23.4.1 解直角三角形 教学设计 2026——2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦解直角三角形核心知识，通过比萨斜塔、断树等实际情境导入，引导学生回忆直角三角形边角关系（勾股定理、锐角互余、三角函数），搭建旧知到新知的学习支架，明确解直角三角形的意义。 此资料以实际问题驱动探究，如炮台测敌舰、油库安全距离等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过梳理元素关系归纳类型发展数学思维，例题与拓展（如例4分类讨论）提升推理能力，帮助学生掌握解题策略，也为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

第1课时　解直角三角形 　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　解直角三角形 授课人 教 学 目 标 　　1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.通过实际问题情境,让学生感受在生活、学习中解直角三角形知识的实际意义. 3.通过学习解直角三角形,归纳出解直角三角形的两种类型. 4.发展学生的数学应用意识,提高归纳能力,感受解直角三角形的策略. 教学 重点 解直角三角形的有关知识. 教学 难点 选择恰当的边角关系解直角三角形. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 如图23-4-6,Rt△ABC中的关系式(∠C=90°): 图23-4-6 两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; 三边之间的关系:a2+b2=c2; 边角之间的关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=,tanB=. 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 情境1:意大利比萨斜塔在落成时就已倾斜,其塔顶中心点为B,塔身中心线与竖直中心线的夹角为∠A,过点B向竖直中心线引垂线,垂足为C,如图23-4-7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,求∠A的度数. 图23-4-7 师生活动:教师呈现问题并引导学生结合图形,观察已知和所求角之间的关系,分析得到通过求∠A的正弦来求∠A的度数. 　　通过实际问题,激发学生的学习兴趣,把实际问题转化为数学问题.通过求解这个数学问题,初步体会解直角三角形的意义,引入课题. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 解直角三角形 问题:将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解? 师生活动:教师引导学生将实际问题转化为数学问题,挑选学生回答,展示如下: 图23-4-8 如图23-4-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2,AB=54.5,求∠A的度数. 师生总结:已知直角三角形的斜边和一条直角边,求它的锐角的度数,利用锐角的正弦(或余弦)的概念直接求解. 情境2:如图23-4-9,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5 m处折断倒下,树顶落在离树根12 m处. 问:大树在折断之前高多少? 图23-4-9 问题:将断树问题转化为一般的数学问题该如何求解? 师生活动:教师引导学生将实际问题转化为数学问题,挑选学生回答,展示如下: 如图23-4-10,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,AB=12,求BC+AC的值. 图23-4-10 　　1.有条理地梳理直角三角形除直角外的五个元素之间的关系,明确各自的作用,便于应用. 2.在讨论解直角三角形的方法的过程中,明确解直角三角形的条件,培养学生的逻辑思维能力. 活动 二: 探究 与 应用 　　问题:在情境1,2所述的Rt△ABC中,你还能求出其他未知的边和角吗? 师生活动:学生思考并说明求解思路,教师把问题一般化,给出解直角三角形的概念: 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形. 问题:回想一下,刚才解直角三角形的过程中,用到了哪些知识?你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗? 师生活动:如图23-4-11,引导学生结合图形,梳理五个元素(除直角外)之间的关系,学生展示: (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理). 图23-4-11 (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. (3)边角之间的关系: sinA=,cosA=,tanA=, sinB=,cosB=,tanB=. 问题:从情境1问题来看,在直角三角形中,知道斜边和一条直角边这两个元素,可以求出其余的三个元素.一般地,已知除直角外的五个元素中的任意两个元素,可以求其余元素吗? 教师给出结论:在直角三角形中,知道除直角外的五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个未知元素. 【探究2】 解直角三角形的实际应用 情境3:如图23-4-12,在相距2000 m的东、西两座炮台A,B处同时发现入侵敌舰C,在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向,在炮台B处测得敌舰C在它的正南方.试求敌舰与A,B两炮台的距离.(精确到1 m) 图23-4-12 教师引导分析: (1)题目中的已知条件是什么,需要求什么? (2)在Rt△ABC中,根据已知条件可以求出什么?需要应用什么边角关系来求? (3)根据以上分析,你能写出解答过程吗? 师生活动:学生根据教师提出的问题思考后,独立完成解答过程,教师巡视过程中及时辅导,鼓励学生用不同角度思考问题,最后展示学生的解答过程,点评与总结. 总结:解决与方向角有关的实际问题时,必须先在每个位置中心建立方向标,然后根据方向角标出图中已知角的度数,最后在某个直角三角形中利用锐角三角函数解决问题. 　　通过教师引导和自主学习方式解决有关方向角的实际问题,让学生进一步体会数形结合思想和建模思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会将实际问题转化为解直角三角形问题的一般思路和方法. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形. 解: AB==2. ∵tanA=,∴∠A=30°,∠B=60°. 例2　在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,∠A=30°,解这个直角三角形. 解: ∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=90°-30°=60°. ∵cosA=,∴AB=. ∵tanA=,∴BC=tanA·AC=tan30°×10=. 变式　在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1) (C) A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5 [解析] 在Rt△ABC中,cosA=,∴AC=AB·cosA=10·cos72°≈3.1.故选C. 图23-4-13 例3　如图23-4-13,某市规划从A地到B地修建一条笔直的铁路,但在附近的C处有一大型油库,现测得油库C在A地的北偏东60°方向上,在B地的西北方向上,AB的距离为250(+1)m.已知在以油库C为中心,半径为200 m的范围内施工均会对油库的安全造成影响.若在此路段修建铁路,油库C是否会受到影响?请说明理由. [答案:不会,理由略] 　　1.例1主要是已知两边解直角三角形,注意已知两边解直角三角形的方法技巧. 2.例2及其变式主要是已知一边及一锐角解直角三角形,注意已知一边及一锐角解直角三角形的方法技巧. 【拓展提升】 例4　在Rt△ABC中,∠BAC=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP的长为　2或4或6　.  [解析] (1)如图23-4-14①,∠ABP=30°.∵∠ABC=60°,∴∠ACB=30°.∵BC=6,∴AB=3,∴AC=3.在Rt△BAP中,tan30°=,∴AP=AB·tan30°=3×,∴CP=3=2. (2)如图②,由(1)知AB=3,又∠ABP=30°,∴AP=,∴CP=3=4. (3)如图③,∵∠ABC=∠ABP=30°,∠BAC=90°,∴∠C=∠P,∴BC=BP.∵∠C=60°,∴△CBP是等边三角形,∴CP=BC=6. 图23-4-14 　　例4是需要自己画图后解直角三角形的问题,画图时需要分类讨论,注意解答时不要漏解. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.课本P131中的练习. 2.课本P136中的习题23.4中的T1,T4. 3.补充练习. (1)如图23-4-15,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=CB,AB=9,点D在BC边上,连结AD,若tan∠CAD=,则BD的长为　6　.  图23-4-15 (2)如图23-4-16,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,若CD=1,则AB的长为 +1　.  图23-4-16 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【板书设计】 1.解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形. 2.解直角三角形,只有下面两种情况:(1)已知两条边;(2)已知一条边和一个锐角. 3.在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算. 4.解直角三角形选择边角关系策略:涉“斜”选“弦”,无“斜”选“切”;避“除”就“乘”,能“正”不“余”. 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境中,由一个实际问题引入,自然过渡到解直角三角形.在探究新知中,采用启发法、讨论法等教学方法,学生通过讨论、实践形成理论体系,对知识的掌握较为牢固. ②[讲授效果反思] 解直角三角形是重点,而选择恰当的边角关系则是难点,为了突破此难点,课本选择了两个例题让学生探究、讨论,总结出选择边角关系的策略:涉“斜”选“弦”,无“斜”选“切”;避“除”就“乘”,能“正”不“余”.由于有这些例题的引导,学生对于解直角三角形的两个类型的掌握应该没有问题,建议把补充练习也安排给成绩中等及以上的学生. ③[师生互动反思] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $