22.3.4 相似三角形的应用（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

4.相似三角形的应用

1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点)

2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点)

3．了解三角形的重心，掌握相似与几何的综合应用.

 

一、情境导入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？

 

二、合作探究

探究点一：相似三角形的应用

【类型一】 利用影子的长度测量物体的高度

如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．

解析：先利用△BDC∽△FGE得到＝，可计算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长．

解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴＝，即＝，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.

方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．

 

【类型二】 利用镜子的反射测量物体的高度

小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)．

解析：根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．

解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴＝.∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴＝，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高度为12.8m.

方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．

 

【类型三】 利用标杆测量物体的高度

如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度．

解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．

解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于E，∴DE＝CB＝9.6m，BE＝CD＝2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA∶ED＝1∶1.2，∴AE＝8m，∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m，∴学校旗杆的高度为10m.

方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

 

【类型四】 利用相似三角形的性质设计方案测量高度

星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．