2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（人教A版）【范围：部分初中内容+集合】

**基本信息** 2026年高一数学开学学情自测卷，聚焦初中知识与集合衔接，通过基础题、能力题、创新题梯度设计，精准检测开学初学习状况，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|实数运算、命题否定、充要条件、集合运算|结合“数学村”运动情境考查方程应用，设置“周率”新定义问题| |多选|3/18|集合关系、充要条件判断、“闭集合”新定义|以Venn图直观呈现集合关系，通过“闭集合”概念辨析逻辑推理| |填空|3/15|因式分解、代数式求值、集合元素性质|立足初中基础，衔接高中集合元素互异性| |解答|5/77|集合参数范围、充分条件应用、抛物线综合、集合性质证明|从基础计算到创新证明，如第19题结合集合子集性质考查逻辑论证，体现数学思维严谨性|

2026年高一数学秋季开学学情自测卷02 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) ·: 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 . 4.考试范围：部分初中内容+集合 O O 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 : 1.下列各式计算正确的是() : : A.d.a=ao B.(-d)3= C.(a-b)=-b2 D.（-x-y)(-x+y)=x2-y2 O 2.命题“3x>0,x2-x+1>0"的否定为() : A.x>0,x2-x+1≤0 : B.x≤0，x2-x+1≤0 然 C.3x>0,x2-x+1≤0 .: : D.3x≤0，x2-x+1≤0 O 3.若a为实数，则"a>2是。<的(） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 那 4.设全集U={x∈Z|-4≤x<3},集合M={x∈U|2x+1≤-5}，则CM=() : A.{-2,-1} B.{-2,-1,0} C.{-2,-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2} : 5.Ac和Btsy都住在数学村.Anc于l:30骑自行车离开数学村，向正北方以每小时8英里的恒定速度 试题第1页（共6页） : 6学科网·上好课 行进.Bsy于2：30从同一地点骑自行车出发，向正东方以每小时12英里的恒定速度行进.问何时他们与 共同出发点的距离会完全相同？() A.3:30 B.3:45 c.4:00 D.4:15 E.4:30 6.定义集合A÷B= zz=x+,x∈AyeB 已知集合A=1,2,4},B={4,8},则集合A÷B的真子集合 的个数为() A.7 B.14 C.15 D.31 7.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径 之比称为区域的“周率”.下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为t1,2,3,4,则下 列关系中正确的为() ① ② ③ ④ A.t1>t4>t3 B.3>1>2 C.4>t2>t3 D.T3>4>1 8.已知集合A={x∈NI1≤x≤20}，且集合B,B,B,B4满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②BUB2UB3UB4=A. 称集合B,中元素的最大值与最小值之和为B,的特征数X,(i=1,2,3,4), 则X,+X,+X?+X4的值可能为() A.64 B.65 C.102 D.103 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知集合U是全集，集合M,N的关系如图所示，则() N) M A.MUN=M B.M∩N=N 试题第2页（共6页） ò学科网·上好课 C.MO(GN)= D.MO(CN)=U 10.下列结论中正确的是() A."x>2"是“x2>4"的充要条件 B.设A,B是集合，则“AUB=A⌒B”是“A=B"的充要条件 C.“a>b,且c>0"是“ac>bc"的充分不必要条件 D.设A是集合，则“②二A”是“A≠0"的充要条件 11.设集合M是非空数集，若对任意x,y∈M,都有xy∈M,则称集合M为“闭集合”.则下列说法正确 的是() A.集合A={0,1,2}不是“闭集合” B.正整数集是“闭集合” C.若集合M是“闭集合”，且M≠{O},则集合M中的元素个数一定是无数个 D.若集合M1,M都是“闭集合”，且M⌒M≠，则M∩M一定是“闭集合” 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.分解因式：7m2-28 13.若a=1 10-3,则a4-6c+a2-12a+3的值为 14.若集合A中有三个元素x、x+1、1,集合B中也有三个元素x、x2+x、x2,且A=B,则实数x= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 计算题. -+ (2(W6-3)(6+3)+1+V2. 试题第3页（共6页） 16.(15分) 已知集合A=xL-6≤x≤2，m∈R,B={xx<-3或x≥2为 (1)若AUB=R,求m的取值范围； (2)若A≤B,求m的取值范围， 兵 张 河 17.(15分) 游 已知集合A={-1≤x≤6，集合B={xm+1≤x≤2-1，∈R} ................ (1)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数的取值范围： (2)若A∩B=0,求实数m的取值范围. 肉 李 密 :0 试题第4页（共6页） 18.(17分) 已知抛物线y=-3x+9x+3与x轴交于本B两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,M(m,), 9 41 4 : N(n,y2)(m≠n)是直线BC上方抛物线上的两点，且N/1BC. B (1)求点B、C的坐标： (2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围： (3)过点M作MD/Iy轴交BC于点D,过点N作E1Iy轴交BC于点E,设四边形MDEN的周长为f(m). 识 ①求f(m)与m之间的函数关系式： ②若恰好存在四个M点，使四边形MDEN的周长相等，请直接写出此时四边形MDEN周长的取值范围. .0 怒 : ·: 试题第5页（共6页） 6学科网·上好课 19.(17分) 已知集合S={1,2,3,4,5,6,X表示有限集X的元素个数.对于neN,n≥2，若集合s的一组子集4， A,…,A满足： ①A+A+…+A=m; ②1≤i<j≤n,4∩4≤2： ③1≤i<j<k≤n,4∩A∩A≤1： 则称集合组A,A,…,A具有性质P(m). (1)判断下列两个集合组是否具有性质P(12),请直接写出你的结论. 集合组1：4={红，2,3}，A={4,5,6},A=1,3,5},4={2,4,6: 集合组2：A={1,2},A={2,3,5},4={3,5,6},A=1,3,4,5} (2)若集合组4，A,…,A具有性质P(24) (i)求证：n≥6. (i)求n的最小值. 试题第6页（共6页） 2026年高一数学秋季开学学情自测卷02 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D E C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） ； （2） ． 16．（15分） 【答案】(1) ；(2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 17．（15分） 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 18．（17分） 【答案】(1)；(2)，的取值范围为且； (3)①；②. 【详解】（1）令，即， 解得， 又因为当时，， 所以； （2）设直线的解析式为，将代入， 得，解得， 所以直线的解析式为， 又因为，是直线上方抛物线上的两点， 所以，且， 如图①，过作于点， 因为，易得, 因为，, 所以， 即， 整理得：， 所以，的取值范围为且； （3）①因为轴，轴， 所以,又因为， 所以四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以， 由（2）得，， 因为， 所以, 因为，, 所以， 所以， 所以平行四边形的周长为； 当时，，； 当时，，； 综上，； ②当时，， 由二次函数的性质可知； 当时，， 由二次函数的性质可知； 四边形的周长的图象为抛物线上的实线，如图②： 恰好存在四个点，使四边形的周长相等， 即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标， 所以四边形的周长的取值范围为. 19．（17分） 【答案】(1)集合组1具有性质,集合组2不具有性质；(2)（i）证明见解析;（ii） 【详解】（1）因为， ，， 所以集合组1具有性质； 因为，所以集合组2不具有性质. （2）（i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素， 不妨设，由于，，， 故，. 因此，，矛盾. 故. （ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，， 则，，，的所有三元子集共有个. （若存在则） 由 ， 知，，，无相同的三元子集. 由共有个不同的三元子集，知. 若存在，，则 ，对任意 ， 由 得 ，于是，矛盾，故所有 . 若，，，均小于等于5，且其中至少有两个为5， 则对应的两个集合有四个相同元素，矛盾. 若，，，均小于等于5，且其中恰有一个为5， 则，，，中1个为5，4个为4，1个为3，，矛盾. 若，，，均小于等于4，则，，，均为4，，矛盾. 综上，又，故. 当时，令，，，， ，，即可. 综上. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高一数学秋季开学学情自测卷02 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高一数学秋季开学学情自测卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：部分初中内容+ 集合 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．若为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．和都住在数学村．于骑自行车离开数学村，向正北方以每小时8英里的恒定速度行进．于从同一地点骑自行车出发，向正东方以每小时12英里的恒定速度行进．问何时他们与共同出发点的距离会完全相同？（    ） A． B． C． D． E． 6．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 7．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”．下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，，，，则下列关系中正确的为（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 10．下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 11．设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．分解因式：__________. 13．若，则的值为_____． 14．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 计算题． (1)； (2)． 16．（15分） 已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 17．（15分） 已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，，是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点的坐标； (2)求与之间的关系式，并直接写出的取值范围； (3)过点作轴交于点，过点作轴交于点，设四边形的周长为()． ①求()与之间的函数关系式； ②若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 19．（17分） 已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. (1)判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. (2)若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学秋季开学学情自测卷02 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误； 积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误； 完全平方公式展开得，故C错误； 将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确. 2．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所以命题“”的否定为. 3．若为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，则，在该不等式的两边同时除以得，即“”“”， 当时，不妨取，此时，即“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 4．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 5．和都住在数学村．于骑自行车离开数学村，向正北方以每小时8英里的恒定速度行进．于从同一地点骑自行车出发，向正东方以每小时12英里的恒定速度行进．问何时他们与共同出发点的距离会完全相同？（    ） A． B． C． D． E． 【答案】E 【详解】设出发（）小时后，两人与共同出发点的距离相等， 由于比早出发1小时，故此时的行驶时长为小时： 距出发点的距离： 英里 距出发点的距离： 英里 令，得方程： ，解得： 即Betsy出发2小时后两人距离出发点距离相等，对应时刻为加2小时，即. 6．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【详解】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 7．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”．下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，，，，则下列关系中正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于图①：补形可得正方形，设正方形的边长为， 则区域直径为，整个边界长为，可得周率为； 对于图②：设大圆的半径为， 则外圆边界长为，内边界恰好为一个半径为的小圆的周长，故整个边界长为， 且封闭曲线的直径最大值为，故周率为； 对于图③：补形可得等边三角形，设等边三角形的边长为， 则区域直径为，整个边界长为，可得； 对于图④：补形可得等边三角形，设各边长为， 则整个边界长为，直径为，故周率为； 综上所述：，故ABD错误，C正确. 8．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 【答案】C 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 10．下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 11．设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．分解因式：__________. 【答案】 【详解】. 13．若，则的值为_____． 【答案】 【详解】∵， ∴，，，∴. ∴ ． 14．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 【答案】 【详解】因为集合 和集合 中都恰有三个元素，所以 与各自集合中的另外两个元素均不相同． 又因为 ，且 是两个集合的公共元素，所以 ． 两个二元集合相等，分以下两种情况讨论． ① 若 ，，则 ，解得 或 ． 当 时，，其中只有两个不同的元素，不符合“集合 中有三个元素”的条件，舍去． 当 时，，符合题意． ② 若 ，，则由第一个等式得 ． 代入第二个等式，得 ，所以 ． 但将 代入 ，得到 ，矛盾，因此此种情况无解． 综上，． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 计算题． (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） ； （2） ． 16．（15分） 已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) ；(2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 17．（15分） 已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 18．（17分） 已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，，是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点的坐标； (2)求与之间的关系式，并直接写出的取值范围； (3)过点作轴交于点，过点作轴交于点，设四边形的周长为()． ①求()与之间的函数关系式； ②若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 【答案】(1)；(2)，的取值范围为且； (3)①；②. 【详解】（1）令，即， 解得， 又因为当时，， 所以； （2）设直线的解析式为，将代入， 得，解得， 所以直线的解析式为， 又因为，是直线上方抛物线上的两点， 所以，且， 如图①，过作于点， 因为，易得, 因为，, 所以， 即， 整理得：， 所以，的取值范围为且； （3）①因为轴，轴， 所以,又因为， 所以四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以， 由（2）得，， 因为， 所以, 因为，, 所以， 所以， 所以平行四边形的周长为； 当时，，； 当时，，； 综上，； ②当时，， 由二次函数的性质可知； 当时，， 由二次函数的性质可知； 四边形的周长的图象为抛物线上的实线，如图②： 恰好存在四个点，使四边形的周长相等， 即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标， 所以四边形的周长的取值范围为. 19．（17分） 已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. (1)判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. (2)若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 【答案】(1)集合组1具有性质,集合组2不具有性质；(2)（i）证明见解析;（ii） 【详解】（1）因为， ，， 所以集合组1具有性质； 因为，所以集合组2不具有性质. （2）（i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素， 不妨设，由于，，， 故，. 因此，，矛盾. 故. （ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，， 则，，，的所有三元子集共有个. （若存在则） 由 ， 知，，，无相同的三元子集. 由共有个不同的三元子集，知. 若存在，，则 ，对任意 ， 由 得 ，于是，矛盾，故所有 . 若，，，均小于等于5，且其中至少有两个为5， 则对应的两个集合有四个相同元素，矛盾. 若，，，均小于等于5，且其中恰有一个为5， 则，，，中1个为5，4个为4，1个为3，，矛盾. 若，，，均小于等于4，则，，，均为4，，矛盾. 综上，又，故. 当时，令，，，， ，，即可. 综上. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2026年高一数学秋季开学学情自测卷02 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 p 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CI[DI 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A]B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 日 12 13 14. 剂 请在各题目棘奢题！内体，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） (道9并)连9熊点豫 :路壬嵩易阳海☒马削致狂毋盖用避‘号抄海☒晴号阳目酷艺安熟 (LI)'6I :必壬嵩易明海☒马的到华狂毋茜用避‘易海☒踞易阳目瑶号丑单 2026年高一数学秋季开学学情自测卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：部分初中内容+ 集合 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 3．若为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．和都住在数学村．于骑自行车离开数学村，向正北方以每小时8英里的恒定速度行进．于从同一地点骑自行车出发，向正东方以每小时12英里的恒定速度行进．问何时他们与共同出发点的距离会完全相同？（    ） A． B． C． D． E． 6．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 7．一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”．下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，，，，则下列关系中正确的为（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 10．下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 11．设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．分解因式：__________. 13．若，则的值为_____． 14．若集合中有三个元素、、，集合中也有三个元素、、，且，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 计算题． (1)； (2)． 16．（15分） 已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 17．（15分） 已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，，是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点的坐标； (2)求与之间的关系式，并直接写出的取值范围； (3)过点作轴交于点，过点作轴交于点，设四边形的周长为()． ①求()与之间的函数关系式； ②若恰好存在四个点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 19．（17分） 已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. (1)判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. (2)若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $