精品解析：湖南株洲市第一中学2026年拔尖创新人才选拔考试数学试卷

2026年拔尖创新人才选拔考试数学 本试卷共7页，25题．全卷满分150分．考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 2.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，小明到校时他妈妈正好到家．设小明在途中的时间为，两人之间的距离为，则下列选项中的图象能大致反映与之间关系的是（ ） A. B. C. D. 2. 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 3. 两位同学在解方程组时，甲同学由 正确地解出，乙同学因把c写错了解得，则的值为（ 　　） A. 3 B. 0 C. 1 D. 7 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，均为非负实数，且，则代数式的最小值为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，函数：与函数的图象交于，两点，点在以为圆心，为半径的圆上，是的中点，则长的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，过点作，垂足为，过点作，垂足为；过点作，垂足为，过点作，垂足为，按照以上步骤继续操作下去，得到的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 观察：，…，则__________．（） 12. 已知二元一次方程组，则的值为___________． 13. 我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为______． 14. 已知方程有4个根，，，．则_____ 15. 若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为__________． 16. 定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为_________． 17. 平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为_______ 18. 若，，且，的最小值为，最大值为，的值为__． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 某年级共有600名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成六组）： ，，． A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下（单位：分）： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 A课程在这一组的成绩如下： 70，71，71，71，76，76，77 78，78.5，79，79，79，79，79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）请写出表中m的值． （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为78分，B课程成绩为72分，这名学生成绩排名更靠前的课程是什么课程？请说明理由． （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过79分的人数． 20. 数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． （1）当放置物体质量为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 21. （1）【初步感知】如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是          ． （2）【类比探究】 如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 22. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与x轴、y轴相交于点C、D． （1）①求反比例函数和一次函数的表达式； ②直接写出关于x的不等式的取值范围； （2）如图2，点E为一次函数的图象上一点，过点E作反比例函数，连接，若面积为S，当时，求的取值范围． 23. 如图，为的直径，是的弦，，于点，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 在等边三角形中，为边一点，连接为上一点，连接． （1）如图1，，连接，若恰好平分，求的度数； （2）如图2，为中点，将绕旋转至，在延长线上有一点，连接交于点，若，试探究、、之间的数量关系； （3）如图3，若为直线上一点，为中点，连接，将沿着翻折至原平面内的，点在线段上且满足，连接、，当最小时，请直接写出的值． 25. 平面直角坐标系中，已知抛物线，点在抛物线上，过点A的直线l与抛物线有唯一公共点，与x轴交于点B． （1）求直线l的解析式； （2）如图（1），点C在第二象限内抛物线上，若，求点C的横坐标； （3）如图（2），设直线l与y轴交于点D，过点的直线与抛物线交于M，N两点（M在N左侧），过点N且平行于的直线与直线交于点Q，的面积是否发生变化，若变化，请求出最小值，若不变求出面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年拔尖创新人才选拔考试数学 本试卷共7页，25题．全卷满分150分．考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 2.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，小明到校时他妈妈正好到家．设小明在途中的时间为，两人之间的距离为，则下列选项中的图象能大致反映与之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对整个过程分段：小明出发至妈妈出门追，妈妈出门追至追上，停留，两人分开至同时到达，分别分析讨论． 【详解】解：由题意可得，小明从家出发到妈妈出门追这段时间，y随x的增大而增大， 妈妈出门追至追上小明这段时间，y随x的增大而减小， 停留阶段，y随x的增大不变，且， 小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大； 观察四个选项，选项B符合题意． 2. 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将每个代数式拆分为系数、根号内部和的幂次三部分，分别找对应规律即可得到结果． 【详解】解：第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 第个代数式：， 类比可得第个代数式中，系数为，根号内的数为，的次数为， ∴第个代数式是． 3. 两位同学在解方程组时，甲同学由 正确地解出，乙同学因把c写错了解得，则的值为（ 　　） A. 3 B. 0 C. 1 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵甲同学的解是原方程组的正确解， ∴将代入原方程组，得，解得， ∵乙同学仅写错，其解满足方程， ∴将代入，得， 联立得方程组，解得， ∴． 4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由俯视图是“凸”字形，可知该几何体为“凸”字形柱体，排除A、B． 由主视图是矩形且内部有两条虚线，可知该几何体前宽、后窄，后方棱被遮挡不可见． C选项符合题意．D选项不符合题意． 5. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转性质可得对应边相等、对应角相等及旋转角为，通过计算角度判断各选项． 【详解】解：设与交于点， 绕点顺时针旋转得到，  ，，，，  选项C正确，不符合题意； 在中，，  ，  选项D正确，不符合题意； ，   在中，， ，  ，  选项B正确，不符合题意； 若，则，即， ，而的度数不确定，  不一定成立，  选项A不一定正确，符合题意． 故选：A． 6. 已知，均为非负实数，且，则代数式的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意得出，由，均为非负实数，求出k的取值范围，再代入代数式并结合二次函数的增减性求出其最小值即可． 【详解】解：∵， ， ∵，均为非负实数， ∴， 解得， 设， ∴， ∵， ∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 又∵在对称轴的右侧， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， ∴代数式的最小值为． 7. 如图，函数：与函数的图象交于，两点，点在以为圆心，为半径的圆上，是的中点，则长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点，的坐标，连接并延长交于点，过点作轴，根据已知条件可得，所求长的最大值，即求的长最大，即点运动到与圆的交点时，此时的长最大，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，过点作轴，连接， 根据题意，联立，得， 解得，， ，， 点为中点， 是的中点， ，， 若长最大，则的长最大， 即点运动到与圆的交点时，此时的长最大， ，， ，， 由勾股定理，得， ， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 8. 如图，在中，，过点作，垂足为，过点作，垂足为；过点作，垂足为，过点作，垂足为，按照以上步骤继续操作下去，得到的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角函数、找规律，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意计算出、、、、，找到规律即可解题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 同理可得，，， ∴， ， ∴， ∴．   故选：A ． 9. 从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，概率公式求概率．简化不等式组得到解集范围，求整数解个数为，令其等于2得，再计算满足条件的概率． 【详解】解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 10. 已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质得出y随x的增大而减小，据此多所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：因为一次函数解析式为，， 所以y随x的增大而减小． 因为，，在直线上，且， 所以． 当时， 则，， 所以， 则． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时， 则，或，． 当，时无法得出的正负， 所以无法得出的正负， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 观察：，…，则__________．（） 【答案】 【解析】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母的变化特点，列出的表达式是解题的关键． 通过观察序列前四项的表达式，发现每一项均为两个分数的差，且第一个分数分母与项数相同，第二个分数分母比项数大2，因此得出通项公式． 【详解】由已知条件： ， ， ， ， …， 可推知第项为 ． 故答案为：． 12. 已知二元一次方程组，则的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确求出、的值是解题的关键． 让方程组中的两个方程相加、相减即可得出、的值，再代入求值即可． 【详解】解：， ①+②，得， ， ②-①，得， ， 故答案为：8 13. 我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 14. 已知方程有4个根，，，．则_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式方程根的相关性质、多项式乘以多项式及代数式的巧妙变形，关键在于得出． 根据方程的四个根得出，根据多项式乘以多项式法则展开，根据系数对应关系得出，利用平方差公式把所求式子变形，利用多项式乘以多项式法则得出，，利用平方差公式把所求式子变形即可得答案． 【详解】设多项式 有四根， ∴， ∴ 同理：， ∴ ． 故答案为： 15. 若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 16. 定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式． 【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上， 设直线l的解析式为，将点和代入解析式得： ，解得， ∴直线l的表达式为， 当时，，即直线l与y轴交点为， 当时， ，解得，即直线l与x轴交点为， ∴， ∴， ∴直线的表达式或． 故答案为：或． 17. 平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，其中点在第二象限．设为双曲线上一点，直线分别交轴于两点，则 的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，掌握二者的基本性质是解决本题的关键．设则，分别表示出，的解析式，令可计算出和的长，相减即可得到结论． 【详解】解：设则， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴， 设直线的解析式为：，代入， 则， 解得：， ∴直线的解析式为： ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 18. 若，，且，的最小值为，最大值为，的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值．根据，可得，再根据，即可求得的取值范围；根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值． 【详解】解： ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 当时，有最小值， 当时，有最大值， ，， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 某年级共有600名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成六组）： ，，． A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下（单位：分）： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 A课程在这一组的成绩如下： 70，71，71，71，76，76，77 78，78.5，79，79，79，79，79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）请写出表中m的值． （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为78分，B课程成绩为72分，这名学生成绩排名更靠前的课程是什么课程？请说明理由． （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过79分的人数． 【答案】（1）79 （2）B，该学生A课程分数低于中位数，排名在中间 位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在 中间位置之前 （3）270（人） 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布直方图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量；样本与总体的关系． （1）根据中位数的概念，当中位数是奇数时，最中间的数为中位数，当中位数为偶数时，最中间两个数的平均数确定中位数的值； （2）根据中位数的定义，如果一个学生的成绩低于于课程的中位数，那么他的成绩排名在中间位置之后，如果一个学生的成绩大于课程的中位数，那么他的成绩排名在中间位置之前求解． （3）要估计A课程成绩超过79分的人数，要知道超过这个分数的学生在样本中的比例求解． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知， A课程成绩的人数， 分数有2人， 分数有6人，分数 有12人， 分数有14人， 分数有18人， 分数有8人，一共总人数有人，这样可知中位数应该处于第30人和第31人分数之和的平均数， ∴中位数在分数段， ∵A课程在这一组的成绩如下：70，71，71，71，76，76，77，78，78.5，79，79，79，79，79.5， ∴中位数为； 【小问2详解】 解：B，该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在 中间位置之前． 【小问3详解】 解：抽取的60名学生中，A课程成绩超过79的人数为27人， ∴估计A课程分数超过79的人数为． 20. 数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． （1）当放置物体质量为时，求总电阻的值； （2）求关于总电阻的函数表达式； （3）为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【小问1详解】 解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时，， 此时， 即总电阻的值为； 【小问2详解】 解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； 【小问3详解】 解：， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为：， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 21. （1）【初步感知】如图1， 在正方形中， E、F分别是、边上的点， 且， 求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后， 将沿进行翻折， 得到， 射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是          ． （2）【类比探究】 如图3， 正方形中， E、F分别在边、的延长线上， 且， 连接， 试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 【答案】初步感知：； 类比探究：，理由如下： 在上截取，连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 拓展应用： 【解析】 【分析】初步感知：先证明、C、M在同一直线上，再证明，得出，根据，得出； 类比探究：在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可得出结论； 拓展应用：在上取点M，连接，证明，得出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：初步感知：∵将绕着点D逆时针旋转到， ∴，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴、C、M在同一直线上， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 类比探究：略 拓展应用：在上取点M，使连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 22. 如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与x轴、y轴相交于点C、D． （1）①求反比例函数和一次函数的表达式； ②直接写出关于x的不等式的取值范围； （2）如图2，点E为一次函数的图象上一点，过点E作反比例函数，连接，若面积为S，当时，求的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；同时考查函数的增减性，从而来解不等式． （1）①利用待定系数法即可求得； ②通过观察图象即可求得． （2）设E点坐标为，由题意得，，根据求出即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：①点，点在反比例函数上， ， ， 反比例函数的关系式为： 将点，代入 得，解得， 一次函数的关系式为：； ②由图象得，关于x的不等式的取值范围为或； 【小问2详解】 解：设E点坐标为， 由题意知：，， ， ， ∴， 当时，，； 当时，，； 因此， 23. 如图，为的直径，是的弦，，于点，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，且于点， ∴，，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，，，等量代换得，等弧所对的圆周角相等得，得，从而得，由得，等量代换得，等边对等角即可得出； （2）连接交于，连接，设的半径为，先由勾股定理求出，即可得，在中由勾股定理列方程可得出圆的半径为，得，再证明，得，，进而得长，由为的直径， 得，即，由得，由三线合一得，由得，根据相似比求出长，可得长，最后由即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于，连接，设的半径为，如图所示： ∴，， ∵，，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，即， 又∵， ∴， 由（1）的结论得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，相似三角形判定和性质等，熟练掌握圆的性质及相似三角形判定和性质是解题的关键． 24. 在等边三角形中，为边一点，连接为上一点，连接． （1）如图1，，连接，若恰好平分，求的度数； （2）如图2，为中点，将绕旋转至，在延长线上有一点，连接交于点，若，试探究、、之间的数量关系； （3）如图3，若为直线上一点，为中点，连接，将沿着翻折至原平面内的，点在线段上且满足，连接、，当最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到垂直平分，进而得到，等边对等角，得到，，设，利用三角形的外角的性质以及角的和差关系得到，，再根据三角形的内角和定理求出，三角形的外角求出的度数即可； （2）延长至点，交于点，使，设交于点，先证明，得到，进而得到，再证明为等边三角形，得到，证明，得到，再根据线段的和差关系以及等量代换即可得出结论； （3）根据折叠得到点在以为圆心，3为半径的圆上运动，作交的延长线于点，得到，进而得到，得到，取，连接，证明，推出，进而得到，得到当点在线段上时，，最小，连接，，作于点，根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵等边三角形，恰好平分， ∴垂直平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长至点，交于点，使，设交于点， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， 又∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵等边，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵折叠， ∴， ∴点在以为圆心，3为半径的圆上运动， 作交的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取，连接，则，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，，最小，即点运动到时，如图： 连接，，作于点， ∵为的中点，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴ ， ． 25. 平面直角坐标系中，已知抛物线，点在抛物线上，过点A的直线l与抛物线有唯一公共点，与x轴交于点B． （1）求直线l的解析式； （2）如图（1），点C在第二象限内抛物线上，若，求点C的横坐标； （3）如图（2），设直线l与y轴交于点D，过点的直线与抛物线交于M，N两点（M在N左侧），过点N且平行于的直线与直线交于点Q，的面积是否发生变化，若变化，请求出最小值，若不变求出面积． 【答案】（1） （2）点C的横坐标为 （3）的面积保持不变， 【解析】 【分析】（1）由题意可知，先设直线l的方程解析式，代入点A得到，再联立抛物线方程得，直线l与抛物线有唯一公共点意味着方程由两个相等的实数根，利用判别式求出k的值，进而得出直线l的解析式； （2）根据题意构造出直角三角形使得，利用勾股定理和相似三角形对应边成比例的关系求解出相应的线段长度，因为点C在第二象限的抛物线上，设点C的坐标为，此时得出一个关于m的一元二次方程，根据m所在的象限取对应的值即可，因此可求得点C的横坐标； （3）确定直线l与点D的坐标，计算直线的k值，而，所以两条直线的k值相等，联立直线与抛物线得到，利用根与系数的关系得到，再通过表示出直线和的解析式，联立两个解析式求交点Q的坐标，再利用铅锤法表示的面积即可． 【小问1详解】 解：∵直线l过点， 设直线l的解析式为，将点代入得： ， ∴ ∴直线l的方程为：， 由题意知，联立抛物线与直线l得：， ∵直线l与抛物线有唯一公共点， ∴有两个相等的实数根，即， 解得：， ∴直线l的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点O作关于直线l的对称点，连接交直线l于点G，连接，并过点A作交x轴于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵直线l的解析式经过点、B，B是直线l与x轴交点， ∴点B坐标为，，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴，即，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 在中，由勾股定理得：， 过点O作交线段于点E，过点C作轴于点D， ∵点C位于第二象限的抛物线上，设点C坐标为， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得：，解得：，， ∵，即， ∴，即， ∴点C的横坐标为． 【小问3详解】 解：∵直线l与y轴交点D， ∴当时，则，即点D的坐标为， ∴设直线的解析式为， ∵，， ∴设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 由题意知，， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点，且与抛物线交于M，N两点， ∴设直线的解析式为， 联立抛物线解析式，得， 设点，， ∴由根与系数的关系可得：， ∴， ∴， 设，则， ∴， 把代入直线的解析式得，解得整理得：，即； 把代入直线的解析式，得，整理得：，即； ∵点Q为直线与的交点， ∴联立， 可得：， 解得， 把代入整理得 令，，则，， ∴ 代入可得：， ∴点Q的坐标为， 过点Q作x轴垂线，交直线l于，则， ∴， ∴， ∴的面积保持不变，． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，勾股定理的应用，综合性强，难度大，对逻辑思维能力要求高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $