21.3 实践与探索 第2课时课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦利用一元二次方程解决不规则图形边长面积及特殊变化率问题，以党的十八大GDP翻一番目标为情境导入，通过从平均增长率到不同增长率、从规则图形到剪正方形折长方体等问题链，搭建由具体到抽象的学习支架。 其特色在于立足现实情境培养数学眼光，通过羊圈围栏、药品降价等实例发展推理能力与运算能力，借助表格分析侧面积变化、函数图像探索最大值渗透模型意识。采用合作探究与问题驱动教学，帮助学生提升应用能力，为教师提供结构化教学资源。

21.3 课时2 不规则图形的边长面积问题、特殊变化率问题 32100 1 1. 能利用一元二次方程解决不规则图形的边长、面积等问题. 2.能利用一元二次方程解决连续增长（或减少）的增长率（或减少率）不相同的实际问题. 32100 情景导入 党的十八大报告中明确提出“在发展平衡性、协调性、可持续性明显增强的基础上，实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”的宏伟目标.2010年国内生产总值现价总量为401 202亿元，翻一番是多少？ 32100 问题1 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？ 思路点拨：翻一番，即为原产值的 2 倍．若设原产值为 1 个单位，那么两年后的产值就是 2 个单位． 若平均年增长率为 x，则第一年的产值为 1×(1+x) 元，第二年的产值为 1×(1+x)元的 (1+x) 倍. （一）增减变化问题 32100 知识模块一　利用一元二次方程解决复杂的几何问题 自学互研 问题3 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图． 32100 5 试一试1：如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍……那么两年中的平均增长率分别应调整为多少？ . 解得. (舍去). . 解得. (舍去). 该怎样列方程呢？ 32100 （1）如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ 32100 试一试2：如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？你能列出相应的方程并求解吗？ (1+x)(1+2x)=2. 32100 （2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？ 折叠成的长方体底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长（cm） 折叠成的长方体侧面积（cm2） 0.5 2.5 1 3 1.5 3.5 2 4 18 32 42 48 50 48 42 32 32100 9 平均变化率问题数量关系： 变化前的量× (1±百分率)n=变化后的量 a× (1±x)n=b 特殊情况：对于增减变化问题，若一个量经过两个时期由a变为b，第一期的增长率为x，第二期的增长率为y，则有等式 а(1+x)(1+y)=b，当增长率为负数时，表示负增长. 注意：可根据x,y的数量关系，将它们转化为同一个未知数来表示. 适用于增长率不同的情况. 32100 以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点.观察折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？ 探索 32100 1. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半. 已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率，列出方程即可.（精确到 0.1%）. 解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 32100 合 探 作 究 仿例：如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用100 m的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 32100 解：设AB的长度为x m，则BC的长度为(100－4x)m. 根据题意，得(100－4x)x＝400. 则100－4x＝20或100－4x＝80. ∵80＞25， 即AB＝20 m，BC＝20 m. 答：羊圈的边长AB，BC分别是20 m，20 m． 解得x1＝20，x2＝5. ∴x2＝5舍去． 32100 2. 某种药品原价100元/盒，经两次降价后，该药品的售价为56元/盒，其中第二次的降价率比第一次降价率多10个百分点，求该药品第一次的降价率. 解：设该药品第一次的降价率为 x ，则第二次的降价率为( x ＋10％). 依题意，得100(1－ x )[1－( x ＋10％)]＝56. 整理，得50 x2－95 x ＋17＝0. 解得 x1＝0.2＝20％， x2＝1.7(不符合题意，舍去). 答：该药品第一次的降价率为20％. 前后两次的降价率不相同， 如何设未知数列方程呢？ 32100 注意：对于增长率问题，遇到连续增长（或减少）的增长率（或减少率）不相同的问题时，分层次将其增长（或减少）情况表达清楚，使方程准确地反映数量的变化过程. 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审题---设未知数--- 找等量关系--- 列方程----解方程--- 检验---答 32100 知识模块一　利用一元二次方程解决复杂的几何问题 自学互研 问题4 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？ 分析 翻一番，即为原产值的 2 倍.若设原产值为 1 个单位，那么两年后的产值就是 2 个单位. 32100 解：设原产值为1，则两年后为2， 设每年的增长率为x，则(1＋x)2＝2， ∴x1＝－1＋≈41%，x2＝－1－(不符合题意，舍去). 答：每年的增长率约为41%. 32100 问题2 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图. （1）如果要求长方体的底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为多少？如何列方程呢？ （二）不规则图形的边长、面积问题 32100 探索 如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？ (1 + x)2 = 1.5 (1 + x)2 = 1.2 解：设平均年增长率为x. 32100 又如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？ (1 + x) (1 + 2x) = 2 解：设第一年的增长率为x. 32100 （2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化?折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化? 折叠成的长方体 底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形 边长（cm） 折叠成的长方体 侧面积（cm2） 1 32 1.5 48 2.5 3 42 4 0.5 18 42 2 50 48 3.5 18 随着底面积的减小，小正方形的边长在变大，侧面积先增大后减小 32100 （3）观察下表，你认为折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？请以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点. 剪去的正方形 边长（cm） 折叠成的长方体 侧面积（cm2） 1 32 1.5 48 2.5 3 42 4 0.5 18 42 2 50 48 3.5 18 侧面积=4x(10-2x) 32100 课堂小结 用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程. 若平均增长（降低）率为 x，增长（或降低）前的基数是 a，增长（或降低）n 次后的量是 b，则有：a(1±x)n = b（常见 n = 2）. 32100 1.如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离)，上、下、左、右页边距分别为a cm，b cm，c cm，d cm.若纸张大小为16 cm×10 cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？ 【解】设需设置页边距为x cm. 根据题意得(16－2x)(10－2x)＝16×10×70%， 解得x＝1或x＝12(大于10，舍去)． 答：需设置页边距为1 cm. 32100 25 2.某市人均居住面积为43.8m2，计划在两年后达到54m2.在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等，请你把问题补充完整，再给出解答. 解：补充问题如下：若预计该市人口每年增长 1%，为了实现这一目标，求每年住房面积的平均增长率（精确到 0.1%） 设该市现在的人口数为 a（a>0，计算中会消去，无需具体数值） 每年住房面积的平均增长率为 x. 32100 ∴为了实现目标，该市每年住房面积的平均增长率约为 12.2%。 根据题意列方程，两年后的人均居住面积: =54 ≈1.1215－1＝0.1215 ＝12.2％ ∵负数不符合题意，舍去. 32100 3.杨老师某一天利用“微信运动”记录自己走了10 000步,假设平均每步长是0.5米,他第二天通过增加步数和提高平均步长的方式增加运动量,第二天走了6 600米,其中运动步数的增长率是平均步长增长率的2倍,请你帮助计算一下杨老师平均步长的增长率是多少? 【解析】设杨老师平均步长的增长率是x,则运动步数的增长率是2x, 根据题意得:10 000(1+2x)×0.5(1+x)=6 600, 整理,得x2+1.5x-0.16=0, 解得:x1=0.1=10%,x2=-1.6 (不符合题意,舍去). 答:杨老师平均步长的增长率是10%. 32100 利用一元二次方程解决实际问题 不规则几何图形 常见几何图形面积是等量关系.（割补法） 本节课我们学到了哪些知识与方法？ 增长率问题 变化率相同的数量关系： a× (1±x)n=b 变化率不同的数量关系： а(1+x)(1+y)=b 32100 $