2026年江苏省无锡市中考数学试卷

中考 真题 江苏省无锡市2026年初中学业水平考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟.】 一、选择题（本大题共10小题每小题3分，共7.如下图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符 得到△AB'C,若∠BAC=30°，∠B'AC=110°，则 合题目要求) 旋转角的度数是 1.如果一辆汽车加油50L记作+50L,那么消耗油 30L记作 ( A.+80L B.-80L C.+30L D.-30L 2使分式有意义的工的取值范围是 A.50° B.60° C.70° ( D.80° 8.《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡 A.x>1 B.x≥1 酒1斗值10钱.现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡 C.x≠1 D.x<1 酒各有多少？设浓酒x斗，淡酒y斗，则下列方 3.随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国 程组正确的是 经济社会数字化、智能化转型的重要引擎截止 x十y=30, A B. x+y=30, 2025年12月，我国生成式人工智能用户达 10x+50y=2 50x+10y=2 602000000人.数据602000000用科学记数法 x+y=2, x十y=2, C. D. 表示为 ( 10x+50y=30 50x+10y=30 A.602×10 B.6.02×10 9.如下图，二次函数y=ax2+bx十c(a>0)与一次函数 C.6.02×10 D.0.602×10 y=mx十n的图象交于A,B两点，已知点A(-3, 4.体育课上5名男生进行引体向上训练，他们的成 一1)，点B在y轴上，则不等式ax2十bx一mx≤0 的解集是 ( ) 绩（单位：个）为8,9,9,10,11.这组数据的众数和 中位数分别是 ( y=ax+bx+c A8,9 B.9,9 C.9,8 D.11,9 y=mx+n 5分式方程3 的解是 x+= Ax≤年3或x>0 Bx≤-1或x≥0 A.x=2 B.x=-2 C.-3≤x≤0 D.-1≤x≤0 C.x=1 D.x=3 10.在直角三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=2, 6.将函数y=3x一2的图象向上平移2个单位长 BC=√5.点D在边AB上，将△ACD沿CD翻 度，所得图象对应的函数表达式为 ( 折，得到△A'CD.当A'C∥DB时，△A'CD与 A.y=3x-4 B.y=3x △BCD重叠部分的面积是 ( ) C.y=5x-2 D.y=x-2 A⑥ 826 3 C26 9 D4⑤ 9 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答应写出 请把答案填在题中的横线上】 必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11.计算：-1+4= 19.(本小题满分8分)》 12.因式分解：ab2-4a= (1)解方程：x2-3x+1=0; 13.窗棂是中国传统建筑的重要元素，既有吉祥寓 (2)计算：(x+y)2+x(x-2y). 意，又显几何之美.如下图所示，某个窗棂图案的 外框是正六边形，这个正六边形的每一个外角都 等于 度 20.(本小题满分8分)先化简，再求值：m一n十 m十n其中m=1,n=2, 14.命题：“若x<1,则x2<1.”是 (填“真” 或“假”)命题. 21.(本小题满分10分)如下图，在矩形ABCD中， 15.在平面直角坐标系中，点A到原点的距离等于1. 点E,F在AD上，AE=DF,BE,CF的延长线 请写出一个符合条件的点A的坐标： 相交于点G. 16.在弹性限度内，某弹簧最多可挂质量为30g的 (1)求证：△ABE2△DCF; 物体，弹簧长度y(单位：cm)与所挂物体质量x (2)求证：△BCG是等腰三角形 (单位：g)之间的函数表达式为y=kx十9.若挂 10g物体时弹簧的长度为11cm,则挂15g物体 时弹簧的长度为 cm. 17.已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中 点，F是CE的中点，则DF=」 18.在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°， AD=3,AB=4,BC=5,点P在四边形ABCD 22.(本小题满分10分)一只不透明的袋子中装有 内.如图1，PB,PD将该四边形分成两部分，面 2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相 积分别记作S1,S2,则（填“存在”或“不 同.甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出 存在")点P,使得S1=S2;如图2，将点P向右 1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸 平移m(m>0)个单位长度，得到点Q(点Q.仍 出1个球. 在该四边形内).PB,PQ,QD将该四边形分成 )求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； 两部分，面积分别记作S1,S2.若存在点P,Q, ②)有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜 使得S1=S2,则m的取值范围是 色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜， 请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画 树状图”或“列表”等方法写出分析过程)？ 23.(本小题满分10分)某校积极开展劳动教育，鼓25.（本小题满分10分）如下图，AB是⊙0的直径， 励学生动手实践、磨炼意志.为了解本校学生参 AD是⊙O的弦，过点B的切线交AD的延长线 加家务劳动情况，现对八年级学生一周参加家务 于点C,AD=DC=1. 劳动时间（单位：min,按整数计）进行抽样调查， (1)求BC的长； 并把所得数据进行整理和分析，部分信息如下： (2)求图中阴影部分的面积 一周参加家务劳动时间的频数分布表 组别 劳动时间t/min 频数 A 140≤t<160 3 B 160≤t<180 m c 180≤4<200 D 200≤<220 18 E 220≤t<240 9 26.(本小题满分10分)综合与实践 丢沙包中的 数学 5% 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏 10% 要求将沙包丢向位于数米外的地面目标粑，若能 命中靶心，则获得游戏奖励. 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨 迹为主题，开展了如下综合与实践活动， 40% 【活动过程】 一周参加家务劳动时间的扇形统计图 活动1：发现模型 请根据以上信息，解答下列问题： 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹 (1)m= iy= 为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他 (2)学校建议八年级学生每周参加家务劳动时间 外力的作用) 不少于3h.已知该校八年级共有600名学生，请 活动2：应用模型 你估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间 (1)如下图，小红丢沙包时的出手高度为1.5m, 不少于3h的人数； 出手点与地面目标靶靶心的水平距离为10m, (3)请结合数据对该校八年级学生一周参加家务 沙包在距离出手点的水平距离为3m时达到最 劳动时间的情况作出评价。 高点，最高点距离地面2m,请通过计算说明沙 包能否正好命中靶心. 24.(本小题满分10分)如下图，在Rt△ABC中， (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面1m. ∠ACB=90°，AC>BC. 小红出手高度仍为1.5m,出手点与靶心的水平 (1)尺规作图：在AC上确定点D,使点D到A, 距离仍为10m.小红调整发力角度，使得沙包距 B两点的距离相等；在AB的下方确定点E,使 离出手点的水平距离为4m时达到最高点，这样 得四边形AEBD是菱形（不写作法，保留痕迹）； 沙包正好能命中靶心.求沙包达到最高点时距离 (2)在(1)的条件下，若BC=4,AD=3CD,求菱 地面多少米。 形AEBD的周长（请直接写出答案）. 10m 27.(本小题满分10分)如下图，点A在反比例函数 y=(x>0)的图象上，过A分别作x轴、y轴 的平行线，与反比例函数y=2(>O)的图象相 交于点B,C,过C作x轴的平行线，与反比例函 图1 图2 数y=的图象相交于点D(其中1，k2为常 【深入探究】 数，且k1>k2>0). (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所 (1)若点A(3,5),AB=2,则2 对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在.如何 (2)若点A的横坐标为2，且△ABC∽△CAD, 画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的 求k1与k2之间的数量关系. 名著中受到启发：以△ABC为例(AB<AC< (3)延长CB,DA相交于点P,当点A在函数图 2AB),画出∠A所对的“等截线”的部分步骤 象上运动时，△PCD的面积是否为定值？若是， 如下. 请求出这个定值；若不是，请说明理由， 画法 图形 y ①在AB上适当的 位置取点P,作直 线PK∥AC,PK 交BC于点K ②在PK上截取 PQ=PB,连接BQ 并延长，交AC于 点G ③在KC上取点M, 使得QM=PQ ④作CNOM,C 交BG于点N 请你根据以上信息，说明步骤④中的CN的长度 即为∠A所对的“等截线”的长度。 28.(本小题满分10分)在△ABC中，点D,E分别 在AB,AC上.若BD=DE=EC,则称线段DE 是△ABC中∠A所对的“等截线” 【初步感知】 (1)如图1，已知DE是△ABC中∠A所对的 “等截线”，∠BDE=150°，∠DEC=120°，求 tanC的值（请直接写出答案）. 【概念应用】 (2)如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,∠A 36°，BC=2,求∠A所对的“等截线”的长度. 江苏省无锡市2026年初中学业水平考试 答案速查 精准定位，正误立现 2+2=3x,故选B 7.D【解析J旋转的性质∠BAB=∠B'AC-∠BAC=110° 1-5 DCCBA 610 BDDCC 11 3 30°=80°，则旋转角的度数是80°，故选D 12a(6+2)(b-2) 136014假 15(1,0)(答案 8D【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 不唯一) 1612 17 18存在0<m<√17 9.C【解析】一次函数的图象与性质+二次函数的图象与性质+ 2 不等式的解集令x=0,则ax2十bx十c=c,mx十n=n,所以 详解详析 理清思路，拓展思维 c=n,则不等式ax2十bx一mx≤0可化为ax2+bx十c≤mx十 1.D【考点】正负数的意义 #,即问题转化为求二次函数图象在一次函数图象的下方（含交 2.C【考点】分式有意义的条件 点)时x的取值范围.由题图可知，一3≤x≤0，故选C 3.C【考点】用科学记数法表示较大的数 10.C【解析】折叠的性质+相似三角形的判定与性质+勾股定 4.B【考点】众数+中位数 理+平行线的判定与性质 5.A【解析】解分式方程去分母得3x=2(x+1),解得x=2, [第1步，求AB的长，证明CA'=CA和AD∥AC] 经检验x=2是原分式方程的解，故选A 如下图，因为AC=2,BC=√5，所以AB=√BC+AC=3. 6.B【解析】一次函数图象的平移将函数y=3x一2的图象向 因为点A与点A'关于CD对称，所以CA'=CA.因为A'C/ 上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为y=3x一 BD,所以∠BDA'=∠A'.又∠A=∠A',所以∠BDA'= BE=AE=号AB=1.在R△BCE中，CE=√BC+BE- ∠A,所以A'D∥AC [第2步，设A'D交BC于，点E,证明△A'ECO△ACB,得 CE,BE的长，再证△BDEn△BAC,得DE的长，再利用三 5,所以cF=E-cE-停品六-可得cG- 角形面机公式即可得解] 号cD=5,因此G=CF-00-9-29-语在 设A'D交BC于点E,因为A'D∥AC,∠ACB=9O°，所以 ∠AEC=90.又∠A'=∠A,所以△A'EC∽△ACB,即 R△DG中.DF=VGD+FG-,√g+(- 瓷-品，即凭-号，解得cE=5所以BE=C- 5 3 CE=5-25-9易知△BDEABC.所以能-是。 33 即房-空：都得DE一景，所以重叠部分的蛋积56一 cEDE-×25×号-2，故选c 18,存在0<m<√万【解析】勾股定理+梯形的面积公式+ 三角形的面积公式 [第1步，连楼BD,过点P作MN∥BD,分别交CD,BC于 点M,N,求梯形ABCD的面积，可得△BDP的面积，进而确 定点P的轨迹并算出点P到BD的距离] 11.3【考点】绝对值+算术平方根 如图1，连接BD,过点P作MN∥BD,分别交CD,BC于 12a(b+2)(b-2)【考点】因式分解 点M,N(巧作辅助线：平行线间处处等矩，可让MN上所有 13.60【解析】正六边形的性质+多边形的外角和正六边形的 点到BD的距离都相等，进而确定点P的轨迹)，由题意可知， 每个外角都相等，且外角和为360°，所以正大边形的每个外角 四边形ABCD是直角梯形，所以S8a-专×(3+5)× 都等于360°÷6=60° 14.假【解析】命题真假的判断当x=一2时，满足x<1,但 4-16,所以宁Sn8m-8又SAuo-专×3X46,所以当 x2=4>1,故命题：“若x<1,则x<1."是假命题 15.(1,0)(答案不唯一)【解析】平面直角坐标系内点的坐标特 Sam=8-6=2时，S1-SnAo=S.在R△ABD中 征设点A(x,y),则点A到原点O(0,0)的距离OA= BD=√AD+AB-5,所以点P到BD的距离为2S= BD √+y=1,所以x2+y2=1,如x=1y=0,此时点A的 坐标为(1,0)（答案不唯一）. 号，因此存在点P,使得S,=S,此时点P的轨迹为线段 16.12【解析】一次函数的应用由题意知，当x=10时，y= 10k+9=11,解得k=0.2,所以y=0.2x+9,所以当x=15 MN(不包括端点)，且MN与BD间的距离为 时，y=0.2×15+9=12,即挂15g物体时弹簧的长度为 [第2步，分析临界情形利用梯形的面积公式根搭题意列方 12cm. 程，求解即可得出m的取值范国] 口受【解折】正方形的性质+勾股定理+相级三角形的荆 如图2，考虑临界情况，当点P在AB上的点P'处，点Q在 CD上的点Q处时，设P'Q=x,若S=S2,则号(3+x)X 定与性质 [第1步，作DG⊥CE,报据正方形的性质证明△BCE∽ AP'=号5+)X4-P),解得AP=10,所以S,= △GDC,从而得出相似比例] 4十x 如下图，过点D作DG⊥CE于点G(巧作辅助线：构造克角三 合×3+)×1轻=8，解得x=厅（合负所以0 4十x 角形与相似三角形)，则∠CGD=∠DGF=90,所以 m17 ∠CDC+∠DCC=90,因为四边形ABCD是正方形，所以 ∠B=∠BCD=90',所以∠CGD=∠B,∠BCE+∠DCG= 90,所以∠BCE=∠GDC.所以△BCEn△CDC,因此8器- 甏畿 [第2步，借助相似比例得出CG,GD的长度，进而利用句股 图1 图1 定理即可得解] 19.【考点】解一元二次方程+整式的化简 因为四边形ABCD为正方形，所以CD=BC=AB=2,则 解：(1)因为a=1,b=-3,c▣1， 所以b2-4ac=5. (2分) 的人数为510. (8分) 所以x=二（二3)士5 (3)该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3小时的 2 人数大约占总人数的85%，人数较多，所以该校八年级学生 所以x1-35 大多数能够积极地参加家务劳动 (10分) 2 (4分) 24.【考点】尺规作图+菱形的判定+勾股定理 (2)原式-x2+2xy+y2+x2-2xy (2分) 解：(1)如下图即为所求作 =2x2+y2 (4分) 20.【考点】分式的化简与求值 解：原式=m一n(m十n)+n 十n (2分) =m2-n2+n m十n (4分) =mi m十n (6分) 当1=2时原武=吊2号 (8分) (6分) 21,【考点】矩形的性质+全等三角形的判定与性质+等腰三角形 (2)12√2 (10分) 的判定 【解题过程】设CD=x,则AD=3CD=3x, 证明：(1)，四边形ABCD是矩形 DB=DA=3x,∠ACB=90°，BC=4, .∠A=∠D=90°，AB=DC. ∴.在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2, (4分) 在△ABE和△DCF中， 即4+x2=(3x)2,解得x=2(舍负). AB=DC,∠A=∠D,AE=DF, .BD=32 .△ABE≌△DCF. (6分) ,∴.菱形AEBD的周长为4BD=12√2 (2):△ABE≌△DCF, 5【考点】圆的切线的性质+梯形的面积公式+扇形的面积公 ∴∠ABE=∠DCF. (8分) 式+三角形中位线定理+勾股定理+圆周角定理的推论 :四边形ABCD是矩形.， 解：(1)连接BD, ∴∠ABC=∠DCB=90° (9分) :AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90 .∠GBC=∠GCB. ∴.∠BDC=90. (2分) ,△BCG是等腰三角形 (10分) ,BC与⊙O相切于点B,.AB⊥BC 2【考点】概率公式+用列表法或画树状图法求概率 ∴∠ABC=90°. (4分】 解：1)号 (3分) AD-CD-1,:.BD-AC-1 (2)列表如下 ∴.在R△BCD中，BC=√CD+BD=√+I下=√2. 少 红 自 (5分) 甲 (2)连接OD 红， (红，红) (红，红：) (红，白) AD=CD,OAOB 红2 (红，红) (红，红) (红：，白) (白，红) (白，红2) (白，白) 0D/Bc,00=8c=号 (7分) (8分) ,∠ABC=90°，.∠BOD=90° (9分) 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有 5种，颜色不同的结果有4种. (9分) 六Sn=Saam一Sa=-（公式：角形面 所以P(甲胜)=号，P(乙胜)=号 贰另解：Sw=Sa-Saw-Sw=1-片 因为号+号（号>》， 音-) (10分) 所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平 (10分) 26.【考点】二次函数的实际应用 23【考点】频数分布表+扇形统计图+用样本估计总体 解：(1)建立如图1所示的平面直角坐标系」 解：(1)615% (4分) 【解题过程】因为样本容量为3÷5%=60， 所以m=60X10%=6; y=9÷60×100%-15%. (2)600×(1-5%-10%)=510(人). 10m 所以估计该校八年级学生一周参加家务劳动时间不少于3 图1 由题意得，图象的顶点坐标是(3,2)，过点(0,1.5). [第1步，设点A的坐标，表示出点B,C,D的坐标] 设y=a1(x-3)2+2. (2分)》 把x=0,y=1.5代人y=a(x-3)2+2, 如图1，设点A的坐标为。，会) 解得@1=一品（技巧：已知顶点垒标，设成项高式，屏客更 简便). 所以y=-3红-3)+2 (3分) 所以当y=0时，x1=9,x4=一3（舍） (4分) 因为9≠10， 所以沙包不能正好命中靶心（另解：因为当x=10时，y 一是+0，所以沙包不能正好命中北心》。 (5分) 图1 (2)建立如图2所示的平面直角坐标系 (德).c()尝》 y [第2步，求AB,AC,CD,并得到2 .AB-ak-k2ACCD-a(k-k 1m a 10m 品兽 (7分) 图2 解法一：[第3步，求得梯形ABCD的面积，根据相似三角形 由题意得，图像象过点(0,1.5)，(10,1) 的性质求得结果] 设y=a2(x一4)2+k. (1分) 把x=0,y=1.5x=10,y=1分别代入y=a:(x-4)2+k. Smm-AB+cD)·AC-好--k2 2k,k2 (9分) (9分) 易证△PBAU∽△PCD 所以沙包达到最高点时距高地面号（装巧：测物底y 。38吧-（侣）广-舞（关镜：利月和银三角形的 a(x一h)2十k,若a<0,则当x=h时，y取最大值k). 面积之比等于相似比的平方得出面积关系)。 (10分) 27.【考点】反比例函数的图象与性质+待定系数法求函数解析 Sarc(:) (10分) 2k: 式+相似三角形的判定与性质+梯形的面积+三角形的面积 解法二：汇第3步，设点P的纵坐标为m,利用相似三角形的性 解：(1)5 (3分) 质求得PN,进而求得结果] 【解题过程】AB∥x轴，且A(3,5),AB=2, 如图2，设点P的纵坐标为m .B(1,5)(关键：求出点B的坐标). 把点B1,5)的坐标代人y-三中， 得k2=1×5=5. (2),点A的横坐标为2， ∴点A的坐标为(2，)】 B(尝》.c含》D尝》技巧：B:物， 图2 CD任轴，则点A与点B的纵坐标相等，点C与点D的纵坐 标相等，AC小轴，则点A与点C的横坐标相等). 延长AB交OP于点M,延长DC交OP于点N. AB-2-2,AC-4,CD=2,-2 PM=m-怎，PN=m-名 2 (5分) :△ABC∽△CAD, 易证△PBAP△PCD. 铝品 删侣 清 k1k2=16. (6分) (3)△PCD的面积是定值 “m=十 如图2，作ND∥AC交AB于点D,过点D作DE/CN交AC 于点E(巧作辅助线：构造平行四边形，将线段CN转换为端 PN (9分) 点分别在AB,AC上的戴段). Sao=2PN·CD=kk,-k (10分) 2k: 28.【解析】新定义+解直角三角形+相似三角形的判定与性质+ 等腰三角形的判定与性质+三角形内角和定理 解：1)2+3 3 (3分)》 【解题过程】：∠BDE=150°，∠DEC=120°， 图2 ∴.∠ADE=180°-∠BDE=30°， ∴四边形CEDN是平行四边形. (7分) ∠AED=180°-∠DEC=60 PQ∥AC,DN∥AC,∴.PQDN. ∴∠BAC=180°-∠ADE-∠AED=90° ∴，△BPQ∽△BDN :DE是△ABC中∠A所对的“等根线”， 器器 ∴.BD=DE=CE CN∥QM,∴△BQM∽△BNC. 设BD=DE=CE=2m, 则AE=m,AD=DE·cos∠ADE=√3m 器器 ..AB-AD+BD-3m+2m,AC-AE+CE-3m 器器 amnC-9_5m+2m_2+5 AC 3m 3 QM=PQ,∴CN=DN. (2)[第1步，根据∠A=36'以及等腰三角形的性质推导出 ∴.平行四边形CEDN是菱形 (8分) AE=BE=BC,表示出AC的长度] [第2步，根搭BP=PQ推导出BD=DN,根据菱形的性质推 如图1，设DE是∠A所对的“等截线"”，连接BE. 导出结论] ,∴.CN=CE=DE=DN :PQDN,∴.∠PQB=∠DNB :BP=PQ,∴，∠PQB=∠PBQ .∠DNB=∠PBQ. ∴BD=DN, (9分) .'.BD=DE-CE. ∴，DE是∠A所对的“等截线” ∴CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度. (10分) 设DE=BD=CE=x, 解法二：[第1步，作ND∥AC交AB于点D,在AC上戴取 AB=AC,∴.AD=AE CE=CN,连接DE,推导出四边形CEDN是菱形] :∠A=36°，，∠ADE=∠AED=∠ABC=∠C=72 作ND/∥AC交AB于点D,在AC上截取CE=CN,连接DE .∠ABE=∠DEB=36 PQ∥AC,DN∥AC,∴，PQDN ∴∠BEC=72 .△BPQc∽△BDN ∴.∠BEC=∠C,∠A=∠ABE ∴，AE=BE=BC=2. 器器 ∴AB=AC=x+2. (4分) CN/∥QM,∴.△BQM△BNC. [第2步，粮导出△CAB∽△CBE,由相似三角形的性质得出 答案] 器器器器 :∠C=∠C,∠ABC=∠BEC, PQ=QM,∴，DN=CN ∴.△CAB∽△CBE. :.DN=CE. (5分)》 提喘 ∴，四边形CEDN是平行四边形 (1分) CE=CN, 学 ∴.平行四边形CEDN是菱形 (8分) [第2步，根据BP=PQ推导出BD=DN,根据菱形的性质推 x=5-1(会负). 导出结论] ∴，∠A所对的“等截线”的长度是5-1. (下同解法一) (6分) (3)解法-：[第1步，作ND∥AC交AB于点D,作DECN 交AC于点E,推导出四边形CEDN是菱形]