湖南株洲市第四中学2026年初升高创新拔尖人才选拔考试数学试卷

株洲市第四中学2026年初升高创新拔尖人才选拔考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．-3的相反数是 A． B．3 C． D． 2．3张反面无差别的卡片．它们的正面分别印有等边三角形、平行四边形和正六边形．现将3张卡片的正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张．用抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率为 A． B． C． D． 3．如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是 A． B． C． D． 4．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么，两地的距离为 A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米 5．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值 A．0 B．0或1 C．0或2 D．4 6．如图所示，两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，．与相交于，交于，且，，则图中重叠（阴影）部分四边形的周长为 A．4 B．8 C． D．16 7．已知抛物线（a是常数，且）与轴正半轴交于点，当时，；当时，．则的值为 A．4 B．3 C．8 D．6 8．如图，矩形中，，交的延长线于点，交于点，是上一点，，且为的中点，则①；②；③；④若，则，以上结论正确的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．在矩形中，，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为 A．6 B．7 C． D． 10．如图，矩形中，，动点和动点以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，同时，动点和动点也以的速度从点出发，分别沿折线和折线运动到点停止，若点，，，同时出发了，记封闭图形的面积为，则s关于的函数图象大致为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．若，且，则等于_________． 12．方程的根是_________． 13．圆锥的侧面展开图的圆心角是，其底面圆的半径为，则其侧面展开图的半径为_________． 14．如图，正方形和正方形的边长相等，点、、在同一条直线上．连接、，那么的值为_________． 15．已知关于的一元二次方程有两个不相等实根a、b，则的值为_________． 16．如图，中，，点在上，且，为的中点，若，，则_________． 17．如图，中，，为延长线上一点，过点作，交延长线于，若，，，则_________． 18．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若（），则用含的式子表示的值是_________． 三、解答题：本题共8小题，共78分． 19．（6分）计算：． 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（7分）“海上生明月，天涯共此时”．中秋节前夕，某超市购入甲、乙两种月饼礼盒共25盒，总共花费4800元．超市购入甲、乙两种月饼礼盒的价格分别为180元/盒，200元/盒（1）甲、乙两种月饼礼盒各购入多少盒？ （2）该超市将这批月饼礼盒加价后进行出售．每盒甲月饼礼盒的售价比乙月饼礼盒的售价少40元，消费者用2000元购入甲月饼礼盒的数量是用1920元购入乙月饼礼盒数量的．则这批月饼全部售出后，该超市能获利多少元？ 22．（7分）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23．（8分）某单位准备筹建一个新部门，需面向社会招收一批职工，单位组织报名的人员进行考试，便于择优录取，将考试结果评定为A、B、C、D四个等级，并绘制出如下两幅不完整的统计图，其中等级C所对的圆心角为，解答下列问题： （1）本次报名参加考试的有多少人； （2）补全条形统计图； （3）若等级A中只有两位女同志，单位要在等级A中随机选择两人担任部门领导，请用树状图求出恰好选中一男一女的概率． 24．（12分）如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． （1）求点到直线的距离． （2）如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线l与优弧交于另一点． ①当直线l与优弧相切时，的值为_________． ②当时，求阴影部分面积． （3）在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为_________． 25．（15分）在平面直角坐标系中，点． （1）如图1，若，为等腰直角三角形，点在第三象限时，求点的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，边交轴于，边交轴于，是上一点，且，连．求证：； （3）如图3，若、两点均在轴上，且的面积为4．分别以、为腰在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． 26．（17分）已知四个实数，，，，规定新运算：；若一次函数和二次函数满足，则称该一次函数与二次函数互为“和谐函数”； （1）下列关于的二次函数是否与一次函数互为“和谐函数”？如果是，请在相应的括号中打“√”，不是的打“×”； ①（ ）；②（ ）；③（ ） （2）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点（、不重合），若二次函数的图象经过点和点，证明：上述一次函数与二次函数互为“和谐函数”； （3）已知二次函数（）与一次函数互为“和谐函数”，并且二次函数的图象与轴交于，两点（M在的左边），与轴交于点，记抛物线的顶点为，设的外接圆圆心为，与轴的另一个交点为，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $