1.2 常用逻辑用语（分层作业练题型）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高中数学常用逻辑用语同步练，分层设计梯度清晰，以“概念理解-逻辑推理-综合应用-高考衔接”为知识巩固路径，适配新授课差异化教学，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|命题真假判断、充分必要条件基础判断|细分“是”“的”结构题型，结合数学文化（如《墨子》“大故”）| |B组能力进阶|参数问题、充要条件探索|含解答题（求参数范围），强化逻辑推理| |C组思维拔高|复杂推理、反证法证明|多命题真假辨析，培养批判性思维| |拓展链接高考|高考真题题型|对接高考考点（如2023北京高考条件判断）|

分层作业 1.2 常用逻辑用语 参考答案 ( 题型0 1 )命题的真假判断 1．【答案】假 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 2．【答案】C 【详解】由题可知，命题甲､乙､丙中必有一个是假命题. 若甲为假命题，则由乙､丙为真命题可得，此时与丁矛盾，故不成立； 若乙为假命题，则由甲､丙为真命题可得，，此时与丁矛盾，故不成立； 若丙为假命题，则由甲､乙为真命题可得，，此时，丁也成立，满足题意，所以假命题为丙， 故选：C. 3．【答案】B 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 4．【答案】C 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 5．【答案】甲 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 ( 题型0 2 )充分条件、必要条件的判断（“是”结构) 6．【答案】A 【详解】若则显然成立，满足充分性； 由可得，推不出，不满足必要性，所以A正确. 7．【答案】A 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 8．【答案】A 【详解】解方程， 若，即或者，原式为， 整理得，解得或者. 若，即，原方程， 即，等式恒成立，所以 综上 而是的真子集，所以是充分不必要条件. 9．【答案】A 【详解】是奇数都是奇数， 所以能推出，但推不出， 所以是的充分非必要条件， 故选：A 10．【答案】A 【详解】先讨论充分性： 当时，，故能推出； 当时，，由得，故，即能推出， 所以“”是“”充分条件成立； 再讨论必要性： 取，此时满足，但不满足， 所以必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．【答案】充分不必要 【详解】且， ， 且是“”的充分条件； 而不一定得出且， 即“且”不是“”的必要条件， “且”是“”的充分不必要条件． ( 题型0 3 )充分条件、必要条件的判断（“的”结构) 12．【答案】B 【详解】对于A,由于不能推出，故A错误， 对于B,由可得，故可得，但可得，无法得到，故是成立的一个充分不必要条件，B正确， 对于C，由可得，由于无法得知的符号，所以无法确定，故C错误， 对于D, ，故是成立的充分必要条件，D错误， 故选：B 13．【答案】A 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 14．【答案】 (答案不唯一) 【详解】解：因为方程有实根， 所以，即，解得， 反之，当时，，则方程有实根， 所以是方程有实根的充要条件， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为：；(答案不唯一). 15．【答案】③④ 【详解】对于①中，由，则可能且，此时，所以充分性不成立； 对于②中，例如，满足或，此时，所以充分性不成立； 对于③中，由，可得，反之不成立， 所以是的充分不必要条件； 对于④中，由且，则，反之：若，不一定得到且， 所以且是的充分不必要条件. 故答案为：③④ 16．【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 17．【答案】B 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 18．【答案】A 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. ( 题型0 4 )数学文化中的充分性和必要性 19．【答案】A 【详解】由题意可知龙城飞将在，不教胡马度阴山， 而不教胡马度阴山，不一定是龙城飞将在， 所以“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的必要条件， 故选：A 20．【答案】A 【详解】由题意可知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生， 所以“有之必然”表述的数学关系是充分条件， 故选：A 21．【答案】B 【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件. 故选：B. 22．【答案】A 【详解】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”， “梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件. 故选：A. ( 题型0 5 )根据充分性，必要性求参数 23．【答案】 【详解】因为是不等式成立的一个充分非必要条件， 所以， 所以，且等号不能同时成立， 解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 24．【答案】 【详解】因为是的必要非充分条件，所以是的非空真子集， 由于无解,则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 25．【答案】 【详解】由题意得为的真子集， 要满足（等号不同时成立），解得， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 26．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 所以， 解得， 故实数m的取值范围为； （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 27．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为集合，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为是的必要不充分条件，可知集合为集合的真子集， 且集合，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. ( 题型0 6 )探索命题为真的充要条件 28．【答案】B 【详解】函数的图象的对称轴为直线， 函数的图象关于直线对称的充要条件是，即. 故选：B. 29．【答案】A 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 30．【答案】A 【详解】解：且， 故的充要条件为都不为2． 故选：A． 31．【答案】假 【详解】，，通分可得， 即，所以， 则或，此时满足； 当时，满足,但此时，不满足， 所以“的充要条件是 是假命题， 故答案为：假. 32．【答案】(1)； (2)为所求的充要条件． 【分析】 【详解】（1）原方程等价于或， 所以或， 由于， 所以当时，M恰有3个元素，即． （2）必要性：由（1）知，两个方程或， 两个方程的三个根分别为， 若它们是直角三角形的三边，则， 解得． 充分性：若，可解得，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形． 所以为所求的充要条件． ( 题型0 7 )反证法 33．【答案】A 【详解】假设①为真，则由题意且且，故， 假设②为真，则由题意且且，故， 假设③为真，则由题意且且，矛盾，所以③为真不成立， 所以最大的数不可能是. 故选：A. 34．【答案】且 【详解】先假设该命题的结论不成立，即假设“且”. 故答案为：且. 35．【答案】证明见解析. 【详解】反证法证明，假设且， 且，，这与已知条件矛盾， 假设不成立，原命题成立， 即“若，则或”成立. 36．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）假设，则， 与矛盾，则假设不成立，故. （2）假设中都是偶数， 则， 两式相加并整理，得， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 37．【答案】证明见解析 【详解】证明：假设方程有整数根，，则，即． ①若为偶数，则与均为偶数，所以为偶数， 从而为偶数，与题设矛盾； ②若为奇数，则与均为奇数，所以为偶数， 从而为偶数，与题设矛盾． 综上所述，方程无整数根． 一、填空题 1．【答案】充分不必要 【详解】由，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 2．【答案】 【详解】取，则，而， 所以可验证该命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一） 3．【答案】 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．【答案】且 【详解】由题意，应假设且， 故答案为：且 5．【答案】必要不充分 【详解】或，， 显然不能推出，可以推出，故是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 6．【答案】（答案不唯一） 【详解】因为等价于，所以能推出， 所以的一个必要条件为. 故答案为：.（答案不唯一） 二、单选题 7．【答案】C 【详解】因为“中至少有一个小于零”的否定为“全都大于等于”， 所以由用反证法证明数学命题的方法时，对结论进行否定，应假设“全都大于等于”. 故选：C. 8．【答案】C 【详解】根据偶数的定义可知①为真命题；为奇数但不能被整除，因此②为假命题；由可知③为真命题， 所以真命题的个数为，故C正确. 9．【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 10．【答案】B 【详解】因为全集，集合，所以是的子集， 则“”是“”的必要不充分条件. 三、解答题 11．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则， 因为，所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 所以， 即实数m的取值范围是． 12．【答案】(1) 要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． (2)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 13．【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【详解】略 14．【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：在中，因为， 由三角形的性质，可得，解得， 所以第三条边长度的所有可能值组成的集合为. （2）解：假设，因为，所以， 所以，所以，这与为锐角三角形相矛盾， 所以假设不成立，所以. 1．【答案】A 【详解】由题意可知是的真子集， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：A 2．【答案】B 【详解】因为，所以 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，由 解得 或 ， 均不符合 ，故此情况下原等式不成立； 综上，或. 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 3．【答案】A 【详解】设的内切圆半径为，周长为. 因为的面积， 所以当与的面积相等时，与的周长相等； 同理，当与的周长相等时，与的面积相等. 则“与的面积相等”是“与的周长相等”的充要条件, 故选：A 4．【答案】C 【详解】A：将代入（是非零常数），得，A为真命题； B：由直角三角形的性质，直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，B为真命题； C：当时，取，则，故不充分，C为假命题； D：设，，则，D为真命题； 故选：C 5．【答案】C 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：C 6．【答案】(1)或；或； (2) 【分析】 【详解】（1）由，可得； 由，可得， 所以当命题与有且只有一个为真命题时， 则有或， 解得或， 所以或； 由，可得或， 解得或， 所以或； （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 所以(两个等号不同时成立) 解得， 所以实数的取值范围为. 1．【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 2．【答案】C 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．【答案】B 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 常用逻辑用语 A组 巩固过关 题型01命题的真假判断 题型02充分条件、必要条件的判断（“是”结构) 题型03充分条件、必要条件的判断（“的”结构) 题型04数学文化中的充分性和必要性 题型05根据充分性，必要性求参数 题型06探索命题为真的充要条件 题型07反证法 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )命题的真假判断 1．命题“若，则”是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 2．关于直线：，有下列四个命题：如果只有一个假命题，则该命题为（   ） 甲：直线经过点；    乙：直线经过点； 丙：直线经过点；    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】由题可知，命题甲､乙､丙中必有一个是假命题. 若甲为假命题，则由乙､丙为真命题可得，此时与丁矛盾，故不成立； 若乙为假命题，则由甲､丙为真命题可得，，此时与丁矛盾，故不成立； 若丙为假命题，则由甲､乙为真命题可得，，此时，丁也成立，满足题意，所以假命题为丙， 故选：C. 3．下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 4．下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【答案】C 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 5．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是________. 【答案】甲 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 ( 题型0 2 )充分条件、必要条件的判断（“是”结构) 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若则显然成立，满足充分性； 由可得，推不出，不满足必要性，所以A正确. 7．“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解方程， 若，即或者，原式为， 整理得，解得或者. 若，即，原方程， 即，等式恒成立，所以 综上 而是的真子集，所以是充分不必要条件. 9．已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】是奇数都是奇数， 所以能推出，但推不出， 所以是的充分非必要条件， 故选：A 10．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】先讨论充分性： 当时，，故能推出； 当时，，由得，故，即能推出， 所以“”是“”充分条件成立； 再讨论必要性： 取，此时满足，但不满足， 所以必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．设，则“且”是“”的________条件． 【答案】充分不必要 【详解】且， ， 且是“”的充分条件； 而不一定得出且， 即“且”不是“”的必要条件， “且”是“”的充分不必要条件． ( 题型0 3 )充分条件、必要条件的判断（“的”结构) 12．下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A,由于不能推出，故A错误， 对于B,由可得，故可得，但可得，无法得到，故是成立的一个充分不必要条件，B正确， 对于C，由可得，由于无法得知的符号，所以无法确定，故C错误， 对于D, ，故是成立的充分必要条件，D错误， 故选：B 13．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件. 故选：A. 14．方程有实根的充要条件是_____，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是_____. 【答案】 (答案不唯一) 【详解】解：因为方程有实根， 所以，即，解得， 反之，当时，，则方程有实根， 所以是方程有实根的充要条件， 当时，方程有实根， 而当方程有实根时不一定是， 所以是方程有实根的一个充分不要条件. 故答案为：；(答案不唯一). 15．给出以下四个条件：①；②或；③；④且．其中可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是__________． 【答案】③④ 【详解】对于①中，由，则可能且，此时，所以充分性不成立； 对于②中，例如，满足或，此时，所以充分性不成立； 对于③中，由，可得，反之不成立， 所以是的充分不必要条件； 对于④中，由且，则，反之：若，不一定得到且， 所以且是的充分不必要条件. 故答案为：③④ 16．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 17．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 18．设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. ( 题型0 4 )数学文化中的充分性和必要性 19．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《出塞》传诵至今，“秦时明月汉时关，万里长征人未还．但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”，由此推断，其中最后一句“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】由题意可知龙城飞将在，不教胡马度阴山， 而不教胡马度阴山，不一定是龙城飞将在， 所以“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的必要条件， 故选：A 20．《墨子·经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意可知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生， 所以“有之必然”表述的数学关系是充分条件， 故选：A 21．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件. 故选：B. 22．年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”， “梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件. 故选：A. ( 题型0 5 )根据充分性，必要性求参数 23．若是不等式成立的一个充分非必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为是不等式成立的一个充分非必要条件， 所以， 所以，且等号不能同时成立， 解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 24．已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【详解】因为是的必要非充分条件，所以是的非空真子集， 由于无解,则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 25．已知，，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意得为的真子集， 要满足（等号不同时成立），解得， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 26．设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 所以， 解得， 故实数m的取值范围为； （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 27．已知集合，． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为集合，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为是的必要不充分条件，可知集合为集合的真子集， 且集合，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. ( 题型0 6 )探索命题为真的充要条件 28．函数的图象关于直线对称的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象的对称轴为直线， 函数的图象关于直线对称的充要条件是，即. 故选：B. 29．设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 30．已知，则的充要条件是（    ） A．都不为2 B．不都为2 C．不都为0 D． 【答案】A 【详解】解：且， 故的充要条件为都不为2． 故选：A． 31．命题：“的充要条件是 是____命题． 【答案】假 【详解】，，通分可得， 即，所以， 则或，此时满足； 当时，满足,但此时，不满足， 所以“的充要条件是 是假命题， 故答案为：假. 32．记关于x的方程的解集为M，其中． (1)求M恰有3个元素的充要条件； (2)在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件． 【答案】(1)； (2)为所求的充要条件． 【分析】 【详解】（1）原方程等价于或， 所以或， 由于， 所以当时，M恰有3个元素，即． （2）必要性：由（1）知，两个方程或， 两个方程的三个根分别为， 若它们是直角三角形的三边，则， 解得． 充分性：若，可解得，以6，8，10为边长的三角形恰为直角三角形． 所以为所求的充要条件． ( 题型0 7 )反证法 33．已知三个不同实数，若命题：①，②，③中只有一个真命题，则最大的数不可能是：（    ）. A． B． C． D．选项不完整 【答案】A 【详解】假设①为真，则由题意且且，故， 假设②为真，则由题意且且，故， 假设③为真，则由题意且且，矛盾，所以③为真不成立， 所以最大的数不可能是. 故选：A. 34．用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 【答案】且 【详解】先假设该命题的结论不成立，即假设“且”. 故答案为：且. 35．证明：若，则或. 【答案】证明见解析. 【详解】反证法证明，假设且， 且，，这与已知条件矛盾， 假设不成立，原命题成立， 即“若，则或”成立. 36．设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）假设，则， 与矛盾，则假设不成立，故. （2）假设中都是偶数， 则， 两式相加并整理，得， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 37．设、、均为奇数，求证：方程无整数根． 【答案】证明见解析 【详解】证明：假设方程有整数根，，则，即． ①若为偶数，则与均为偶数，所以为偶数， 从而为偶数，与题设矛盾； ②若为奇数，则与均为奇数，所以为偶数， 从而为偶数，与题设矛盾． 综上所述，方程无整数根． 一、填空题 1．“”是“”的____条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要” “既不充分也不必要”）． 【答案】充分不必要 【详解】由，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 2．设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为___________． 【答案】 【详解】取，则，而， 所以可验证该命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一） 3．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 【答案】且 【详解】由题意，应假设且， 故答案为：且 5．若，，则是的______条件. 【答案】必要不充分 【详解】或，， 显然不能推出，可以推出，故是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 6．设，则“”的一个必要条件是_________．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为等价于，所以能推出， 所以的一个必要条件为. 故答案为：.（答案不唯一） 二、单选题 7．给出一个命题：若，且，则中至少有一个小于零，在用反证法证明时，应该假设（    ） A．中至少有一个正数 B．全为正数 C．全都大于或等于0 D．中至多有一个负数 【答案】C 【详解】因为“中至少有一个小于零”的否定为“全都大于等于”， 所以由用反证法证明数学命题的方法时，对结论进行否定，应假设“全都大于等于”. 故选：C. 8．下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据偶数的定义可知①为真命题；为奇数但不能被整除，因此②为假命题；由可知③为真命题， 所以真命题的个数为，故C正确. 9．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 10．已知A，B，C为非空集合，全集，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为全集，集合，所以是的子集， 则“”是“”的必要不充分条件. 三、解答题 11．已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则， 因为，所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 所以， 即实数m的取值范围是． 12．已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． (2)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 13．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【详解】略 14．已知； (1)若，求第三条边AC长度的所有可能值组成的集合； (2)若是锐角三角形，且 ，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：在中，因为， 由三角形的性质，可得，解得， 所以第三条边长度的所有可能值组成的集合为. （2）解：假设，因为，所以， 所以，所以，这与为锐角三角形相矛盾， 所以假设不成立，所以. 1．若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知是的真子集， 所以， 即实数的取值范围为， 故选：A 2．“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】因为，所以 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，等式右边为，原等式成立； 当时，等式左边为，由 解得 或 ， 均不符合 ，故此情况下原等式不成立； 综上，或. 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 3．已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设的内切圆半径为，周长为. 因为的面积， 所以当与的面积相等时，与的周长相等； 同理，当与的周长相等时，与的面积相等. 则“与的面积相等”是“与的周长相等”的充要条件, 故选：A 4．下列命题中不是真命题的是（   ） A．一次函数（是非零常数）的图象一定经过点 B．直角三角形的外心一定在斜边上 C．已知，则是的充要条件 D．如果都能被5整除，则也能被5整除 【答案】C 【详解】A：将代入（是非零常数），得，A为真命题； B：由直角三角形的性质，直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，B为真命题； C：当时，取，则，故不充分，C为假命题； D：设，，则，D为真命题； 故选：C 5．已知集合，，则以下不正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：C 6．已知命题，命题.若命题与有且只有一个为真命题的取值集合为，不等式的解集为集合. (1)求集合和； (2)已知“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；或； (2) 【分析】 【详解】（1）由，可得； 由，可得， 所以当命题与有且只有一个为真命题时， 则有或， 解得或， 所以或； 由，可得或， 解得或， 所以或； （2）因为“”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集， 所以(两个等号不同时成立) 解得， 所以实数的取值范围为. 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 2．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 常用逻辑用语 A组 巩固过关 题型01命题的真假判断 题型02充分条件、必要条件的判断（“是”结构) 题型03充分条件、必要条件的判断（“的”结构) 题型04数学文化中的充分性和必要性 题型05根据充分性，必要性求参数 题型06探索命题为真的充要条件 题型07反证法 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )命题的真假判断 1．命题“若，则”是_____命题．（填“真”或“假”） 2．关于直线：，有下列四个命题：如果只有一个假命题，则该命题为（   ） 甲：直线经过点；    乙：直线经过点； 丙：直线经过点；    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 4．下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 5．关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是________. ( 题型0 2 )充分条件、必要条件的判断（“是”结构) 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 10．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．设，则“且”是“”的________条件． ( 题型0 3 )充分条件、必要条件的判断（“的”结构) 12．下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A． B． C． D． 13．古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．方程有实根的充要条件是_____，方程有实根的一个充分而不必要条件可以是_____. 15．给出以下四个条件：①；②或；③；④且．其中可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是__________． 16．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 17．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 18．设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（   ）. A． B． C． D． ( 题型0 4 )数学文化中的充分性和必要性 19．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《出塞》传诵至今，“秦时明月汉时关，万里长征人未还．但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”，由此推断，其中最后一句“不教胡马度阴山”是“但使龙城飞将在”的（    ） A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 20．《墨子·经上说》：“小故：有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故：有之必然，若见之成见也”.则“有之必然”表述的数学关系是（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ( 题型0 5 )根据充分性，必要性求参数 23．若是不等式成立的一个充分非必要条件，则实数的取值范围是______． 24．已知集合，非空集合，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是_____ 25．已知，，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为__________. 26．设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 27．已知集合，． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． ( 题型0 6 )探索命题为真的充要条件 28．函数的图象关于直线对称的充要条件是（    ） A． B． C． D． 29．设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 30．已知，则的充要条件是（    ） A．都不为2 B．不都为2 C．不都为0 D． 31．命题：“的充要条件是 是____命题． 32．记关于x的方程的解集为M，其中． (1)求M恰有3个元素的充要条件； (2)在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件． ( 题型0 7 )反证法 33．已知三个不同实数，若命题：①，②，③中只有一个真命题，则最大的数不可能是：（    ）. A． B． C． D．选项不完整 34．用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 35．证明：若，则或. 36．设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 37．设、、均为奇数，求证：方程无整数根． 一、填空题 1．“”是“”的____条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要” “既不充分也不必要”）． 2．设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为___________． 3．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 4．已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 5．若，，则是的______条件. 6．设，则“”的一个必要条件是_________．（写出一个满足条件的答案即可） 二、单选题 7．给出一个命题：若，且，则中至少有一个小于零，在用反证法证明时，应该假设（    ） A．中至少有一个正数 B．全为正数 C．全都大于或等于0 D．中至多有一个负数 8．下列全称命题中是真命题的个数是（   ） ①所有偶数都能被整除； ②所有的奇数都能被整除； ③任意实数的平方都不小于零． A． B． C． D． 9．“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知A，B，C为非空集合，全集，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三、解答题 11．已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 12．已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 13．证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 14．已知； (1)若，求第三条边AC长度的所有可能值组成的集合； (2)若是锐角三角形，且 ，求证：. 1．若“”是“或”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．已知与的内切圆半径相等，则“与的面积相等”是“与的周长相等”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列命题中不是真命题的是（   ） A．一次函数（是非零常数）的图象一定经过点 B．直角三角形的外心一定在斜边上 C．已知，则是的充要条件 D．如果都能被5整除，则也能被5整除 5．已知集合，，则以下不正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 6．已知命题，命题.若命题与有且只有一个为真命题的取值集合为，不等式的解集为集合. (1)求集合和； (2)已知“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 1．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $