平方公式：． (1)仿照图①结论，根据图②，写出一个恒等式________________； (2)利用第（1）题中得到的结论，解决如下问题：若，，则________； (3)小杰用图③中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽、长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形，那么________； (4)事实上，通过不同方法计算几何体的体积也可以得到类似的结论，例如图④展示的是一个边长为的正方体挖去一个小长方体得到的立体图形后重新拼成一个长方体，根据图中的变化关系，写出一个恒等式： ． ▌对点练9-4（25-26七年级上·上海·阶段检测）（1）请你写出图1所表示的代数恒等式：___________ （2）试在图2的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于． ▌对点练9-5（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为_________． ▌对点练9-6如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 题型10 整式乘法中的规律性问题 ▌例10（25-26七年级上·上海·阶段检测）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，，， ，…）的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_________． ▌对点练10-1（25-26七年级上·上海宝山·期中）观察下列各式 计算：__________． ▌对点练10-2（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）已知，则___________． ▌对点练10-3（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？其实这些系数的规律早在11世纪就已经被我国北宋数学家贾宪发现． 1262年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作法本源图”，如图所示，并指明“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术．”这幅图被后人称为“贾宪三角”．“贾宪三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，你会发现，这个“三角形的两条斜的“边”都是由数字1组成的，而其他数都等于它“肩上”的两个数的和，借助这样的规律我们可以得出的展开式中各项系数．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数，且各项系数之和为．请借助“贾宪三角”解决下列问题： (1)整式的展开式是一个__________次__________项式； (2)计算：； (3)若的展开式各项系数之和为，求的值（结果用幂的形式表示） ▌对点练12-4观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 题型11 整式乘法混合运算 ▌例11（25-26七年级上·上海·期中）计算： ▌对点练11-1（24-25七年级上·上海·期中）计算： ▌对点练11-2（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算： ▌对点练11-3（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． ▌对点练11-4（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算：． ▌对点练11-5计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 基础通关 1．（25-26七年级上·上海·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）若，且a、b、k均为整数，则k的值不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．． 4．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）如图，在一个大长方形中放入三个边长互不相等的小正方形、、，现只知道正方形的面积，对于两个阴影部分周长的差及面积的差是否为定值，甲乙两位同学分别进行了探究甲的观点：一定能求出两个阴影部分周长的差；乙的观点：一定能求出两个阴影部分面积的差，则下列说法正确的是（ ） A．甲不正确，乙正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲乙都不正确 D．甲乙都正确 5．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 6．化简：_____________． 7．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）计算：______． 8．（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是________． 9．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则__________． 10．用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要 _______ 张． 11．若，则______． 12．（25-26七年级上·上海普陀·期末）计算： (1) (2) 13．小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 素养提升 1．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：______． 2．若，则___________. 3．若，则________． 4．小明在课后复习时，发现一道单项式与整式相乘的题目：，“□”的地方被墨水污染了，那么被墨水污染了的应是________________． 5．若实数x满足，则______． 6．若的乘积中不含和项，则_______，_______． 7．已知，，，根据前面各式的规律，可得：的值的个位数字是____________． 8．阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 迁移创新 1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 2．如图，点B在线段上，分别以，为边作正方形，正方形，若要求三角形（阴影部分）的面积，只要知道下列哪条线段的长（    ）． A． B． C． D． 3．在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 4. 请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务． 整式除以整式 我们学习过整式乘整式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是整式除以整式． 两个整式相除，可以先把这两个整式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 例如，可仿照用竖式计算（如图）．   因此，整式除以整式可借助竖式进行计算． (1)任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________． (2)任务二：仿照例子的做法计算： ①__________； ②__________． (3)任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）． 2 / 56 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $