2026年江苏省连云港市中考数学试卷

**基本信息** 2026年连云港中考数学卷以真实情境为载体，梯度设计合理，融合文化传承与生活实践，全面考查数学抽象、推理及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相反数、轴对称、科学记数法等|结合银行标志考轴对称，游客数据考科学记数法，基础与情境结合| |填空题|8/24|不等式、因式分解、方差、菱形性质等|以矩形折叠考几何直观，反比例函数考面积计算，注重空间观念| |解答题|11/102|方程、统计、四边形、二次函数、费马点等|《九章算术》田亩问题传承文化，汽车转向角问题体现应用，费马点拓展考创新思维|

2026年江苏省连云港市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）·【易】6的相反数是（　　） A． B． C．6 D．﹣6 2．（3分）·【易】下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）·【易】2026年“五一”假期期间，我市接待游客突破608万人次，同比增长20.51%．数据“608万”用科学记数法可表示为（　　） A．608×104 B．6.08×105 C．6.08×106 D．0.608×107 4．（3分）·【易】如图，数轴上的点A，B，C分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（　　） A．|a|＜|c| B．|b|＞|c| C．|a|＜|b| D．|c|＞|a+b| 5．（3分）·【较易】已知，以下对p的值估算正确的是（　　） A．3＜p＜4 B．4＜p＜5 C．5＜p＜6 D．6＜p＜7 6．（3分）·【易】如图，扇形OAB，点C在上．若∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 7．（3分）·【较易】下列命题为真命题的是（　　） ①若a2＝b2，则a＝b；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除；④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③ 8．（3分）·【中档】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝10，DC＝4，AD＝BC＝5．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向终点B运动，同时点Q从点A出发，以同样速度沿边AB向终点B运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t（s），则S关于t的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）·【较易】不等式x﹣1＜0的解集是　 　 ． 10．（3分）·【中档】分解因式：a2﹣4＝　 　 ． 11．（3分）·【较易】要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是S甲2＝1.6，S乙2＝2.5，S丙2＝3.58，你认为派　 　 （填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 12．（3分）·【易】如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD的平分线交CD于点E，则CE＝　 　 ． 13．（3分）·【中档】取一张矩形纸片ABCD（图1），按如图2所示方式折叠，使点A落在CD上，折痕为DE，再按如图3所示方式折叠，点C与点E恰好重合，则 　 　 ． 14．（3分）·【较易】如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　 　 ． 15．（3分）·【较易】若a，b，c是三个不为零的实数，且a2＝bc，则的最小值为　 　 ． 16．（3分）·【中档】如图，菱形ABCD中，∠BCD＝60°，CD＝6，点P在边CD上，且PC＝2，Q为边BC上的动点，点C关于PQ的对称点为C′．若△C′AD、△C′BD的面积分别记为S△C′AD、S△C′BD，则S△C′AD﹣S△C′BD的最大值为　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）·【较易】计算：． 18．（6分）·【较易】解方程x（x﹣1）＝8x﹣8． 19．（6分）·【较易】先化简，再从3，﹣1，2中选取一个合适的数代入求值． 20．（8分）·【中档】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE＝DF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 21．（10分）·【中档】6月5日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．为了解某市的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内30天的空气质量，并对空气质量指数（W）进行了统计分析． 【收集数据】 43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92 60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60 【整理数据】 规定：W≤50时，空气质量为优；50＜W≤100时，空气质量为良；100＜W≤150时，空气质量为轻微污染． 空气质量 频数（天数） 频率 优 12 0.4 良 a 0.5 轻微污染 3 b 合计 30 1.0 【分析数据】 此组数据的平均数是62.5，众数是c，中位数是60． 【解决问题】 （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）请估计该城市这一年（365天）中有多少天空气质量达到优； （3）根据上述统计分析情况，写一条你的想法． 22．（10分）·【较易】我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP形象．小明将关于地域特产的4个IP形象（A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶），制作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象玩具． （1）若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是　 　 （填序号）； ①必然事件②随机事件③不可能事件 （2）若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率． 23．（10分）·【中档】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点分别为A（﹣6，0），B（10，0），C（4，10），D（0，8）．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）在CD边上作一点P，使PA＝PB，此时点P的坐标为　 　 ； （2）在BC边上作一点Q，使△QAD和△QOB的面积相等． 24．（10分）·【中档】某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买100亩，价一万．其大意为：今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱．今买好田、坏田共100亩，价值10000钱． （1）求好田、坏田各买了多少亩？ （2）现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50亩，好田的总产量为3000kg，坏田的总产量为6000kg，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3倍，求好田的平均亩产量？ 25．（12分）·【较难】【生活观察】（1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离）AB＝1.5m，前轮转向角θ即∠CBD＝30°，则旋转半径OB＝　 　 m． 【类比探究】（2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽AB约为2m，轴心距BC约为3m．转弯时，若右前轮的转向角θ即∠ECF＝20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH的度数． （参考数据：tan20.6°，tan26.6°，sin20.6°，tan33.6°，tan18.5°） 【综合实践】（3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C，D与直角拐点Q共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为5m，车辆左侧与实线PQ的距离为1m．现右前轮欲以固定转向角θ转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sinθ的范围． 26．（12分）·【难】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣m）2﹣m（m为常数）与x轴交于点A，B，点A位于点B的左侧，与y轴交于点C．若将抛物线向右平移1个单位，或向左平移3个单位，都经过点（3，0）． （1）直接写出抛物线和直线BC对应的函数表达式； （2）若平行于x轴的直线l与抛物线交于点M（x1，y1），N（x2，y2），与直线BC交于点Q（x3，y3），且x1＜x3＜x2，求的取值范围； （3）设抛物线的顶点为D，连接AC，在x轴上找一点P，使以点P，B，D为顶点的△PBD与△ABC相似，求点P的坐标． 27．（12分）·【中档】【问题情境】 （1）在锐角△ABC中，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小． 下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理． 如图1，以AC为边向外作等边三角形ACD，再作△ACD的外接圆⊙O，连接BD，与⊙O交于点P．则点P即为求作的点． 在PD上取一点P′，使PP′＝AP，连接AP′，在⊙O中，根据“同弧所对的圆周角相等”，得∠APP′＝①　 　 ＝60°，故△APP′是等边三角形．所以AP＝AP′． 进而可证得△ADP′≌△ACP．所以CP＝DP′． 所以PB+PA+PC＝BP+PP′+P′D＝BD． 由②　 　 （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得，BD的长即为PA+PB+PC的最小值． 【方法迁移】 （2）如图2，已知点A，B到直线l的距离AE＝BF＝4，EF＝6．在图中找一点P，使点P到点A、点B、直线l的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值． 【拓展应用】 （3）如图3，若村庄A，B，C，D的连线构成一个矩形，且AB＝a，BC＝b（a＜ba）． 现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b的代数式表示）． 2026年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D． A C． B C A B A 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．【答案】D． 【解析】解：6的相反数是﹣6． 故选：D． 2．【答案】A 【解析】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项B、C、D不是轴对称图形， 故选：A． 3．【答案】C． 【解析】解：608万＝6080000＝6.08×106． 故选：C． 4．【答案】B 【解析】解：由所给数轴可知， a＜b＜0＜c且|c|＜|b|＜|a|， 则|c|＜|a+b|， 显然只有B选项符合题意． 故选：B． 5．【答案】C 【解析】解：p3， ∵4＜5＜9， ∴23， ∴5＜36， 即5＜p＜6， 故选：C． 6．【答案】A 【解析】解：连接OC，则OA＝OC＝OB， ∴， ， ∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝90°﹣AOC+90°﹣2∠BOC＝180°﹣2（∠AOC+∠BOC） ， 故选：A． 7．【答案】B 【解析】解：①若a2＝b2，则a＝±b，故①不符合题意； ②相等的角不一定是对顶角，故②不符合题意； ③此命题是真命题，故③符合题意； ④四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形又是矩形，因此四边相等且对角线相等的四边形是正方形是真命题，故④符合题意； ⑤两个三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故⑤不符合题意． ∴以上命题是真命题的是③④． 故选：B． 8．【答案】A 【解析】解：如图，过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为F，E， ∴∠DEF＝∠EFC＝90°， ∵AB∥CD，即EF∥CD， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠DEF＝∠EFC＝90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴EF＝CD＝4，∠AED＝∠BFC＝90°，DE＝CF， ∵AD＝BC＝5， ∴△ADE≌△BCF（HL）， ∴， ∵AD＝5， 在Rt△ADE中，， ∴， 过点P作PM⊥AB于点M， 当P在AD上时，即0＜t＜5时，如图所示， ∴， ∴，函数图象为开口向上的抛物线，C，D不符合题意； 当P在CD上时，即5≤t＜9时， ∴PM＝DE＝4， ∴，函数图象为直线的一部分， 当P在CB上且Q未到达B时，即9≤t＜10时， ∴BP＝AD+DC+CB﹣t＝14﹣t， ∴， ∴，函数图象为开口向下的抛物线，故B不符合题意； 当P在CB上且Q到达B后，即10≤t≤14时， ∴，函数图象为直线的一部分，故A符合题意． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．【答案】x＜1． 【解析】解：x﹣1＜0， 移项得：x＜1， 故答案为：x＜1． 10．【答案】（a+2）（a﹣2） 【解析】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a+2）（a﹣2）． 11．【答案】甲． 【解析】解：∵甲、乙、丙三人的平均成绩都是89.5分，方差分别是S甲2＝1.6，S乙2＝2.5，S丙2＝3.58，而1.6＜2.5＜3.58， ∴甲的成绩最稳定， ∴派甲去参赛更好， 故答案为：甲． 12．【答案】1． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，BC＝AD＝2， ∴∠EAB＝∠AED， ∵∠BAE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠AED， ∴DE＝AD＝2， ∴CE＝CD﹣DE＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 13．【答案】． 【解析】解：在图3的CD上截取CH＝CG，连接GH，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°， ∵按如图2所示方式折叠，使点A落在CD上，折痕为DE， ∴∠CDE＝∠ADE∠ADC＝45°， ∵再按如图3所示方式折叠，点C与点E恰好重合， ∴∠CDG＝∠EDG∠CDE＝22.5°，∠CGD＝∠EGD，CG＝EG， 在△CDG中，∠C＝90°， ∴∠CGD＝90°﹣∠CDG＝67.5°， ∴∠CGD＝∠EGD＝67.5°， ∴∠CGE＝∠CGD+∠EGD＝135°， ∴∠BGE＝180°﹣∠CGE＝45°， 在△BGE中，∠B＝90°，∠BGE＝45°， ∴△BGE是等腰直角三角形， ∴BG＝BE， 设BG＝BE＝a， 由勾股定理得：EG， ∴CG＝EG， 在△CGH中，∠C＝90°，CH＝CG， ∴△CGH是等腰直角三角形， ∴∠CHG＝45°，CH＝CG， 由勾股定理得：GH2a， ∴BC＝BG+CG， ∵∠CHG是△HDG的外角， ∴∠CHG＝∠CDG+∠HGD， ∴∠HGD＝∠CHG﹣∠CDG＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠CDG＝∠HGD＝22.5°， ∴DH＝GH＝2a， ∴DC＝DH+CH， ∴AB＝DC， ∴． 故答案为：． 14．【答案】4． 【解析】解：如图所示， ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴且点A和点B在反比例函数y的图象上， ∴S△AOM＝S△BON＝1． 又∵点P在反比例函数y的图象上， ∴S矩形PMON＝6， ∴四边形OAPB的面积为：6﹣1×2＝4． 故答案为：4． 15．【答案】． 【解析】解：∵a2＝bc，且a，b，c都不为0， ∴bc≠0， ∴， 设则t＞0，原式， ∵， ∴， 当时，原式取得最小值， 即的最小值为， 故答案为：． 16．【答案】6． 【解析】解：由题意得，S△ADC′﹣S△BC′D＝S△ABD﹣S△ABC′， ∵S△ABD面积是定值为，S△ABC′面积随着Q的运动而变化， ∴当PC′⊥DC时，S△ABC′面积最小，最小值为， ∴S△ADC′﹣S△BC′D＝9（96）＝6． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】0． 【解析】解： ＝2+1﹣3 ＝0． 18．【答案】x1＝8，x2＝1． 【解析】解：x（x﹣1）＝8x﹣8， 整理得：x（x﹣1）﹣8（x﹣1）＝0， 因式分解得：（x﹣8）（x﹣1）＝0， 则x﹣8＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝8，x2＝1． 19．【答案】；4． 【解析】解：原式 ； ∵a≠0，a+1≠0，a﹣2≠0， ∴a＝3， 当a＝3时，原式． 20．【答案】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°． 又∵BE＝DF， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． ∴AE＝CF， ∵AD＝BC， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF． 即ED＝BF． ∴四边形BFDE是平行四边形． 【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°． 又∵BE＝DF， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． ∴AE＝CF， ∵AD＝BC， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF． 即ED＝BF． ∴四边形BFDE是平行四边形． 21．【答案】（1）a＝15，b＝0.1，c＝60； （2）146天； （3）减少废气的排放．（答案不唯一）． 【解析】解：（1）由题意得a30×0.5＝15，b＝3÷30＝0.1，出现次数最多的数是60，故众数c＝60； 故答案为：15，0.1，60； （2）365×0.4＝146（天）． 答：估计该城市这一年（365天）中有146天空气质量达到优． （3）减少废气的排放．（答案不唯一）． 22．【答案】（1）②； （2）． 【解析】解：（1）由题意可得， 从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是随机事件， 故答案为：②； （2）树状图下所示， ， 由上可得，一共有12种等可能性，其中盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的可能性有2种， ∴盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是． 23．【答案】（1）；（2，9）． （2） 【解析】解：（1）如图，作线段AB的垂直平分线交CD于点P， 则点P即为所求． ∵A（﹣6，0），B（10，0）， ∴点P的横坐标为2． 设直线CD的解析式为y＝kx+b， 将C（4，10），D（0，8）代入， 得， 解得， ∴直线CD的解析式为， 令x＝2，得y＝9， ∴点P的坐标为（2，9）． 故答案为：（2，9）． （2）如图，作∠DAB的平分线交BC于点Q， ∴点Q到直线AD的距离等于点Q到直线OB的距离． ∵A（﹣6，0），B（10，0），D（0，8）， ∴OA＝6，OD＝8，OB＝10， ∴AD10， ∴AD＝OB． 设点Q到直线AD的距离等于点Q到直线OB的距离等于h， ∴， 即△QAD和△QOB的面积相等， 则点Q即为所求． 24．【答案】（1）好田买了12.5亩，坏田买了87.5亩； （2）好田的平均亩产量是300kg． 【解析】解：（1）设好田买了x亩，坏田买了y亩， 根据题意得：， 解得：， 答：好田买了12.5亩，坏田买了87.5亩； （2）设坏田平均亩产量为mkg，则好田平均亩产量是3mkg， 根据题意得：50， 解得：m＝100， 经检验，m＝100是所列方程的解，且符合题意， ∴3m＝300， 答：好田的平均亩产量是300kg． 25．【答案】（1）3； （2）此时左前轮的转向角∠GDH 的度数约为26.6°； （3）． 【解析】解：（1）依题意，OB⊥BD，∠CBD＝30°， ∴∠ABO＝90°﹣∠CBD＝90°﹣30°＝60°， ∵OA⊥AB， ∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°， ∵AB＝1.5m， ∴OB＝3m， 故答案为：3； （2）由题意得OC⊥CF，OB⊥BC，OA⊥AD，OD⊥DH， ∴∠ECF+∠OCB＝90°，∠COB+∠OCB＝90°， ∴∠COB＝∠ECF＝20.6°， 在Rt△OCB中，， ∴， ∴， 解得：OB＝8m， ∴OA＝OB﹣AB≈8﹣2＝6m， 在Rt△OAD中，， ∴， ∴∠AOD≈26.6°， ∵∠AOD+∠ADO＝90°，∠GDH+∠ADO＝90°， ∴∠GDH＝∠AOD≈26.6°， 答：此时左前轮的转向角∠GDH的度数约为26.6°； （3）如图，连接OQ，设OA，PQ交于点M， 当θ最大时，A点经过Q点，此时DQ＝AM＝1， 依题意，∠ECF＝∠COB＝θ， 设OA＝r，则OM＝r﹣1，MQ＝AD＝3， 在Rt△OQM中，OQ2＝OM2+QM2， ∴r2＝（r﹣1）2+32，解得：r＝5， ∴OB＝OA+AB＝5+2＝7，BC＝3， 在Rt△OBC 中，， ∴， 当θ最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧， 如图，过点O作ON垂直于道路右侧， 设道路宽为l，依题意，l＝5， ∴OC＝ON＝l+AD＝5+3＝8， ∴sinθ＝sin∠ECF＝sin∠COB， 综上所述，． 26．【答案】（1）y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12；y＝﹣2x+12； （2）； （3）点P的坐标为或（﹣9，0）． 【解析】解：（1）将抛物线向右平移1个单位后的解析式变成：y＝（x﹣1﹣m）2﹣m， 将点（3，0）代入y＝（x﹣1﹣m）2﹣m，得：0＝（3﹣1﹣m）2﹣m， 解得 m＝1或m＝4， 将抛物线向左平移3个单位后的解析式变成：y＝（x+3﹣m）2﹣m， 将点（3，0）代入y＝（x+3﹣m）2﹣m，得：0＝（3+3﹣m）2﹣m， 解得m＝4或m＝9， ∴公共解为m＝4， 把m＝4代入y＝（x﹣m）2﹣m， 得出抛物线对应的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4＝x2﹣8x+12； 令y＝0，则0＝x2﹣8x+12， 解得x1＝2，x2＝6， ∴A（2，0），B（6，0）， 令x＝0，则 y＝12， ∴C（0，12）， 设BC的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线BC对应的函数表达式为y＝﹣2x+12； （2）如图，设直线l：y＝a， ∵x1＜x3＜x2，C（0，12）， ∴0＜a＜12． ∵直线l与抛物线和直线BC都相交， ∴可列方程， 得， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线x＝4， ∴x1+x2＝8， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 又∵0＜a＜12， ∴当a＝8时，y取得最小值为60，当a＝0时，y取得最大值为， ∴， 即； （3）如图，连接BD，过点D作DE⊥x轴，垂足为E． ∵抛物线y＝（x﹣4）2﹣4， ∴顶点D（4，﹣4）， ∴， 由（1）可知，OC＝12，OB＝6，DE＝4，BE＝2，AB＝4，， ∵，， ∴tan∠ABC＝tan∠DBE＝2， ∴∠ABC＝∠DBE． ∵△PBD与△ABC相似， ∴点P在点B的左侧． ∴存在△ABC∽△PBD或△ABC∽△DBP． 当△ABC∽△PBD时， 则， 得， ∴， ∴点； 当△ABC∽△DBP时， 有， 得， ∴PB＝15， ∴点P（﹣9，0）． 综上，使△PBD与△ABC相似的点P的坐标为或（﹣9，0）． 27．【答案】（1）①∠ACD；②两点之间线段最短； （2）作法：如图，连接AB，在AB上方作等边三角形ABD， 再作△ABD的外接圆，过点D作DM⊥l，垂足为M， DM交AB于N，交圆于点P，点P即为要作的点． ∴点P到点A、点B、直线l的距离之和为DM的长． 最小值为． （3）设计方案：如图所示，分别以边AB和边CD向矩形外侧作等边三角形ABM和等边三角形CDN，再作△ABM和△CDN的外接圆． 连接M，N，分别交两圆于点P1和点P2，连接AP1，BP1，CP2，DP2， 最小值为a+b． 【解析】解：（1）①∠ACD；②两点之间线段最短； （2）作法：如图，连接AB，在AB上方作等边三角形ABD， 再作△ABD的外接圆，过点D作DM⊥l，垂足为M， DM交AB于N，交圆于点P，点P即为要作的点． ∴点P到点A、点B、直线l的距离之和为DM的长． ∵点A，B到直线l的距离AE＝BF＝4， ∴AE∥BF，AE＝BF． ∴四边形AEFB是平行四边形． ∴AB＝EF＝6，AB∥EF． ∴MN＝AE＝4． ∵DM⊥EF， ∴DN⊥AB． ∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝6． 在Rt△AND中，， ∴． ∴点P到点A、点B、直线l的距离之和最小值为． （3）管道路线总长度最短为． 设计方案：如图所示，分别以边AB和边CD向矩形外侧作等边三角形ABM和等边三角形CDN，再作△ABM和△CDN的外接圆． 连接M，N，分别交两圆于点P1和点P2， 连接AP1，BP1，CP2，DP2， ∴AP1+BP1+P1P2+CP2+DP2＝MN． ..此时管道长度达到最小，最小值为MN， ∵三角形ABM为等边三角形，AB＝a， ∴∠MAB＝60°，AM＝a，∵AB⊥MN， ∴ME＝AM•sin60°a，同理可求得NF为， ∴MN＝ME+NF+EF＝2a+ba+b， ∴MN的长即为管道路线总长度的最小值，最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $