22.3.4 相似三角形的应用（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的应用，通过生活中无法直接测量的高度、宽度等实际问题导入，以相似三角形判定与性质为支架，衔接“判定—性质—应用”完整知识体系，引出三大经典测量模型。 资料特色在于模型化教学与核心素养融合，拆解平行光测高、标杆测高、镜面反射测距模型，培养几何建模能力（数学眼光），分层练习与解题步骤固化推理意识（数学思维），动态光影演示助于抽象实际问题为数学模型（数学语言），提升学生应用能力，为教师提供清晰教学流程与易错点指导。

4.相似三角形的应用相似三角形的应用 教案 一、教材分析 《相似三角形的应用》是相似三角形章节的收官应用课时，是对前面相似三角形判定、性质知识的综合落地。本节课将几何理论与生活实际相结合，利用相似三角形的比例关系解决无法直接测量的高度、宽度、距离等实际问题，是初中几何“数形结合、学以致用”的典型体现。本节课的测高、测距、光影模型、标杆模型均为中考经典必考题型，常以解答题、填空题形式出现，同时为后续解直角三角形、实际应用几何题型奠定建模思维基础，完善相似三角形“判定—性质—应用”的完整知识体系。 二、学情分析 九年级学生已熟练掌握相似三角形的三种判定方法、线段与面积比例性质，具备扎实的相似证明与计算能力。但学生普遍存在理论强、应用弱的问题，核心短板是不会建立几何模型：无法从实际场景中抽象出相似三角形、找不准对应边角、难以梳理等量比例关系。同时学生容易忽略实际场景中的隐藏条件，如太阳光线平行、物体垂直地面等，导致建模失败、比例式列写错误、结果取舍不当，需要通过归类经典模型、固定解题步骤突破难点。 三、教学目标 1. 知识与技能：掌握相似三角形解决实际问题的核心思路，熟练运用平行光测高、标杆测高、镜面反射测距三大经典模型；能从实际情境中抽象出相似三角形，准确列写比例式，完成高度、距离的计算。 2. 过程与方法：经历“实际情境—抽象图形—判定相似—利用性质计算—检验结果”的完整建模过程，培养几何建模能力、数形结合思维和实际问题转化能力，规范应用题解题流程。 3. 情感态度与价值观：体会几何知识在生活测量中的实用价值，感受数学的实用性与工具性，破除几何学习的抽象感，培养学生学以致用的思维和严谨的解题习惯，提升几何学习兴趣。 四、教学重难点 重点：掌握三种经典实际测量模型，能利用相似三角形性质求解高度、距离等实际问题。 难点：从复杂生活情境中抽象出相似三角形模型；找准对应边、精准列写比例式；规避建模和计算中的常见误区。 五、教学准备 多媒体课件、实景模型示意图、分层练习题、经典错题素材、动态光影演示图 六、教学过程 （一）情境激趣，导入新课（5分钟） 创设生活问题：如何不攀爬高楼、不跨越河面，精准测量大楼高度、河流宽度？引导学生思考：直接测量无法实现，可借助数学模型间接测量。回顾相似三角形核心性质：相似三角形对应边成比例，可通过已知边长推导未知边长。顺势导入课题：利用相似三角形的性质，解决生活中的测量问题，即相似三角形的实际应用。 （二）模型探究，精讲新知（22分钟） 1. 模型一：平行光（太阳光）测高模型 原理讲解：太阳光为平行光线，垂直地面的物体与影子构成直角三角形，不同物体的光线平行，可证两个直角三角形两角对应相等，进而相似。归纳核心等量：物高之比等于影长之比。示范解题步骤：抽象图形、找平行等角、证三角形相似、列比例式、求未知高。强调隐藏条件：物体垂直地面、太阳光线平行。 2. 模型二：标杆测高模型 针对阴天无阳光的测量场景，引入标杆测高法。通过人眼、标杆顶端、物体顶端三点共线，构造两组相似直角三角形，利用平行线判定相似。重点讲解图形拆分方法，教会学生识别共顶点相似模型，准确区分观测距离、标杆高度、物体高度的对应关系，规范比例列式，解决高大物体测量问题。 3. 模型三：镜面反射测距（测宽、测高）模型 利用光的反射定律：反射角等于入射角，构造两组直角三角形相似。该模型常用于测量河流宽度、不可到达物体高度。核心要点：找准反射点、相等角、垂直直角，通过两角相等判定相似，依托对应边比例求解未知距离，是测距类题型的核心模型。 4. 通用解题步骤归纳 固化相似应用题解题流程：①审题，提取隐藏条件；②抽象几何图形，构造相似三角形；③选择判定方法证明相似；④根据对应边成比例列方程；⑤计算求解，结合实际检验结果。 5. 高频易错点辨析 汇总典型错误：无法抽象几何模型、对应边匹配错乱、比例式写反、忽略实际长度为正数、遗漏隐藏垂直与平行条件。通过正误例题对比，纠正建模误区和计算错误，强化解题严谨性。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：太阳光测高、镜面测距基础题型，熟练两大核心模型；提升练习：标杆测高综合题型，训练识图建模能力；拓展练习：结合生活场景的变式测量题，灵活运用模型解决复杂问题。学生独立完成后小组互评，教师针对建模错误、比例颠倒等共性问题集中讲评，规范书写格式。 （四）课堂小结，梳理体系（3分钟） 引导学生自主总结：三大测量模型、建模核心思路、通用解题步骤、常见易错点。教师升华：相似三角形应用的核心是“建模转化”，将生活不可测量问题转化为几何比例计算问题，充分体现数形结合的数学思想，是几何知识落地应用的重要体现。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材课后应用习题，熟练掌握三大基础模型的解题方法；拓展作业：整理三类测量模型的原理、图形与步骤，归纳易错点，完成专项应用题训练。 七、板书设计 相似三角形的应用 1. 核心思想：实际问题 → 抽象相似模型 → 比例计算 2. 三大经典模型 太阳光测高：物高比=影长比（光线平行） 标杆测高：三点共线，构造相似直角三角形 镜面反射：反射角相等，直角三角形相似 3. 解题步骤：建模→证相似→列比例→计算检验 4. 易错：对应边错乱、比例颠倒、忽略隐藏条件 八、教学反思 本节课紧扣生活实际，模型清晰、实用性强，知识衔接前期相似判定与性质，教学梯度合理，符合学生认知规律。通过模型拆解、步骤固化、分层训练，大部分学生能够掌握三类经典测量模型，可独立完成基础应用题型。课堂教学中发现，学生最大难点是几何建模能力薄弱，难以快速从文字情境中转化出标准相似图形，容易出现对应边匹配错误、比例式书写颠倒等问题。后续教学中，需强化图文转化专项训练，多结合实景演示帮助学生理解模型本质，固化标准化解题流程，提升学生的几何建模与实际应用能力。 1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点) 2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点) 3．了解三角形的重心，掌握相似与几何的综合应用. 一、情境导入 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？ 二、合作探究 探究点一：相似三角形的应用 【类型一】 利用影子的长度测量物体的高度 如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长． 解析：先利用△BDC∽△FGE得到＝，可计算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长． 解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴＝，即＝，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m. 方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解． 【类型二】 利用镜子的反射测量物体的高度 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)． 解析：根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答． 解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴＝.∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴＝，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高度为12.8m. 方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识． 【类型三】 利用标杆测量物体的高度 如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度． 解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于E，∴DE＝CB＝9.6m，BE＝CD＝2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA∶ED＝1∶1.2，∴AE＝8m，∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m，∴学校旗杆的高度为10m. 方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【类型四】 利用相似三角形的性质设计方案测量高度 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由． 解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高． 解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高． 理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.根据＝，即可算出AB的高． 方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解． 探究点二：相似三角形与几何的综合应用 【类型一】 相似三角形与直角三角形 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，AB=4，BD=3，则BC的长为（　　） A. B．4 C．5 D． 解析：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，AB=4，BD=3，根据射影定理得出AB2=BD•BC，∴16=3BC，∴BC=，故选D． 方法总结：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： ①AD2=BD•DC；②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC． 【类型二】 三角形的重心 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．求证：==． 解析：根据三角形重心的性质解答即可，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 证明：∵如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点， ∴点G是△ABC的重心， ∴==2， ∴==． 方法总结：三角形重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 三、板书设计 1．利用相似三角形测量物体的高度； 2．利用相似三角形测量河的宽度； 3．设计方案测量物体高度； 4．相似三角形与几何的综合应用：①射影定理；②三角形的重心. 通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $