入学摸底自检卷(二)-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

入学摸底自检卷（二） 时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1.若a十2∈{1,3，a2},则a的值为(). A.一1或1或2 B.-1或1 C.-1或2 D.2 2.“一元二次方程(x一a)(x一a一l)=0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是( A.-2<a<0 B.-1<a<0 c-2<a<0 D.-1≤a≤0 3.设集合M={xx2+x-6<0},N={x|1≤x≤3}，则M∩N=(). A{x|1≤x<2 B.{x|1≤x≤2 C.{x|2<x3 D.{x|2≤x≤3) 4.已知x>0,y>0,a十6=x+y,d=xy,则a+b) cd 的最小值是( ). h A.0 B.1 C.2 D.4 北 x2-1,x≤1， 5.已知函数f(x)= la.x2-x+2,x>1 的最小值是一1，则实数a的取值范围是( A[+e (o,】 c[品) 6.已知函数f)=(m一m-1Dx-是释函数，对任意的1,4∈(0，十oo)且1≠：满足f,)-f儿>0， x1一x2 若a,b∈R,且a+b<0,则f(a)+f(b)的值( Q口 A恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 7无字证明是指仅用图象而无须文字解释就能不证自明的证明方法，它被认为比严格的数学证明更为优雅与有条 理.如图1和图2，四边形ABCD为矩形，三角形BCE为等腰直角三角形.设AB=√a,BC=√石(a>0,b>0),则 借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是( A安>v画a>0,b>0) B.at a2+b 2≤W (a>0,b>0) 2 篇 苦 c≤v画a0,b>0 b 图1 图2 D.a2+b2≥2√ab(a>0,b>0) 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)十2，f(1)=2,且当x>0时，f(x)>一2，则不等式 f(x2+x)十f(1-2x)>8的解集为(）. A{xx<-2或x>1} B.{x|x<-1或x>2} C.{x|-1<x<2) D.{x-2<x<1} 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中，正确的是()， A“a<0"是日>的充分不必要条件 B.“一2≤入≤3”是“-1≤入≤3”的必要不充分条件 入学摸底自检卷（二）第1页（共4页） C.“x2卡y2”是“x≠y”的充要条件 D.“x∈(AUB)∩C”是“x∈(A∩B)UC”的必要不充分条件 10.已知a,b∈R4且a十b=1,那么下列不等式中，恒成立的有( ) Aab≤号 Bab+1、17 ab≥4 C.√a+√b≤2 D+ 11.已知函数f(x)的定义域是(0，+o),Vx,y∈(0，十∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时，f(x)>0,且 f(分)-1，则下列说法正确的是()。 A.f(1)=0 B.函数f(x)在(0，十∞)上单调递增 Cf2+f(合）+f3)+f(G）+…+f2023)+f(2023)=2023 D满足不等式fx)--2)≥2的x的取值范围为（么，号] 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在题中的横线上） 12.定义集合运算：A①B={zz=xy(x十y),x∈A,y∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A①B中的所有 元素之和为 13.已知x>0,y>0且x+y=1,则 千芹的最小值为 14.已知f(x)=一x2+2x|,若关于x的方程[f(x)]2十mf(x)+n=0(m,n∈R)恰好有三个互不相等的实根，则 实数m的取值范围为 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 15.(13分)已知函数f(x)=-3x2+1. 求证：f(）)≥fa士 2 (2)若函数y=h(x)满足h(2a-x)十h(x)=2b,则函数h(x)的图象关于点M(a,b)对称.设函数g(x)= f(x)十x3-1,求g(x)图象的对称中心(a,b). 入学摸底自检卷（二）第2页（共4页） 16.(15分)已知集合A=x2-<a<26-2ya>0),B={x-合<x≤2}， (1)当a=1,b=3时，求AUB和CRB. (2)是否存在实数a,b,使得A=B?若存在，求出a,b的值；若不存在，请说明理由. 17.(15分)已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元，设该公司一 年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收人为R(x)万元， 400-6.x,0<x≤40， 且R(x)=740040000 xx2,x>40. (1)写出年利润W(单位：万元)关于年产量x(单位：万部)的函数解析式（利润=销售收入一成本）. (2)当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 入学摸底自检卷（二）第3页（共4页） (x(3-x),0x≤3， 18.(17分)已知f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)= (x-3)(a-x),x>3. (1)求f(-2); (2)当x<一3时，求f(x)的解析式； (3)设函数f(x)在区间[-5,5]上的最大值为g(a),试求g(a)的表达式. 19.(17分)若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使得f(x1)f(x2)=1成 立，则称该函数为“依赖函数” (1①)判断函数g(✉)=是是否为“依赖函数”，并简要说明理由。 (2)若函数f(x)= 2?-x十合在定义域m,m]m,m∈N且m>D上为“依赖函数”，求m十n的值 (3已知函数fx)=-a)(a<专)，在定义域[告，4]上为“依懒函数”若存在实数x∈[专4]，使得对任 意的t∈R,不等式f(x)≥一t2十st十8都成立，求实数s的取值范围. 入学摸底自检卷（二）第4页（共4页）将①代入方程x2+2a.x十b2=0, 10x-1200>0,解得x>30或x<-40(不符合实 可得x2+2ax十a2-c2=0, 际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30km/h. 即(x十a-c)(x十a十c)=0, 但根据题意知，甲车的刹车距离略超过12m,由此 则方程的两个根为x=c一a或x=一a一c, 估计甲车的车速不会超过限速40km/h. 将①代入方程x2+2cx-b2=0,可得x2+2cx+ 对于乙车，有0.05x+0.005x2>10,即x2+10.x c2-a2=0, 2000>0,解得x>40或x<-50(不符合实际意 即(x+c-a)(x+c十a)=0, 义，舍去)，这表明乙车的车速超过40km/h,即超 则方程的两个根为x=a一c或x=一a一c, 过规定限速。 故两方程有公共根x=一(a十c). 综上所述，甲车没有超速，乙车超速了. .方程x2+2ax十b2=0与x2十2cx-b2=0有公 19.(1)令x=y=0,得f(0)=0. 共根的充要条件是∠A=90°. 设任意x∈(-1,1)，则-x∈(-1,1)，所以f(x)+ 17.(1)原不等式化为(x-1)2<m2. f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以函 当m=0时，A=;当m>0时，A={x|1-m< 数f(x)是奇函数. x<1十m};当m<0时，A={x|1十m<x<1-m. (2)设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)= 综上，当m<0时，A={x|1十m<x<1-m}: f+-=()》 当m=0时，A=⑦； 由-1<x1<x2<1知x1-x2<0,且|x1|<1,|x2|< 当m>0时，A={x|1-m<x<1十m. (2)若0<m<1,由(1)得A={x|1-m<x<1十 1,所以11，即1->0，所以名 m},所以a=1-m,b=1十m,故a十b=2. <0. (x=8a+2b>0, 设 则x+(-y)=x-y=5a+ -（-1)=1+)0=22>0,所以 1-x1x2 y=3a-3b0, 1 。1=1-1=1+1 5b=10,则8a+263a-36=立-y=x 产妥(-1,0，从面f()>0,即 1-x1x2 y f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),所以f(x)在 =(层+)+0”=(1+号+2+ (一1,1)上是减函数. )≥号，当且仅当x=-y=5,即a=，6-时 (3)由(2)知函数∫(x)在(-1,1)上是减函数，则 取等号。 当x∈[日，]时，函数f(x)的最大值为 6b11 因此，当a= 1 =6时，8a十23a-36的最小 f(-2)=-f(3)=1 值为导。 若f)≤-2a+1对所有xe[-7,2]ae 18.由题意知，对于甲车，有0.1x十0.01x2>12,即x2+ [-1,1]恒成立，则1≤t2-2at+1,即t2-2at≥0 参考答案与解析第3页（共8页） 对所有a∈[-l,1]恒成立. x=y时，等号成立] 设g(a)=t2-2at=-2ta十t2,则g(a)≥0对所有 5.A[由已知可得x≤1时f(x)=x2-1,显然f(x) g(1)≥0， 在(-∞，0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以 a∈[-1,1]恒成立，所以 即 g(-1)≥0， f(x)在x=0处取得最小值，f(0)=0-1=-1. [t2-2≥0， t≥2或t≤0， 当x>1时，若a>0,则f(x)=ax2-x+2的图象 即 解得t≥2或t=0 t2+2t≥0， t≥0或t≤-2， 开口向上，其对称轴为直线x一2a 1 或t≤-2. 综上，实数t的取值范围是(-∞，-2]U{0}U[2, 当a>0,2a>1,即0<a<2时，f(x)在(1，a]上 +o∞). 单调递减，在[品，十o∞)上单调递增，所以于(x)在 入学摸底自检卷（二） 六处取得最小值（）=>-1，解得 1.D[因为a十2∈{1,3，a2},所以a+2=1或3或 1 2<a< a2.当a十2=1，即a=-1时，集合中元素为1,3,1， 不满足集合中元素的互异性，舍去；当a十2=3，即 当a>0,0<名<1，即a≥2时，fx)=ar2-x+2 a=1时，集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的 在[1，十o∞)上单调递增，所以f(x)在x=1处取得 互异性，舍去；当a十2=a2时，解得a=2或a=-1 最小值f1)=a-1+2空-1，解得≥号 (舍去)，此时集合中元素为1,3,4，符合题意.] 若a<0,则f(x)=ax2-x十2的图象开口向下，则 2.C[由一元二次方程(x一a)(x-a-1)=0的两个 f(x)在(1，+∞)上必存在比一1小的值，不满足 根为a,a十1，又方程有一个正实数根和一个负实 题意 数根， 若a=0,则f(x)=-x十2，易得f(4)=-2<-1, fa<0, ∴.-1<a<0,即“一元二次方程(x 不满足题意， a+1>0, a)(x一a一1)=0有一个正实数根和一个负实数根” 综上，实数a的取值范周是[品+），故选A] 的充要条件为a∈(-1,0)，则其充分不必要条件a 6.B[由题可知，函数f(x)=(m2-m-1)xm3-1是幂 的范围应为（一1,0）的真子集，结合选项可得选项C 函数，则m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 符合题意] 对任意的x1,x2∈(0，十∞)且x1≠x2,满足 3.A[集合M={x|-3<x<2},M∩N={x|-3< fz)-f(x)>0,所以函数f(x)在(0，十∞)上单 x1一x2 x<2}∩{x|1≤x≤3}={xl1≤x<2}.] 调递增，故m=2.所以f(x)=x. 4.D[由题意知a十b=x十y,cd=xy,x>0,y>0, 又f(-x)=-x?=-f(x),所以f(x)为R上单调 则a+b)-x+y)≥2y四) cd =4,当且仅当 xy xy 递增的奇函数， 参考答案与解析第4页（共8页） 由a+b<0,得a<-b,所以f(a)<f(-b) x>2.] -f(b),则f(a)+f(b)<0.故选B.] 9AB[由aC<0可以准出}石反之不可以，故 7.A[由四边形ABCD为矩形，三角形BCE为等腰 A正确. 直角三角形，可推出三角形ABF也为等腰直角三角 由-2≤λ≤3推不出一1≤λ≤3，反之可以，故 形，所以题图1中的阴影部分面积S1=S△A那十 B正确 S6m=号a·a十号6·万=生惠图2中 1 由x2≠y2可以推出x≠y,反之不可以，故C错误. 的阴影部分面积S2=S矩形ABCn=√a·√b=√ab.由 因为(AUB)∩C是(A∩B)UC的子集，所以x∈ 题图中阴影部分面积的大小可得S,≥S2,即十中： (AUB)∩C可以推出x∈(A∩B)UC,反之不可 2 以，故D错误] √ab,当且仅当a=b时，等号成立.] 10.ABC ['.'a,6ER+,a+6=1, 8.B[(由x2=(x2一x1)十x1并结合题意，利用单调 “b≤（士）°=（当且仅当a=6=号时，等号 性的定义判断f(x)在R上是增函数，利用赋值法得 f(3)=10,从而原不等式等价于f(x2-x+1)> 成立.：1=a+b≥2√ad,1≥2，-ab≥ ab f(3),利用单调递增化为x2一x十1>3，解一元二次 不等式即可得解) 则高-历≥（高画）≥是 √ab 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 即a6+117 +b≥4：(a+6)2-a+b+2a≤ 因为f(x十y)=f(x)+f(y)十2， 所以f(x2)=f(x2-x1)+x1)=f(x2-x1)十 a十b+a+b=2(当且仅当a=6=2时，等号成 f(x1)+2. 立.6+6≤亿放AC正确日+玩 因为x>0时，f(x)>-2,所以f(x2-x1)+2>0, a 所以f(x1)-f(x2)=-(f(x2-x1)十2)<0， b.= +++≥+2√会元 a 即f(x1)<f(x2), 3 所以f(x)在R上是增函数. 2 十√2（当且仅当a2=2b2时，等号成立），∴.D 令x=y=1,所以f(2)=f(1)+f(1)+2=6, 不正确] 令x=2,y=1,所以f(3)=f(2)+f(1)+2=10, 11.ABD[因为f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=1, 不等式f(x2+x)十f(1-2x)>8等价于f(x2+x)十 得f(1)=f(1)+f(1)=2f(1),所以f(1)=0,故 f(1-2.x)+2>10=f(3), A正确. 所以f(x2+x+1-2x)>f(3), 令=2>0，得f1)=(x)+f()=0,所以 即f(x2-x+1)>f(3). 因为f(x)在R上是增函数， f(2）=-fx. 所以x2-x十1>3x2-x-2>0,解得x<-1或 任取x1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2,则f(x2) 参考答案与解析第5页（共8页） fx)=fx)+f(）=f(),因为>1，所 :22 y2 x+1y+2 以f(②）>0，即fx)-f(x)>0,所以fx)< =x+1)2-2(x+1)+1+y+2)2-4y+2)+4 x+1 y十2 f(x2),所以f(x)在(0，十∞)上单调递增，故 十1-2+y+2+,4。 =x+1+1 y+24 B正确， 1 4 f(2)+f(2)+f(3)+f(3)++f2023)+ x+1+y+22 f(2023)=f(2×2）+f(号×3）+…+ =(+)史+生)-2 f(2023×2023）=f1+f1)++f1)=0, 故C错误。 ≥+平2 因为f(2)=-1,f()=f(红)+f(y),所以 当且仅当希一为且x+y-1,即 (4)=f(合)+f(号)=-2，叉因为f()= 3 +y2 -f(x),所以f(4)=2,由f(x)-f(x-2)≥2得 时等号成立， 2 “x+1十y十2的最小值 y= 3 f(x)-f(x-2)≥f(4),即f(x)≥f(4x-8),因 为∫(x)在(0，十∞)上单调递增，所以 为好] x>0, 14.m<-1或m=0.[设方程t2十mt十n=0的两根 2-2>0,解得2<x<号，所以不等式f(x) 为t1,l2(t1≤t2), x≥4x-8, 当t1≠t2时，[f(x)]+mf(x)+n=0(m,n∈R) f一2)≥2的解集为2，]，故D正疏故 恰好有三个互不相等的实根， 等价于f(x)与y=t1和y=t2共有三个不同的 选ABD.] 交点， 12.18.[依据题中新定义知，当x=0,y=2或3时， 由图可知，此时有t1=0,t2>1, xy=0,x+y=2或x十y=3,故之=0；当 x=1, x=1, 时，xy=2,x十y=3,则之=6；当 时， y=2 y=3 xy=3,x十y=4,则z=12,即A①B={0,6,12},故 集合A⊕B中的所有元素之和是0十6十12=18.] 13.子["z+y=1,(z+1+0+2)=4 n=t1t2=0, 即-m=t1十t2=t2>1,解得m<-1; m2-4n>0, 参考答案与解析第6页（共8页） 当t1=t2时，[f(x)]2+mf(x)+n=0(m,n∈R) B={<或x>2 恰好有三个互不相等的实根， (2)假设存在实数a,b满足条件. 等价于f(x)与y=t1有三个不同的交点， 因为a>0,所以由2-6≤ax≤26-2，得2b≤ n=t1t2=0, a 由图可知，此时t1=t2=0,即一m=t1十t2=0, x5262 a m2一4n=0, 2-b 1 解得m=0. 2 a=2, 由A=B,得 解得 综上，实数m的取值范围为m<-1或m=0. 2b一2=2， b=3. a 故答案为m<-1或m=0.] 故存在a=2,b=3,使得A=B. 15.(1)由题意知f(x)=-3x2+1, 17.(1)当0<x≤40时， 放）-a告-() 2 W=xR(x)-(16.x+40)=-6.x2+384x-40 +1-2[(-3zi+1)+(-3x+1D] 当x>40时，W=xR(x)-(16x十40)=-40000 x 3 3 3 -16x+7360. 4 (x2 -6.x2+384x-40,0<x≤40， ≥0，所以f(任)≥f)f ..W 40000 2 -16x+7360,x>40. (2)g(x)=∫(x)十x3-1=x3-3x2,设g(x)图象 (2)①当0<x≤40时， 的对称中心为(a,b),则g(2a-x)十g(x)=2b,即 W=-6x2+384x-40=-6(x-32)2+6104, (2a-x)3-3(2a-x)2+x3-3.x2=2b, ∴.当x=32时，Wmx=6104; 则(6a-6)x2+(12a-12a2)x十8a3-12a2=2b, ②当x>40时， W=一40000 敲黑板：国为对任意的x,等式都成立， -16x+7360= x /40000+16x)+ x 所以x2和x的系数都为0 6a-6=0, 7360≤-2W 40000 ·16.x+7360=5760,当且仅 x a=1, 故12a-12a2=0,即 故g(x)图象的对 b=一2， 当40000=16x,即x=50时，等号成立，即当x= 8a3-12a2=2b, 50时，Wmx=5760<6104. 称中心为(1，一2). 综上所述，当x=32时，W取得最大值为6104，即 16.(1)当a=1,b=3时，A={x|-1≤x≤4}，又B= 当年产量为32万部时，该公司在该款手机的生产 {-2<x<2,所以AUB=(x-1≤x<4, 中所获得的利润最大，最大利润为6104万元. 参考答案与解析第7页（共8页） 18.(1)由题意得f(-2)=f(2)=2×(3-2)=2. 9 ,a≤6， (2)当x<-3时，-x>3,所以f(x)=f(-x) 综上所述，g(a)=(a-3) (-x-3)(a+x)=-(x+3)(a十x), 4 ,6<a<7, 所以当x<-3时，f(x)的解析式为f(x)= 2(a-5),a≥7. -(x+3)(a+x). 19.(1g)=是依镇函数”对于函数的定义域内 (3)因为f(x)是偶函数，所以它在区间[-5,5]上 =1,则x1x2=1, 的最大值为它在区间[0,5]上的最大值 任意x1,若g(x)·g(x2)=1 T1T2 当x≥0时， 对任意x1,都有唯一的x2(x1的倒数)使得等式成 -x2+3x,0x≤3， 立，故g(x)=1是“依赖函数” f(x)= x -x2+(a+3)x-3a,x>3. 1 (2)因为m>1,f(x)=2(x-1)P在[m,n]上是 ①当a<3时，f(x)在[0，是]上单调道增，在 严格增函数，故fm)f(m)=1,即子m-1)2(n [,5]上单澜递减，所以ga)=f(子)-号。 1)2=1,由n>m>1得(m-1)(n-1)=2, ②当3<a<7时fx)在[0，]与[3,3告2]上 〔m-1=1,〔m=2, 又m,n∈N+,所以 解得 n-1=2,n=3, 单调递增，在[23]与[生可上单润递减，所 故m十n=5. 以此时只需比较f(停）=号与f(3) (3)因为a<专，所以f(x)=(x-a)在 a一3)的大小 4 [告，4]上单潤递增，从而f(传)f(4)=1,即 9、(a-3)2 当3<a≤6时，4≥ 4 (传-a)‘4-a)2=1,进而（停-a）4-a)=1, 所以ga)=(）=, 解得a=1或a-号（合去). 当6<a<7时，}<a3” 4 又因为存在z∈[告4]，使得对任意的：∈R有不 所以ga)-(2生）-a3月 等式(x-1)2≥-t2十s·t十8都成立， 4 所以[(x-1)2]mx≥-t2+s·t十8，即9≥-t2十 ③当a≥7时，f(x)在[0，]与3,5]上单调递 s·t十8，整理得t2-s·t+1≥0对任意的t∈R恒 成立，即方程t2一s·t十1=0无实根或有两个相等 增，在[，3]上单调递减，且f(）=}<(6) 的实根，所以△=s2一4≤0，解得一2≤s≤2，即实数 =2(a-5),所以g(a)=f(5)=2(a-5). s的取值范围是[-2,2]. 参考答案与解析第8页（共8页）