1.2.1 命题（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

1.2.1命题 题型一 命题的判断 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 【答案】(1)是命题，理由见解析 (2)不是命题，理由见解析 (3)不是命题，理由见解析 (4)是命题，理由见解析 (5)是命题，理由见解析 (6)是命题，理由见解析 【详解】（1）“是有理数”是陈述句，并且能够判断它是假的，所以它是命题． （2）因为无法判断“”的真假，所以它不是命题． （3）“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． （4）“若，则”是陈述句， 并且．它是真的，所以它是命题． （5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． （6）“若与是无理数，则是无理数”是陈述句， 并且能够判断它是假的，所以它是命题． 2．判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 【详解】（1）因为可判断真假的陈述句为命题， 而“有的正方形是三角形”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （2）“任意一个三角形的内角和都为”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （3）“1是自然数吗？”是疑问句，故不为命题. （4）“”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （5）“，且”可判断真假，也为陈述句，故为命题. 题型二 命题的真假 1．下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【详解】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确； 因为，故③正确； 取，则是整数，故④正确. 故选：A. 2．设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【详解】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 3．下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 【答案】③④ 【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题， 所以①为疑问句，不是命题； ②不能判断真假，不是命题； ③为假命题； ④为真命题； 所以是命题的语句的序号有③④. 故答案为：③④. 4．命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 【答案】真 【详解】由所有有理数都是实数，知“如果，那么”为真命题. 故答案为：真 5．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【答案】(1)是命题，且是假命题 (2)不是命题 (3)不是命题 (4)不是命题 (5)是命题，且是真命题 (6)是命题，且是假命题 【详解】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 6．判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 (3)假命题，理由见解析 (4)真命题，理由见解析 【详解】（1）因为是偶数，同时也是素数，所以该命题为假命题； （2）因为 ，且 ， 所以是的真子集，所以该命题为真命题； （3）因为是中的一个元素， 所以0不是的真子集，所以该命题为假命题； （4）当时，互为子集，所以该命题为假命题. 7．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题，理由见解析； (2)假命题，理由见解析； (3)真命题，理由见解析. 【详解】（1）根据数的性质知如果a、b都是奇数，那么是偶数， 可设，其中，则，，则其为偶数，则其为真命题； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形还可能是等腰梯形，故其为假命题； （3）如果，则，则，故其为真命题. 题型三 命题的改写 1．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 【答案】(1)答案见解析，真命题． (2)答案见解析，真命题． (3)答案见解析，假命题． 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． （2）若，则，是真命题． （3）已知、为正整数，若，则且，是假命题． 2．把下列命题改写成“若，则”的形式： （1），函数的值随值的增加而增加； （2）当两圆相切时，连心线过两圆的切点． 【答案】（1）时，若的值增加，则函数的值也随着增加． （2）当两圆相切时，若一直线过两圆心，则必过两圆的切点． 【详解】（1）时，若的值增加，则函数的值也随着增加． （2）当两圆相切时，若一直线过两圆心，则必过两圆的切点． 题型四 推出关系 1．判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 【答案】(1)，但 (2) (3)，但． 【详解】（1）是能被4整除的自然数，即，所以是偶数．即， 但．反例：是偶数，但不能被4整除． （2）实数满足方程，可得或，即； 同样，如果或，则有，即． （3）若，必有，即． 但满足，而不满足，即． 2．判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 【答案】(1)真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形 (2)假命题， 两个三角形的周长相等两个三角形全等 (3)假命题， (4)真命题，平面内两条直线和均垂直于直线 【详解】（1）解：真命题，平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形. （2）解：假命题，两个三角形的周长相等两个三角形全等. （3）解：假命题，由方程，解得或，所以命题为假命题， 即. （4）解：真命题，平面内两条直线和均垂直于直线. 3．对于同一平面内的三条不同的直线a，b，c，给出下列5个判断： ①；②；③；④；⑤． 请以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，得到命题，请写出你认为正确的命题，并用“如果α，那么β”的形式表示． 【答案】答案见解析 【详解】一共有6种   即如果，，那么；   即如果，，那么；   即如果，，那么；   即如果，，那么；   即如果，，那么；   即如果，，那么； 题型一 真命题的证明 1.证明命题“个位数字是5的自然数能被5整除”是真命题． 【答案】证明见解析 【详解】证明：设这个数为， 因为能被5整除， 所以个位数字是5的自然数能被5整除 所以命题“个位数字是5的自然数能被5整除”是真命题． 题型二 命题真假或推出关系求参数 1．已知命题p：函数与x轴有两个交点；命题q：对于任意的恒成立．若p为真命题，而命题q为假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与x轴有两个交点，所以，得到或，故或， 又恒成立，所以，整理得到，得到， 而命题q为假命题，故或， 故或，得到或. 故选：C 2．，，且若则是真命题，求实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，，且若则是真命题，则， 所以，，解得. 故答案为：. 3．已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得； 命题乙为真时，则关于的方程没有实数根， 有，解得. 若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得； 当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 4．已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）命题①函数的图象总在轴上方为真命题，则 当时，符合题意； 当，由求得， 故的取值范围为：； （2）若方程有两个不相等的实数根， 则，解得， 若命题①、②都是真命题，则； 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围为或. 5．已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）时，，符合题意； 当时，由求得，故的取值范围为． （2）方程两个不相等的实数根， 即或，故取值范围为． （3）设，，若命题①、②全都是真命题， 则的范围为 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围是． 6．命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 1．如果同时满足以下三个条件： ①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”.有下列两个命题： 命题：若为“理想函数”，则存在且，使成立； 命题：若为“理想函数”，则对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（    ） A．命题为假命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题、命题都是真命题 D．命题、命题都是假命题 【答案】A 【详解】令 ，则， 所以， 又对任意成立，则，即， 所以，即对任意，都有，命题为假命题； 由命题为假，即在上非递减，有递增趋势的函数(不一定严格递增)， 令，则，而任意成立； 所以，又，故， 反证法：若为“理想函数”，存在，使成立， 对于，，而，此时不存在使成立； 对于，若存在使成立，则， 而，则，即， 由 ，依次类推，必有，且趋向于无穷大， 此时，而必然会出现大于1的情况，与矛盾， 所以，在上也不存在使成立， 综上，若为“理想函数”，则对任意，都有成立，命题为真命题； 故选：A. 2．课上我们学习了“”符号和数学上陈述句一些常用的否定形式 ，实际上“若，则”为假命题可以表述为“至少存在特例满足性质，使”，即我们常说的举反例． (1)请利用上述逻辑语言说明以下两个命题为假： ①任何集合都不是空集的子集；②若，则； (2)其他教材中有这样一种新命题的表述： 如果把命题“若，则”称为原命题，那么将其结论的否定作为条件，将其条件的否定作为结论，可以得到一个新命题“若，则”，我们称新命题为原命题的逆否命题．并且有一个非常强有力的结论：原命题与它的逆否命题是同真或同假的．请综合利用上述知识证明：对于正实数，若，则； (3)证明：原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析； (3)证明见解析 【详解】（1）①存在集合，使得A是空集的子集， 故任何集合都不是空集的子集为假命题； ②存在，满足，但是； 故若，则为假命题. （2）转化为证明其逆否命题：对于正实数，若，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以即，证毕， 因此原命题：对于正实数，若，则为真命题； （3）①“若，则”真， 假设“若，则”假，那么至少存在特例满足性质，使， 由于，所以至少存在特例满足性质，使，有，矛盾，故假设不成立，即“若，则”真； ②“若，则”假， 假设“若，则”真，那么至少存在特例满足性质，使， 由于，所以至少存在特例满足性质，使，有，矛盾，故假设不成立，即“若，则”假； 综上所述，原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1命题 题型一 命题的判断 1．判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)是有理数； (2) (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若，则； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若与是无理数，则是无理数． 2．判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 题型二 命题的真假 1．下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（    ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 2．设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 3．下列语句 ①考数学开心吗？ ②好好做作业，争取下次数学能及格 ③2不是素数 ④0是自然数 其中是命题的语句的序号有 . 4．命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 5．判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 6．判断下列命题的真假，并说明理由. (1)所有偶数都不是素数； (2)是的真子集； (3)0是的真子集； (4)如果集合A是集合B的子集，那么B不是A的子集. 7．判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 题型三 命题的改写 1．把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)已知，为正整数，当时，且． 2．把下列命题改写成“若，则”的形式： （1），函数的值随值的增加而增加； （2）当两圆相切时，连心线过两圆的切点． 题型四 推出关系 1．判断下列各组中陈述句，的推出关系： (1)：是能被4整除的自然数，：是偶数； (2)：实数满足方程，：或； (3)：实数满足方程，：． 2．判断下列命题的真假，并用“”写出下列命题． (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线，则． 3．对于同一平面内的三条不同的直线a，b，c，给出下列5个判断： ①；②；③；④；⑤． 请以其中任意两个作为条件，另外一个作为结论，得到命题，请写出你认为正确的命题，并用“如果α，那么β”的形式表示． 题型一 真命题的证明 1.证明命题“个位数字是5的自然数能被5整除”是真命题． 题型二 命题真假或推出关系求参数 1．已知命题p：函数与x轴有两个交点；命题q：对于任意的恒成立．若p为真命题，而命题q为假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．，，且若则是真命题，求实数的取值范围是 ． 3．已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 4．已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 5．已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 6．命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 1．如果同时满足以下三个条件： ①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”.有下列两个命题： 命题：若为“理想函数”，则存在且，使成立； 命题：若为“理想函数”，则对任意，都有成立. 则下列说法正确的是（    ） A．命题为假命题，命题为真命题 B．命题为真命题，命题为假命题 C．命题、命题都是真命题 D．命题、命题都是假命题 2．课上我们学习了“”符号和数学上陈述句一些常用的否定形式 ，实际上“若，则”为假命题可以表述为“至少存在特例满足性质，使”，即我们常说的举反例． (1)请利用上述逻辑语言说明以下两个命题为假： ①任何集合都不是空集的子集；②若，则； (2)其他教材中有这样一种新命题的表述： 如果把命题“若，则”称为原命题，那么将其结论的否定作为条件，将其条件的否定作为结论，可以得到一个新命题“若，则”，我们称新命题为原命题的逆否命题．并且有一个非常强有力的结论：原命题与它的逆否命题是同真或同假的．请综合利用上述知识证明：对于正实数，若，则； (3)证明：原命题“若，则”与它的逆否命题“若，则”同为真命题或同为假命题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$