24.2.3 列举所有机会均等的结果 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“列举所有机会均等的结果”，核心是用列表法、树状图法计算概率。通过回顾抽签、摸球等旧知检测基础，以抛掷硬币3次的概率比较情境导入，搭建新旧知识衔接的学习支架。 本资料以问题链驱动探究，如分析抛掷硬币步骤与结果等可能，培养推理意识。通过树状图、列表法规范列举结果，发展抽象能力与几何直观。结合“石头剪刀布”“抽卡片定门票”等实例，强化应用意识。助力学生掌握概率计算，提升教师教学效率与课堂互动质量。

3.列举所有机会均等的结果 课题 3.列举所有机会均等的结果 授课人 教 学 目 标 　　1.使学生在具体情境中了解概率的意义,能够运用列表、画树状图的方法计算简单事件发生的概率,并阐明理由. 2.使学生能够从实际需要出发判断何时选用列表法或画树状图法求概率更方便. 3.学习用列表法或画树状图法计算概率,并通过比较概率大小进行合理的决策. 4.经历试验、列表、统计、运算等活动,在具体情境中分析事件,计算其发生的概率. 5.渗透数形结合、分类讨论、由特殊到一般的思想,提高分析问题和解决问题的能力. 6.通过丰富的数学活动,交流成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会数学的应用价值,培养积极思维的学习习惯和提高学生的自学能力. 7.在解决实际问题中提高学生解决问题的能力,发展学生应用知识的意识. 教学 重点 正确地用列表法或画树状图法计算出现结果数目较多时随机事件发生的概率. 教学 难点 正确地表示出试验的所有等可能的结果. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　1.甲、乙、丙三人抽签确定一人参加某项活动,乙被抽中的概率是 　.  2.一个布袋中有4个红球和8个白球,除颜色不同外其余完全相同,那么从布袋中随机摸1个球是红球的概率是 　.  3.掷一个质地均匀的骰子,观察向上的一面的点数,则点数小于7的概率是　1　.  师生活动:学生完成题目并核对更正后,思考如何不重不漏地列出所有等可能的结果呢?引出课题:列举所有机会均等的结果. 本次活动中,教师应重点关注: (1)学生参与的全面性; (2)学生对旧知识的掌握程度. 　　通过检测,能及时反馈旧知识的掌握情况,调动学生的主观能动性,更能为新知识的学习做好铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 抛掷一枚普通硬币3次.有人说“连续掷出三个正面”和“先掷出两个正面,再掷出一个反面”的概率是一样的.你同意吗? 　　从学生比较感兴趣的活动入手,有利于调动学生思考的积极性. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 用树状图法计算概率 活动一:教师引导学生分析上面的情境,提出问题: 问题1:第1次抛掷硬币会出现几种结果? 问题2:每次抛掷硬币出现的各个结果的可能性是否一致? 问题3:若在第1次抛掷硬币出现正面后,第2次抛掷硬币还会出现正面吗? 问题4:“先掷出两个正面,再掷出一个反面”和“掷出两个正面,一个反面”是同一个事件吗?有没有区别? 师生活动:学生根据问题进行小组内讨论、交流,教师深入小组倾听学生的见解,最后综合意见,教师总结解题方法和过程. 教师总结并板书:画树状图法. 本次试验一共分三步完成,每一步完成均有两种情况,用树状图表示如下: 图24-2-17 　　1.通过示范画树状图法,加深学生对此种解法的理解,进一步巩固用画树状图法解决概率问题的技能. 活动 二: 探究 与 应用 　　教师活动:由树状图可知,从上至下每一条路径都是一种可能的结果,而且每种结果发生的概率相等,一共有8种结果,其中“连续掷出三个正面”的结果只有1种,“先掷出两个正面,再掷出一个反面”的结果也只有1种,所以P(连续掷出三个正面)=P(先掷出两个正面,再掷出一个反面)=,所以情境中的说法是正确的. 师生归纳总结: 用画树状图法求概率时, (1)先明确完成一次试验要经过几个步骤; (2)根据一次试验中几个步骤的顺序画出树状图; (3)将所求事件的结果数m和总的结果数n代入概率公式P=求解. 活动二:口袋中装有除颜色以外没有任何区别的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出1个球做好记录,放回搅匀,再摸出第2个球做好记录,两次摸球可能出现3种结果: (1)都是红球;(2)都是白球;(3)一红一白. 这三个事件发生的概率相等吗? 教师引导学生分析上面的活动情境,提出问题: 问题1:每次摸球会摸出几种颜色的球?每次摸出红球和白球的概率相等吗? 问题2:如果将两个白球分别加上编号1和2,那么每次摸球会出现几种结果?这几种结果出现的概率相等吗? 问题3:如果第一次摸球后没有放回,第2次摸球时出现的结果还会和第一次摸球时出现的结果相同吗? 师生活动:学生根据问题进行小组内讨论、交流,教师深入小组倾听学生的见解,最后综合意见,教师总结解题方法和过程. 师生活动:本次试验一共分两步完成,把两个白球分别记作白1和白2,画树状图表示如下: 图24-2-18 从中可以看出,一共有9种等可能的结果.“摸出两红”的结果有1种,“摸出两白”的结果有4种,“摸出一红一白”的结果有4种,所以P(摸出两红)= 　,P(摸出两白)= 　,P(摸出一红一白)= 　,所以“摸出　两红　”的概率最小,“摸出　两白　”和“摸出　一红一白　”的概率相等.  【探究2】 用列表法计算概率 活动一:投掷两枚普通的正方体骰子,掷得的点数之积有多少种可能?点数之积为多少的概率最大,其概率是多少? 教师活动:教师引导学生进行分析,不妨把两次掷骰子的点数分别记为第一次和第二次,如果用画树状图法表示所有可能出现的结果,每一个节点下面需要分出来6条“树枝”,会导致树状图非常繁杂, 故我们用表格来列举所有可能得到的点数之积. 　　2.通过活动二让学生体会如何将概率不相等的结果进行拆分,在这个探究过程中,进一步深化理解:在画树状图时每一个节点的几条“树枝”所对应的事件必须都是等可能的. 活动 二: 探究 与 应用 可能得到的点数之积的情况 　　　第1枚 积　 第2枚　　　 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 　　表中每个单元格里的乘积出现的概率相等,从中可以看出积为　6和12　的概率最大,其概率等于 　.  活动二:“石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏.游戏时,甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种,规定:“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”,同种手势不分胜负. 假定甲、乙两人每次都是等可能地做这三种手势,那么一次比赛时两人做同种手势(即不分胜负)的概率是多少? 解:如图24-2-19,画出树状图: 图24-2-19 所有机会均等的结果有9种,其中的3种——(石头,石头)、(剪刀,剪刀)、(布,布)是我们关注的结果,所以P(同种手势)=. 教师活动:教师引导学生思考问题: (1)试一试,请用列表法分析活动二,看看所得结果是否一致. (2)想一想,利用树状图或表格的优点是什么?什么时候用树状图比较方便?什么时候用表格比较方便? (学生总结,教师点评) 　　【总结】 利用树状图或表格可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,从而比较方便地求出某些事件发生的概率. 当试验包含两步时,列表和画树状图都可以,当试验包含三步或三步以上时,画树状图比较方便. (1)列表法就是把要求的对象用表格一一表示出来分析求解的方法.当一次试验要涉及两个元素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表的方法. (2)当一次试验要涉及两个以上元素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用画树状图的方法. 　　3.让学生体会到数学知识无处不在,应用数学无处不有,符合“数学教学应从生活经验出发”的新课标要求.为了规范学生的解题格式,将解题的步骤展示出来. 4.让学生感受用画树状图法和列表法求随机事件概率的优点和差异之处,在遇到实际问题时,能够选择合适的方法解决问题. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　一个盒子内装有大小、形状相同的4个球,其中红球1个、绿球1个、白球2个,小明摸出1个球不放回,再摸出1个球,则两次都摸到白球的概率是 (C) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 师生活动:学生先独立思考,分析出摸球活动涉及两步,需列表分析可能结果,教师再适当引导学生列出下表,得到12种等可能结果,其中有2种(两次均摸到白球)满足条件,由概率公式可解. 　 　第一次 第二次　　 红球 绿球 白球1 白球2 红球 绿球,红球 白球1,红球 白球2,红球 绿球 红球,绿球 白球1,绿球 白球2,绿球 白球1 红球,白球1 绿球,白球1 白球2,白球1 白球2 红球,白球2 绿球,白球2 白球1,白球2 　　教师提醒:注意摸球“放回”与“不放回”的区别:(1)“放回”可以看作两次相同的试验;(2)“不放回”可以看作两次不同的试验. 变式 一只不透明的袋子中装有两个形状、大小相同的小球,上面分别标有数字1和2,若随机地从中摸出一个小球,记下号码后放回,再随机地摸出一个小球,则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是 (D) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 师生活动:学生进行自主解答,写出解答过程,然后小组内讨论、交流,教师点评,并做好总结归纳. 例2　甲口袋中装有2个形状、大小相同的小球,它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个形状、大小相同的小球,它们分别写有字母C,D和E;丙口袋中装有2个形状、大小相同的小球,它们分别写有字母H和I.从3个口袋中各随机地取出1个小球. (1)取出的3个小球上恰好有1个、2个、3个写有元音字母的概率分别是多少? (2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少? 师生活动: 1.教师引导学生分析:本题一次试验中有几个步骤?顺序是怎样的? 解:一次试验中有三个步骤,但抽取顺序是不确定的.不妨设抽取顺序为从甲口袋取一球、从乙口袋取一球、从丙口袋取一球. 2.画出树状图:学生试画后,教师板书. 解:根据题意,我们可以画出如下树状图: 图24-2-20 　　学以致用,通过例题及变式练习,使学生掌握列表法解决两步或涉及两种因素的概率问题. 活动 二: 探究 与 应用 　　师生共同讨论得出:本题中共涉及四个随机事件,要分别数出每个随机事件中n,m的值,学生讨论后归纳出正确数出n,m的方法: 方法1:通过画出的树状图按由上至下,由左至右的方法把每一种可能的结果写出来,从中找出n,m的值. 方法2:直接看树状图的最后一步,就可以求出n的值;再由最后一步向上逐个找出符合要求的可能结果,就可以求出m的值. 【拓展提升】 例3　某市艺术节期间,小明、小亮都想去观看茶艺表演,但是只有一张茶艺表演门票,他们决定采用抽卡片的办法确定谁去,规定如下:将正面分别标有数字1,2,3,4的四张卡片(除数字不同外其余都相同)洗匀后,背面朝上放置在桌面上,随机抽出一张记下数字后放回,重新洗匀后背面朝上放置在桌面上,再随机抽出一张记下数字,如果两个数字的和为奇数,那么小明去;如果两个数字的和为偶数,那么小亮去. (1)请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字和的所有可能出现的结果; (2)你认为这个规则公平吗?请说明理由. 解:(1)画状图如下: 图24-2-21 由树状图可知共有16种等可能的结果. (2)和为奇数有8种,和为偶数有8种,则P(和为奇数)=;P(和为偶数)=.∵P(和为奇数)=P(和为偶数),∴游戏公平. 　　通过对概率的几个重要方面的阐述,使学生的认知结构得到优化,知识体系得到完善,使学生的数学理解再一次突破思维的难点. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.连续两次抛掷一枚硬币,两次正面朝上的概率是 　.  2.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏,则小明赢的概率是 　.  3.某次考试中,每道单项选择题一般有4个选项,某同学有两道题不会做,于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案,则该同学的这两道题全对的概率是 　.  4.在一个口袋中有5个完全相同的小球,把它们分别标号1,2,3,4,5,随机地摸出一个小球后放回,再随机地摸出一个小球,用列表法或画树状图法求下列事件的概率: (1)两次取出的小球的标号相同; (2)两次取出的小球的标号的和等于5. 　　达标检测是为了加深学生对所学知识的理解运用,在问题的选择上以基础为主、疑难点突出,增加开放型、探究型问题,使学生思维得到拓展、能力得以提升. 活动 三: 课堂 总结 反思 5.如图24-2-22是一个被等分成3个相同扇形的圆形转盘,3个扇形分别标有数字1,3,6,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动转盘). 图24-2-22 (1)请用画树状图或列表的方法(只选其中一种)表示出分别转动转盘两次,转盘自由停止后,指针所指扇形数字的所有结果; (2)求分别转动转盘两次,转盘自由停止后,指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率. 师生活动:学生进行当堂检测,完成后,教师进行个别提问,并指导学生解释做题理由和做题方法,使学生在思考解答的基础上,共同交流、形成共识、确定答案. 【课堂总结】 (1)谈一谈你在本节课中有哪些收获,有哪些进步. (2)学完本节课后,还存在哪些困惑? 　　巩固、梳理所学知识.对学生进行鼓励和思想教育. 【板书设计】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究活动中,教师注重学生的合作交流活动,通过由浅入深的实际问题,体会不同条件下如何用合适的方法来表示事件发生的可能性.应尽量让学生通过具体试验领会概率,形成观念,发展学生的辩证思维能力. ②[讲授效果反思] 真正地把课堂交给学生,放手让他们自己去发现问题,思考问题,自己去找出解决问题的办法,这样得到的结果,才会记得更准确,更长久.在学习中,要注意发挥小组的作用,要给学生充足讨论的自由,让他们大胆地说出自己的想法和见解,把大家的智慧汇聚到一起,要团结学习. ③[师生互动反思] 教学过程中,学生没有经验,教师指导学生进行简单的记忆和模仿,教师尽量鼓励和引导学生主动探究和构建知识结构. ④[练习反思] 好题题号　达标检测第4,5题. 错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $