湖南株洲市第四中学2026年初升高创新拔尖人才选拔考试数学试卷

株洲市第四中学2026年初升高创新拔尖人才选拔考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.-3的相反数是 A.月 B.3 C.-3 D,±3 2,3张反面无差别的卡片，它们的正面分别印有等边三角形、平行四边形和正六边形，现 将3张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张.用抽到的卡片正面图形都是轴 对称图形的概率为 A. B.Z c.号 3.如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3,DC=4,DA=5,则∠BDC的度数是 A.90° B.120° C.135° D.150° 4.现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区c游玩，到达A地 后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距 离到达风景区c,嘉琪发现风景区c在A地的北偏东15°方向，那么B,C两地的距离为 A.26千米 B.2W2+3)千米 B60 C.32千米 D.8千米 5.若反比例函数y=(2k-1)x2-2k-1的图象位于第二、四象限，则k的值 A.0 B.0或1 C.0或2 D.4 6.如图所示，两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF, AE=BC,AE与BC相交于C,AD交CF于H,且∠AGB=30°，AB=2,则图中重叠（阴 影)部分四边形AGCH的周长为 数学试题第1页（供6页） A.4 B.8 C.83 D.16 7.已知抛物线y=ax2-2ax+a-1(a是常数，且a≠0)与y轴正半轴交于点4，当0<x<1 时，y>0;当1<x<3时，y<0.则a的值为 A.4 B.3 C.8 D.6 8.如图，矩形ABCD中，BH1AC,DEI BH交CB的延长线于点E,交AB于点G,P 是DE上一点，∠BPD=∠BCD,且G为PF的中点，则①AF=CH;②AC=3FH；③ BE=BG;④若AE=6√2，则FG=3,以上结论正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 B D.4个 9.在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,⊙0与边AD、对角线AC均相切，过点B作⊙0的 切线，切点为P,则切线长BP的最小值为 A.6 B.7 C.52 D.45 10.如图，矩形ABCD中，AB=3BC=6cm,动点E和动点F以1cm/s的速度从点A出发， 分别沿折线ADC和折线ABC运动到点c停止，同时，动点G和动点H也以1cm/s的速度 从点C出发，分别沿折线CBA和折线cDA运动到点A停止，若点E,F,G,H同时出发了 s,记封闭图形EFGH的面积为Scm?,则s关于t的函数图象大致为 D S/km /km S/km2 数学试题 第2页（供6页） 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分， 11.若m-=6,且m+n=3,则m-n等于. 12.方程24的根是— x-2x-21 13.圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，其底面圆的半径为2cm,则其侧面展开图的半径 为 cm 14.如图，正方形AFEB和正方形BEDC的边长相等，点A、B、C在同一条直线上.连接 AD、BD,那么CoS∠ADB的值为. B D (14题图) (16题图) 15.已知关于x的一元二次方程x2+mx+2=0有两个不相等实根a、b,则ab(a+m)(b+m) 的值为」 16.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，且AD=3CD,E为BD的中点，若 ∠BAC+2∠BDC=180°，BC=6,则AE= 17.如图，△ABC中，CA=CB,D为BC延长线上一点，过点D作DE1AD,交AC延 长线于E,若∠B=2∠DAC,AE=8,，BD=11,则AD=一， A M B (17题图) (18题图) 18.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等 的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形 ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为S,,正方形MNPQ的面积为S2.若 BE=kAE(k>1),则用含k的式子表示三的值是 S, 数学试题第3页（供6页） 三、解答题：本题共8小题，共78分. 19.(6分)计算：2s1n60°+(5-V互)°-(-1)2a2-h-V5 20.(6分)先化简，再求值： 其中x=3 21.(7分)“海上生明月，天涯共此时”.中秋节前夕，某超市购入甲、乙两种月饼礼盒共25 盒，总共花费4800元.超市购入甲、乙两种月饼礼盒的价格分别为180元/盒，200元/盒. (1)甲、乙两种月饼礼盒各购入多少盒？ (2)该超市将这批月饼礼盒加价后进行出售.每盒甲月饼礼盒的售价比乙月饼礼盒的售价少 40元，消装者用200元购入甲月饼礼盒的数量是用1920元购入乙月饼礼盒数量的号 .则 这批月饼全部售出后，该超市能获利多少元？ 22.(7分)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上一点，连接BD,AE,它们相交 于点F,且∠BDA=∠BAE, E (I)求证：BE2=EFAE; (2)若BE=4,EF=2,DF=9,求AB的长. 23.(8分)某单位准备筹建一个新部门，需面向社会招收一批职工，单位组织报名的人员进 行考试，便于择优录取，将考试结果评定为A、B、C、D四个等级，并绘制出如下两幅不完 整的统计图，其中等级C所对的圆心角为126°，解答下列问题： 本人数 B 10% 50% D C OA B C D等级 数学试题 第4页（供6页） (1)本次报名参加考试的有多少人； (2)补全条形统计图： (3)若等级A中只有两位女同志，单位要在等级A中随机选择两人担任部门领导，请用树状 图求出恰好选中一男一女的概率， 24.(12分)如图1，在⊙0中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧c0D与直线AB相切于点 C,，且0C=10. M A/P B 图1 图2 图3 (I)求点D到直线AB的距离， (2)如图2，优弧c0D上存在一动点M,OM从0c出发按顺时针方向转动，转动速度为每 秒30°，转动时间为t秒.当点M运动至点D处时，停止转动.过点M作直线‖oc,直线 1与优弧c0D交于另一点N. ①当直线1与优弧coD相切时，t的值为一· ②当t=2时，求阴影部分面积· (3)在(2)的转动过程中，如图3，过点M作直线MP10D，与直线AB交于点P,则在 转动过程中，CP的最大值为一· 25.(15分)在平面直角坐标系中，点A(0,1). 图1 图2 图3 (I)如图1，若C(3,0),△ABc为等腰直角三角形，点B在第三象限时，求点B的坐标； 数学试题第5页（供6页） (2)如图2，在（1)的条件下，AB边交x轴于M,BC边交y轴于D,E是AB上一点，且 BE=AM,连DE.求证：AD+DE=CM; (3)如图3，若Q、C两点均在x轴上，且△ACQ的面积为4.分别以AC、AQ为腰在第一、 第二象限作等腰Rt△CAN、等腰RtAOAM,连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改 变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围. 26.（17分)已知四个实数m,n,a,b,规定新运算：[m,n,a,b]=mb-na;若一次函数y=mx+n 和二次函数y=ax2+bx+n满足[m,n,a,b]=m2,则称该一次函数与二次函数互为"和谐函 数” (1)下列关于x的二次函数是否与一次函数y=一x+4互为“和谐函数"？如果是，请在相应的 括号中打"V”,不是的打”×”； @y=-5x+4();@y=2x2-7x-4():©y=-1x+x+4() (2)已知一次函数y=mx+n的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B（A、B不重合)，若二 次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A和点B,证明：上述一次函数与二次函数互为"和谐函 数” (3)已知二次函数y=x+cx+P9(c≠0)与一次函数y=2x-2互为"和谐函数”，并且二次函 p 数y=x2+cx+pg的图象与x轴交于M,N两点（M在N的左边)，与y轴交于点G,记抛 物线的顶点为E,设△GMN的外接圆圆心为C,⊙C与y轴的另一个交点为F,是否存在四 边形FGEc为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由· 数学试题第6页（供6页）