11.1整式的乘法（单项式乘单项式、单项式乘整式、整式乘整式）（题型专练）数学沪教版五四制2024七年级上册

11.1整式的乘法(单项式乘单项式、单项式乘整式、整式乘整式) 题型一、计算单项式乘单项式 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 4．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 题型二、计算单项式乘整式及求值 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 6． ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 9．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 题型三、计算单项式乘整式的应用 10．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 11．如图，一个小长方形的长为，宽为b，将6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（无重叠）． (1)用含a、b的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含a、b的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，求图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值． 12．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 13．小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 题型四、利用单项式乘整式求字母的值 14．若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 15．若的展开式中不含项，则的值是 ． 16．已知，，，且的值与无关，则 ． 17．若对任意都成立，则 ． 题型五、（x p）（x q）型整式乘法 18．乘积的结果是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）若且，则 ． 20．（24-25七年级上·上海·阶段练习），则 ． 21．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 22．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 题型一、已知整式乘积不含某项求字母的值 23．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的整式与的积不含二次项和三次项，则 ． 24．（24-25七年级上·上海·期中）已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 25．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式中无x的一次项，求 ． 26．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则 ． 27．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项，求． 题型二、整式乘整式的化简求值 28．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ． 29．已知，，则的值为 ． 30．如果，那么的值为 ． 31．先化简，再求值：，其中． 题型三、整式乘整式与图形面积 32．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 33．如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 34．如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 35．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 题型四、整式乘法中的规律性问题 36．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 37．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数． ； ； ； ； 根据上述规律， ． 38．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： ．（结果用幂的形式表示） 39．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 40．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）两个三次整式之积与三个两次整式之积的和是次数不高于 次的整式． 2．若，代数式的值是 ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为 ． 4．（24-25七年级上·上海·期中）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则 ． 5．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 6．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 试卷第1页，共3页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1整式的乘法(单项式乘单项式、单项式乘整式、整式乘整式) 题型一、计算单项式乘单项式 1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘法法则是解题关键．根据单项式的乘法法则求解即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式及积的乘方，先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，涉及单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项，根据相关运算法则正确求解即可． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，先计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 题型二、计算单项式乘整式及求值 5．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 6． ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照多项式乘以单项式的运算，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，根据可得，再由把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算，掌握运算的步骤是解题的关键．先计算单项式乘多项式、然后合并同类项进行化简． 【详解】解： ． 9．（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，积的乘方．利用单项式乘多项式，积的乘方计算，再合并同类项即可求解． 【详解】解： ． 题型三、计算单项式乘整式的应用 10．在长方形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片分别按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有重叠部分），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中的阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为，当时， （用字母表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，根据图形面积之间的关系分别表示出，再根据整式的加减计算法则求出的结果，再结合即可求出答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，一个小长方形的长为，宽为b，将6个大小相同的小长方形放入到大长方形内（无重叠）． (1)用含a、b的代数式表示大长方形的长______，宽______；（结果写成最简形式） (2)用含a、b的代数式表示大长方形中阴影部分的面积；（结果写成最简形式） (3)若，求图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值． 【答案】(1)， (2)阴影部分的面积为 (3)图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值为 【分析】此题主要考查了整式运算的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解本题的关键． （1）利用大长方形的长、宽分别包含的小长方形的长和宽，即可求解； （2）利用（1）结果求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）写出图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比，用代入，即可求解． 【详解】（1）大长方形的长：， 宽：， 故答案为：，； （2）大长方形面积： ， 故阴影部分的面积： ； （3）当时， ， 故图中阴影部分的面积与大长方形的面积的比值为． 12．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 13．小红的爸爸将一块长为分米、宽分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含，的整式表示盒子的外表面积； (2)若，，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？ 【答案】(1)（平方分米） (2)360元 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）把a与b的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为15元，求出喷漆的费用即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （平方分米） ∴盒子的外表面积为平方分米； （2）解：当，时， （平方分米） 则喷漆的费用为（元）． 答：喷漆共需要360元． 题型四、利用单项式乘整式求字母的值 14．若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 15．若的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 16．已知，，，且的值与无关，则 ． 【答案】 【分析】先根据题意列出算式，再计算单项式与多项式的乘法，最后合并，由题意得关于的方程，求解即可．此题考查的是单项式乘多项式及整式的加减，掌握其运算法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 的值与无关， ， ． 故答案为：． 17．若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 题型五、（x p）（x q）型整式乘法 18．乘积的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 19．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）若且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算−化简求值，原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵且， ∴ 故答案为：． 20．（24-25七年级上·上海·阶段练习），则 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式的乘法和多项式的相等．根据多项式乘法法则得到，又由得到，则，求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得， ∴， 故答案为： 21．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，先去括号，再根据整式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 22．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算． 利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 题型一、已知整式乘积不含某项求字母的值 23．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的整式与的积不含二次项和三次项，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，多项式的项、次数的定义以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．先运用多项式乘多项式的运算法则进行运算并整理，再令二次项和三次项的系数分别为0即可求解． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式与的积不含二次项和三次项， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：3． 24．（24-25七年级上·上海·期中）已知代数式的积中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的一次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵该代数式的积中不含x的一次项， ∴，解得， 故答案为：． 25．（24-25七年级上·上海·期中）已知整式中无x的一次项，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果合并同类项，根据整式中无x的一次项建立方程，即可求解．解题的关键是明确不含的一次项，则一次项的系数为． 【详解】解： ， ∵整式中无x的一次项， ∴， 解得：． 故答案为：3． 26．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，先根据多项式乘以多项式法则进行计算，展开后不含x的一次项，说明展开后的多项式中一次项系数的和为零，即可得出，求出即可． 【详解】解： ， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴， 解得：， 故答案是：． 27．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项，求． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的四处为0，求出的值，代入利用有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解： ， 关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项， ， ，则， ． 题型二、整式乘整式的化简求值 28．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 29．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式先化简，再整体代入即可得出答案，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 30．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 31．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的乘法运算化简求值，先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型三、整式乘整式与图形面积 32．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键．根据题意，运用多项式乘以多项式得到长方形的面积，结合卡片的面积即可求解． 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 故选：C ． 33．如图，通过计算，比较图，图中阴影部分的面积，可以验证的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解，解题的关键是正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式． 由题意知：图和图中阴影部分的面积相等，正确表示出图和图中阴影部分的面积列出等式即可解答． 【详解】解：由题意知：图和图中阴影部分的面积相等， 图中，阴影部分面积， 图中，阴影部分面积， ， 故选：B． 34．如图：一套房子的客厅和房间分别是边长为a米和b米的正方形，厨房和卫生间分别是正方形和长方形． (1)求厨房和卫生间的面积（用含的代数式表示）； (2)当时，求卫生间的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积， （1）根据题意，四边形、四边形及四边形为正方形，则，，可求卫生间的长，宽，再表示面积，根据厨房边长与卫生间的边长相等，即可求解； （2）将时，卫生间的面积的值． 【详解】（1）解：根据题意，厨房和卫生间分别是正方形和长方形且边长相等， 卫生间和厨房的面积为： （2）解：当时， 原式平方米． 35．（24-25七年级上·上海宝山·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是多项式乘多项式的几何意义，掌握正方形面积公式和长方形面积公式是解决此题的关键． （1）直接根据正方形的面积公式求得正方形的面积，然后再根据大正方形的面积各个小正方形的面积之和各个长方形的面积之和，即可得出结论； （2）将（1）中等式变形，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：图2的 面 积 可 表 示 为 或 ， 图2中所表示的数学等式为； （2），， ，， ， ． 题型四、整式乘法中的规律性问题 36．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法；本题直接利用乘法展开求各系数计算复杂，利用当和时，可以直接得到系数之间关系，再将看作一个整体求解即可． 【详解】解：当时；①， 当时；②， 由①-②得， ∴， 故答案为． 37．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数． ； ； ； ； 根据上述规律， ． 【答案】 【分析】本题考查的是有关探究规律的题目．根据“杨辉三角”的特点可得的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和；依据规律可得的各项系数依次为、、、、，据此即可完成本题． 【详解】解：根据题意可知图中第五行的数字依次为，，，，， 由此可得的各项展开式的系数除首尾两项外都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和， 依规律可得的各项系数依次为：、、、、， 因为它的每一行的数字正好对应了为非负整数)的展开式中按次数从大到小排列的项的系数， 所以． 故答案为：． 38．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数：第四行的四个数恰好对应展开式中的系数等等，利用上述的规律计算： ．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式及其拓展，正确理解题意、找出规律是解题的关键．根据题目给出的规律可得出的展开式，然后令式中即可得出结果． 【详解】解：根据题意得：； 令上式中，得： ． 故答案为：． 39．（24-25七年级上·上海松江·期中）我们知道：． 类似的有：①；②；…… (1)验证上述②式成立； (2)再写出一个类似的等式； (3)计算：（结果用含3的幂表示）． 【答案】(1)验证过程见解析部分 (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键． （1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果； （2）对照示例写出； （3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果． 【详解】（1）解： ， 成立． （2）解：； （3）解：∵， ． 40．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个______次______项式，各项系数和是______； (2)写出的展开式：______；观察的展开式，各项系数和是______； (3)猜想多项式（取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母的代数式表示）； (4)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五，六，32 (2)，64 (3)，见解析 (4)1 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）根据表中各项系数之和，可以发现这些系数之和的变化特点，从而可以得到多项式取正整数）的展开式的各项系数之和； （4）把，代入即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五，六，32； （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：，64； （3）解：的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和 ， 取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：把，代入得： ， ∴， ∴． 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）两个三次整式之积与三个两次整式之积的和是次数不高于 次的整式． 【答案】六 【分析】本题考查了整式的乘法和加法，根据整式的乘法法则和加法法则运算即可求解，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：两个三次整式之积一定是六次整式，三个两次整式之积一定是六次整式，其和为不超过六次的整式， 故答案为：六 ． 2．若，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的值，整体代入是解题的关键．首先根据，可得，把代入，然后把代入化简后的算式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知多项式A除以得商式，余式，则多项式A为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意列出式子，然后根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海·期中）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．首先根据多项式乘多项式的法则进行计算可得，合并同类项可得，根据积中不出现一次项，且二次项系数为，可得方程组，两个方程相减可得结果 ． 【详解】解： ， 积中不出现一次项，且二次项系数为， ， 得：． 故答案为： ． 5．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 根据上述规律，展开式的系数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法规律探究，由“杨辉三角”得到： (n为非负整数)展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …… 当时，展开式的项系数和为， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 【答案】(1) (2)；； (3) (4)22 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图行体积等于图3的三个立体图形的体积和，根据等式可得①②；根据图1和图3可得立体图形体积关系是：； （3）根据，可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得． 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：； （2）解：①； ②即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：；；； （3）解：； （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：22． 试卷第1页，共3页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$