奥数培优·第16讲 至少数问题与构造抽屉进阶讲义-2025-2026学年四年级数学下册人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第16讲 至少数问题与构造抽屉进阶 前言 —— 德国数学家狄利克雷说："数学的奥秘在于，从看似混乱的现象中，找出必然的规律。" 同学们，你们有没有想过：为什么全校2000名学生中，至少有6个人的生日在同一个月？为什么任意13个人中，至少有两个人的属相相同？ 这些看似神奇的结论，背后都藏着一个非常重要的数学原理——抽屉原理。上一讲我们学习了抽屉原理1，今天我们来学习更厉害的抽屉原理2，它能帮我们解决"至少有多少个"的问题！ 学会了抽屉原理2，你就能像数学侦探一样，从看似混乱的现象中，找出必然的规律。是不是很期待？让我们开始吧！ 🎯 三维教学目标 知识与技能 理解抽屉原理2的基本概念，掌握抽屉原理2的公式 掌握构造抽屉的方法，能根据题目特点灵活设计抽屉 掌握最不利原则，能解决"保证有"类的极值问题 会解决反向问题（已知至少数，求最多抽屉数） 过程与方法 通过观察、比较、分析，经历抽屉原理2的探究过程 学会用"反证法"思考问题，培养逻辑推理能力 掌握"找抽屉→算商余→验原理→答结论"的四步解题法 培养分类讨论的思想，能解决复杂的构造抽屉问题 情感态度与价值观 感受数学原理的奇妙与实用，激发学习数学的兴趣 培养严谨的逻辑思维习惯，做事有条理、有依据 体会数学与生活的密切联系，能用数学眼光观察世界 在挑战难题的过程中，培养克服困难的勇气和信心 感受"从混乱中找规律"的数学之美 📌 教学重难点 重点： 1. 理解抽屉原理2的内容和公式 2. 掌握构造抽屉的方法 3. 能运用抽屉原理2解决实际问题 4. 掌握最不利原则的应用 难点： 1. 如何根据题目特点灵活构造抽屉 2. 复杂抽屉原理问题的分类讨论 3. 最不利原则的理解和应用 4. 反向问题（求最多抽屉数）的理解 ⚠️ 高频易错总提示 易错点1：至少数公式记错 很多同学会把至少数记成"商+余数"，这是错的！正确的是"商+1"，不管余数是多少，都只加1。 例如：10个苹果放进3个抽屉，10÷3=3……1，至少数是3+1=4，不是3+1=4（这里余数是1，加1刚好一样，但如果余数是2呢？11÷3=3……2，至少数还是3+1=4，不是3+2=5！） 易错点2：构造抽屉时遗漏情况 构造抽屉时，一定要按顺序列举，不要遗漏任何一种情况！比如"订一种、二种、三种"，要分类计算，不要漏了"不参加"的情况。 易错点3：最不利原则忘记+1 最不利原则的核心公式：最不利情况数 + 1。很多同学只算出最不利情况，忘记加1，这是最高频的错误！ 记住："最不利"是刚好不满足的情况，再加1才一定满足。 易错点4："两双"、"三双"理解错 两双同色 = 4只同色，三双同色 = 6只同色。不要理解成"两双就是2只"或者"两双就是两种颜色各一双"。要看清题目要求！ 易错点5：反向问题搞反 已知至少数求最多抽屉数，公式是：抽屉数 = (物品数-1)÷(至少数-1)。不要搞反了！ 可以这样理解：每个抽屉最多放(至少数-1)件，总数就是抽屉数×(至少数-1)，要保证至少有一个抽屉≥至少数，物品数就要＞抽屉数×(至少数-1)。 📚 一、知识点总结 （一）什么是抽屉原理2 上一讲我们学习了抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 这一讲我们学习抽屉原理的进阶版本——抽屉原理2，它可以解决"至少有多少个"的问题。 举个例子： 如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。 道理很简单：如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的1只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。 （二）抽屉原理2（进阶版） 抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1件。 公式记忆： 物品数 ÷ 抽屉数 = 商……余数 至少有一个抽屉里有 商 + 1 件物品（有余数时） 至少有一个抽屉里有 商 件物品（没有余数时） （三）原理证明（反证法） 假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件。 这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。 这与"多于m×n件物品"的假设相矛盾。 这说明一开始的假定不能成立。 所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。 （四）从最不利原则理解 为了使每个抽屉中的物品都不到（m＋1）件，最不利的情况就是：n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品。 此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m＋1）件物品。 这就说明了抽屉原理2。 （五）抽屉原理1和抽屉原理2的关系 不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。 也就是说，抽屉原理2是抽屉原理1的推广，抽屉原理1是抽屉原理2的特殊情况。 原理 条件 结论 关系 抽屉原理1 多于n件物品，n个抽屉 至少有1个抽屉≥2件 特殊情况（m=1） 抽屉原理2 多于m×n件物品，n个抽屉 至少有1个抽屉≥m+1件 一般情况（推广） （六）常见题型分类 题型 特点 方法 对应例题 直接应用型 已知抽屉数和物品数，求至少数 物品数÷抽屉数 = 商……余数，至少数 = 商+1 例1 最不利原则型 已知抽屉数和至少数，求最少物品数 物品数 = 抽屉数×(至少数-1) + 1 例2、拓展2 构造抽屉型 抽屉不明显，需要先构造抽屉 先找出所有可能情况（抽屉数），再应用原理 例3、拓展1 反向求抽屉型 已知物品数和至少数，求最多抽屉数 抽屉数 = (物品数-1)÷(至少数-1)，取整数部分 基本练习3 （七）解题四步法（速记：找→算→验→答） 找抽屉：确定什么是抽屉，有几个抽屉 算商余：用物品数除以抽屉数，算出商和余数 验原理：应用抽屉原理2，算出至少数 答结论：写出完整答案 （八）小技巧集锦 技巧1：至少数 = 商 + 1（有余数时），没有余数时至少数 = 商 技巧2：最不利原则公式：最少物品数 = 抽屉数×(目标数-1) + 1 技巧3：构造抽屉时，要按顺序列举所有情况，不要遗漏 技巧4：反向问题（求最多抽屉数）：抽屉数 = (物品数-1)÷(至少数-1) 技巧5：组合类问题（选几种、拿几个），用加法原理或乘法原理算抽屉数 🌟 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 玩具分小朋友】★基础 【题目】 某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？ 【解题思路】 这是一道典型的抽屉原理2问题。我们可以把"小朋友"看作抽屉，把"玩具"看作物品。 用玩具数除以小朋友数，看看商是多少，如果有余数，那么至少数就是商+1。 【完整解析】 第一步：找抽屉和物品 把40名小朋友看成40个抽屉。 把122件玩具看成122件物品。 第二步：计算商和余数 122 ÷ 40 = 3……2 商是3，余数是2。 第三步：应用抽屉原理2 根据抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，至少有一个抽屉中的物品不少于m+1件。 这里n=40，m=3，m×n=120，122＞120。 所以至少有一个抽屉中放有3+1=4件或4件以上的物品。 第四步：得出结论 也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。 【方法总结】 直接应用型解题步骤： 1. 确定什么是抽屉，什么是物品 2. 用物品数÷抽屉数 = 商……余数 3. 至少数 = 商 + 1（有余数时） 4. 写出完整答案 🚀 随堂小练1 某班有45名学生，老师买了140本故事书，全部分给学生。是否会有学生得到4本或4本以上的书？ 【例2 木块号码问题】★★提升 【题目】 一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？ 【解题思路】 这是一道最不利原则的问题。我们需要找出"保证有3块号码相同"的最少木块数。 最不利的情况就是：每种号码都先取到2块（差1块就3块了），这时候再取1块，不管是什么号码，那种号码就有3块了。 【完整解析】 第一步：找抽屉 将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。 第二步：分析最不利情况 要保证有一个抽屉中至少有3件物品，最不利的情况就是：每个抽屉里都先有2件物品。 4个抽屉，每个2件：4 × 2 = 8（块） 第三步：再加1块 这时候再取1块木块，不管是什么号码，那种号码的木块就有3块了。 第四步：计算总数 8 + 1 = 9（块） 验证：根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品，才能保证至少有一个抽屉有3件。 答：一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。 【方法总结】 最不利原则型解题步骤： 1. 确定抽屉数 2. 最不利情况：每个抽屉里都有（目标数-1）件物品 3. 再加1件，就一定能满足条件 4. 公式：最少物品数 = 抽屉数×(目标数-1) + 1 🚀 随堂小练2 一个口袋里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各很多个。问：至少要取出多少个球，才能保证其中至少有5个颜色相同的球？ 【例3 订阅杂志种类】★★★拔高 【题目】 六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 【解题思路】 这道题的关键是：先找出订阅杂志的种类共有多少种不同的情况，也就是先算出抽屉数。 订阅情况分三类：订一种、订二种、订三种，分别算出每类有几种，加起来就是总抽屉数。 然后用学生数除以抽屉数，算出至少数。 【完整解析】 第一步：计算订阅种类数（构造抽屉） 首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。 订一种杂志有：订甲、订乙、订丙，共3种情况； 订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲，共3种情况； 订三种杂志有：订甲乙丙，共1种情况。 总共有：3 + 3 + 1 = 7（种）订阅方法。 第二步：确定抽屉和物品 我们将这7种订法看成是7个"抽屉"。 把100名学生看作100件物品。 第三步：计算商和余数 100 ÷ 7 = 14……2 商是14，余数是2。 第四步：应用抽屉原理2 根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的杂志种类是相同的。 答：至少有15名学生订阅的杂志种类相同。 【方法总结】 构造抽屉型解题步骤： 1. 先找出所有可能的情况（抽屉数） 2. 分类计算，不要遗漏 3. 用物品数÷抽屉数 = 商……余数 4. 至少数 = 商 + 1 🚀 随堂小练3 五年级有80名学生，他们都参加语文、数学、英语三个兴趣小组中的一个、二个或三个。问：至少有多少名学生参加的兴趣小组种类相同？ 🚀 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 水果搭配问题】★★★拔高 【题目】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？ 【解题思路】 这道题的关键是：先找出不同的水果搭配有多少种，也就是先算出抽屉数。 拿两个水果，分两种情况：两个水果相同、两个水果不同。分别算出每种有几种，加起来就是总抽屉数。 然后用小朋友数除以抽屉数，算出至少数。 【完整解析】 第一步：计算水果搭配数（构造抽屉） 首先应弄清不同的水果搭配有多少种。 两个水果是相同的有4种：两个苹果、两个梨、两个桃、两个桔子； 两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。 所以不同的水果搭配共有：4 + 6 = 10（种）。 第二步：确定抽屉和物品 将这10种搭配作为10个"抽屉"。 把81个小朋友看作81件物品。 第三步：计算商和余数 81 ÷ 10 = 8……1（个） 商是8，余数是1。 第四步：应用抽屉原理2 根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。 答：至少有9个小朋友拿的水果是相同的。 【方法总结】 组合类构造抽屉技巧： 1. 分类讨论：相同的、不同的 2. 相同的：有几种物品就有几种 3. 不同的：用组合数计算，或按顺序列举 4. 加起来就是总抽屉数 🚀 随堂小练4 商店里有红、黄、蓝、绿四种颜色的气球，有65个小朋友，每个小朋友买2个气球。问：至少有多少个小朋友买的气球颜色组合是相同的？ 【拓展2 课外学习班问题】★★★★挑战 【题目】 学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？ 【解题思路】 这道题是构造抽屉和最不利原则的结合。 首先要算出参加学习班有多少种不同情况（抽屉数），然后用最不利原则算出最少学生数。 【完整解析】 第一步：计算参加情况数（构造抽屉） 首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。 不参加学习班：有1种情况； 只参加一个学习班：有语文、数学、美术，共3种情况； 参加两个学习班：有语文和数学、语文和美术、数学和美术，共3种情况。 共有：1 + 3 + 3 = 7（种）情况。 第二步：确定抽屉数 将这7种情况作为7个"抽屉"。 第三步：应用最不利原则 要保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同，最不利的情况就是：每种情况都先有4名同学。 7种情况，每种4名：7 × 4 = 28（名） 第四步：再加1名 这时候再来1名学生，不管他是哪种情况，那种情况就有5名同学了。 第五步：计算总数 28 + 1 = 29（名） 验证：根据抽屉原理2公式，7×（5-1）＋1＝29（名）。 答：至少有29名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同。 【方法总结】 综合型问题解题步骤： 1. 先构造抽屉，算出抽屉数 2. 再用最不利原则计算 3. 公式：最少物品数 = 抽屉数×(目标数-1) + 1 4. 注意：不要遗漏"不参加"这种情况！ 🚀 随堂小练5 学校有足球、篮球、排球三个球队，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于4名同学参加球队的情况完全相同？ ⚠️ 四、易错题专区 —— 避开这些坑，你就是抽屉原理小达人！ 【易错题1 至少数公式记错】★★提升 【题目】 把10个苹果放进3个抽屉里，至少有一个抽屉里有几个苹果？ 小明：至少有 3+1=4 个（正确） 小红：至少有 3+2=5 个（错误：商 + 余数） 小刚：至少有 3 个（错误：只看商，不加 1） 谁说得对？为什么？ 【易错点分析】 很多同学会把至少数记成"商+余数"，这是错的！ 正确的是"商+1"，不管余数是多少，都只加1。 因为抽屉原理说的是"至少有一个抽屉不少于m+1件"，不是说"正好有商+余数件"。 【正确解法】 10 ÷ 3 = 3……1 商是3，余数是1。 至少数 = 商 + 1 = 3 + 1 = 4（个） 验证：如果每个抽屉最多3个，3个抽屉最多放9个，不够10个，所以至少有一个抽屉有4个。 答：只有小明说得对，至少有4个苹果。小红错在把 "商 + 余数" 当成了至少数，小刚错在只看商忘记加 1。 【避坑提醒】 记住：至少数 = 商 + 1，不是商 + 余数！ 不管余数是1还是2还是更多，都只加1。 【易错题2 构造抽屉时遗漏情况】★★★拔高 【题目】 学校有足球、篮球、排球三个球队，每个学生最多参加两个（可以不参加）。一共有多少种不同的参加情况？ 小明说：有6种。 小红说：有7种。 谁说得对？为什么？ 【易错点分析】 很多同学会遗漏"不参加"这种情况，或者只算参加一个和参加两个，忘记了"不参加"。 构造抽屉时，一定要按顺序列举，不要遗漏任何一种情况！ 【正确解法】 我们分类来算： 第一类：不参加球队，有1种情况； 第二类：只参加一个球队，有足球、篮球、排球，共3种情况； 第三类：参加两个球队，有足球+篮球、足球+排球、篮球+排球，共3种情况。 一共有：1 + 3 + 3 = 7（种） 答：小红说得对，一共有7种不同的参加情况。 【避坑提醒】 构造抽屉时，一定要按顺序分类列举： 1. 不选/不参加的情况 2. 选1个/参加1个的情况 3. 选2个/参加2个的情况 …… 按顺序来，就不会遗漏了！ 【易错题3 最不利原则忘记+1】★★★拔高 【题目】 箱子里有红、黄、蓝三种颜色的球各10个。至少要取出多少个球，才能保证一定有3个球颜色相同？ 小明说：至少要取6个。 小红说：至少要取7个。 谁说得对？为什么？ 【易错点分析】 很多同学会直接说"3×2=6个"，但这是错的！ 最不利的情况是：取了6个球，每种颜色各2个，这时候还没有3个颜色相同的。 需要再取1个，才能保证一定有3个颜色相同。 【正确解法】 第一步：分析最不利情况 要保证有3个球颜色相同，最不利的情况就是：每种颜色都先取到2个。 3种颜色，每种2个：3 × 2 = 6（个） 第二步：再加1个 这时候再取1个球，不管是什么颜色，那种颜色就有3个了。 第三步：计算总数 6 + 1 = 7（个） 答：小红说得对，至少要取出7个球。 【避坑提醒】 最不利原则的核心公式：最不利情况数 + 1 一定要记住最后要加1！ "最不利"是刚好不满足的情况，再加1才一定满足。 🎮 五、趣味挑战题 —— 开动脑筋，挑战一下更有趣的抽屉原理问题！ 【趣味挑战 神奇的"头发数量"】★★★★挑战 【问题】 你知道吗？一个正常人的头发数量大约是10万根左右。 假设一个城市有11万人口，那么这个城市里至少有两个人的头发数量是完全一样的！ 你能用抽屉原理来解释一下吗？ 【提示】 1. 人的头发数量最少是多少？最多是多少？ 2. 头发数量有多少种不同的可能？ 3. 把什么看作抽屉？把什么看作物品？ 【答案】 我们来分析一下： 第一步：找抽屉 人的头发数量最少是0根（光头），最多大约是10万根。 所以头发数量一共有：0、1、2、……、100000，共100001种可能。 我们把这100001种头发数量看作100001个抽屉。 第二步：找物品 城市里有11万人口，把11万人看作11万件物品。 第三步：应用抽屉原理 11万 = 110000 110000 ＞ 100001 物品数（110000）＞ 抽屉数（100001） 根据抽屉原理1，至少有一个抽屉里有不少于2件物品。 也就是说，至少有两个人的头发数量是完全一样的。 是不是很神奇？虽然我们不知道具体是哪两个人，但我们可以确定一定有这样的两个人！ 这就是抽屉原理的魅力——从看似混乱的现象中，找出必然的规律。 🧠 思考题： 如果一个城市有20万人口，那么至少有多少人的头发数量是一样的？ （答案：至少有2个人，因为200000÷100001=1……99999，至少数=1+1=2人） 💡 六、一题多解精选 —— 一道题，多种解法，看看你最喜欢哪种？ 【经典题 属相问题】 【题目】 礼堂里有253人开会，这253人中至少有多少人的属相相同？ 解法一：直接计算法（推荐） 思路：直接用除法算商和余数，至少数=商+1。 253 ÷ 12 = 21……1 至少数 = 21 + 1 = 22（人） 答：至少有22人的属相相同。 解法二：反证法 思路：假设每个属相最多21人，算算最多能有多少人，再和实际人数比较。 如果每个属相最多21人，12个属相最多有：12 × 21 = 252（人） 但实际有253人，253 ＞ 252，这说明不可能每个属相都只有21人。 所以至少有一个属相有22人。 答：至少有22人的属相相同。 解法三：最不利原则法 思路：要让属相相同的人数尽量少，就要尽量平均分配。 最平均的情况就是每个属相的人数差不多。 253人平均分到12个属相里，每个属相21人，还剩1人。 剩下的1人不管是什么属相，那个属相就有22人了。 所以至少有22人的属相相同。 答：至少有22人的属相相同。 【方法对比】 三种方法都能得到正确答案，但各有特点： 1. 直接计算法：最常用，计算最快，适合直接应用型题目 2. 反证法：逻辑严谨，适合证明题 3. 最不利原则法：容易理解，适合入门学习 同学们可以根据题目特点，选择自己喜欢的方法！ ✏️ 七、基本练习（基础必做，建议12分钟完成） 第1题 ★基础 礼堂里有253人开会，这253人中至少有多少人的属相相同？ 第2题 ★★提升 一兴趣小组有10名学生，他们都订阅甲、乙两种杂志中的一种或两种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 第3题 ★★提升 把130件玩具分给幼儿园小朋友，如果不管怎样分，都至少有一位小朋友分得4件或4件以上的玩具，那么这个幼儿园最多有多少个小朋友？ 第4题 ★★★拔高 体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个。问：至少有几名同学拿球的情况完全一样？ 🔥 八、拓展练习（拔高选做，学有余力的同学挑战） 第1题 ★★★拔高 口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取三个球。要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球？ 第2题 ★★★★挑战 10个足球队之间共赛了11场，赛得最多的球队至少赛了几场？ 📝 九、随堂小练完整答案 随堂小练1答案 【题目】某班有45名学生，老师买了140本故事书，全部分给学生。是否会有学生得到4本或4本以上的书？ 【解析】 第一步：找抽屉和物品 把45名学生看成45个抽屉。 把140本书看成140件物品。 第二步：计算商和余数 140 ÷ 45 = 3……5 商是3，余数是5。 第三步：应用抽屉原理2 根据抽屉原理2，至少有3 + 1 = 4（本）。 也就是说，至少会有一个学生得到4本或4本以上的书。 【答案】会有学生得到4本或4本以上的书。 随堂小练2答案 【题目】一个口袋里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各很多个。问：至少要取出多少个球，才能保证其中至少有5个颜色相同的球？ 【解析】 第一步：找抽屉 四种颜色看作4个抽屉。 第二步：分析最不利情况 要保证有5个颜色相同，最不利的情况就是：每种颜色都先取到4个。 4种颜色，每种4个：4 × 4 = 16（个） 第三步：再加1个 这时候再取1个球，不管是什么颜色，那种颜色就有5个了。 第四步：计算总数 16 + 1 = 17（个） 【答案】至少要取出17个球。 随堂小练3答案 【题目】五年级有80名学生，他们都参加语文、数学、英语三个兴趣小组中的一个、二个或三个。问：至少有多少名学生参加的兴趣小组种类相同？ 【解析】 第一步：计算参加种类数（构造抽屉） 参加一个小组：语文、数学、英语，共3种； 参加二个小组：语文+数学、语文+英语、数学+英语，共3种； 参加三个小组：语文+数学+英语，共1种。 一共有：3 + 3 + 1 = 7（种） 第二步：确定抽屉和物品 7种参加方式看作7个抽屉。 80名学生看作80件物品。 第三步：计算商和余数 80 ÷ 7 = 11……3 商是11，余数是3。 第四步：应用抽屉原理2 至少有11 + 1 = 12（名）学生参加的兴趣小组种类相同。 【答案】至少有12名学生参加的兴趣小组种类相同。 随堂小练4答案 【题目】商店里有红、黄、蓝、绿四种颜色的气球，有65个小朋友，每个小朋友买2个气球。问：至少有多少个小朋友买的气球颜色组合是相同的？ 【解析】 第一步：计算颜色组合数（构造抽屉） 两个气球颜色相同：红红、黄黄、蓝蓝、绿绿，共4种； 两个气球颜色不同：红黄、红蓝、红绿、黄蓝、黄绿、蓝绿，共6种。 一共有：4 + 6 = 10（种） 第二步：确定抽屉和物品 10种颜色组合看作10个抽屉。 65个小朋友看作65件物品。 第三步：计算商和余数 65 ÷ 10 = 6……5 商是6，余数是5。 第四步：应用抽屉原理2 至少有6 + 1 = 7（个）小朋友买的气球颜色组合相同。 【答案】至少有7个小朋友买的气球颜色组合是相同的。 随堂小练5答案 【题目】学校有足球、篮球、排球三个球队，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于4名同学参加球队的情况完全相同？ 【解析】 第一步：计算参加情况数（构造抽屉） 不参加：1种； 只参加一个：足球、篮球、排球，共3种； 参加两个：足球+篮球、足球+排球、篮球+排球，共3种。 一共有：1 + 3 + 3 = 7（种） 第二步：确定抽屉数 7种情况看作7个抽屉。 第三步：应用最不利原则 要保证有不少于4名同学情况相同，最不利的情况就是：每种情况都先有3名同学。 7种情况，每种3名：7 × 3 = 21（名） 第四步：再加1名 这时候再来1名学生，不管是哪种情况，那种情况就有4名同学了。 第五步：计算总数 21 + 1 = 22（名） 【答案】至少有22名学生。 📝 十、基本练习完整分步答案 第1题答案 【题目】礼堂里有253人开会，这253人中至少有多少人的属相相同？ 【解析】 第一步：找抽屉和物品 一共有12个属相，把12个属相看作12个抽屉。 把253人看作253件物品。 第二步：计算商和余数 253 ÷ 12 = 21……1 商是21，余数是1。 第三步：应用抽屉原理2 根据抽屉原理2，至少有21 + 1 = 22（人）的属相相同。 【答案】至少有22人的属相相同。 第2题答案 【题目】一兴趣小组有10名学生，他们都订阅甲、乙两种杂志中的一种或两种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？ 【解析】 第一步：计算订阅种类数（构造抽屉） 订阅杂志的种类有几种情况呢？ 订一种：订甲、订乙，共2种； 订两种：订甲乙，共1种。 一共有：2 + 1 = 3（种）订阅方法。 第二步：确定抽屉和物品 把3种订阅方法看作3个抽屉。 把10名学生看作10件物品。 第三步：计算商和余数 10 ÷ 3 = 3……1 商是3，余数是1。 第四步：应用抽屉原理2 根据抽屉原理2，至少有3 + 1 = 4（名）学生订阅的杂志种类相同。 【答案】至少有4名学生订阅的杂志种类相同。 第3题答案 【题目】把130件玩具分给幼儿园小朋友，如果不管怎样分，都至少有一位小朋友分得4件或4件以上的玩具，那么这个幼儿园最多有多少个小朋友？ 【解析】 这是一道反向问题：已知物品数和至少数，求最多抽屉数。 第一步：理解题意 "不管怎样分，都至少有一位小朋友分得4件或4件以上"，意思是： 物品数（130件）＞ 小朋友数 × 3 （因为如果每个小朋友最多3件，那总数最多就是小朋友数×3，不会有小朋友得到4件） 第二步：列算式 设小朋友数为n，那么： n × 3 ＜ 130 n ＜ 130 ÷ 3 n ＜ 43.333…… 第三步：取整数 n最大是43。 验证：如果有43个小朋友，每个最多3件，最多分43×3=129件。 现在有130件玩具，比129多1件，所以不管怎么分，至少有一个小朋友会得到4件。 如果有44个小朋友，每个3件，需要44×3=132件，130件不够，所以可能每个小朋友都不到4件。 【答案】这个幼儿园最多有43个小朋友。 第4题答案 【题目】体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个。问：至少有几名同学拿球的情况完全一样？ 【解析】 第一步：计算拿球情况数（构造抽屉） 每人最多拿两个球，有几种情况呢？ 不拿球：1种情况； 拿一个球：足球、篮球、排球，共3种情况； 拿两个球：两个足球、两个篮球、两个排球、足球+篮球、足球+排球、篮球+排球，共6种情况。 一共有：1 + 3 + 6 = 10（种）情况。 第二步：确定抽屉和物品 把10种拿球情况看作10个抽屉。 把41名同学看作41件物品。 第三步：计算商和余数 41 ÷ 10 = 4……1 商是4，余数是1。 第四步：应用抽屉原理2 根据抽屉原理2，至少有4 + 1 = 5（名）同学拿球的情况完全一样。 【答案】至少有5名同学拿球的情况完全一样。 📝 十一、拓展练习完整分步答案 第1题答案 【题目】口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取三个球。要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球？ 【解析】 第一步：计算取球颜色情况数（构造抽屉） 每人取三个球，红、白两种颜色，有几种颜色组合呢？ 3个红球、2红1白、1红2白、3个白球，共4种情况。 第二步：确定抽屉数 把4种颜色组合看作4个抽屉。 第三步：应用最不利原则 要保证有4人取出的球的颜色完全相同，最不利的情况就是：每种情况都先有3人。 4种情况，每种3人：4 × 3 = 12（人） 第四步：再加1人 这时候再来1人取球，不管是哪种颜色组合，那种组合就有4人了。 第五步：计算总数 12 + 1 = 13（人） 【答案】至少应有13人取球。 第2题答案 【题目】10个足球队之间共赛了11场，赛得最多的球队至少赛了几场？ 【解析】 这道题需要仔细思考。 第一步：理解题意 10个球队，赛了11场。每场比赛有2个球队参加，所以11场比赛一共有11×2=22（队次）参赛。 第二步：应用抽屉原理2 把10个球队看作10个抽屉。 把22队次看作22件物品。 第三步：计算商和余数 22 ÷ 10 = 2……2 商是2，余数是2。 第四步：得出结论 根据抽屉原理2，至少有2 + 1 = 3（场）。 也就是说，赛得最多的球队至少赛了3场。 验证：如果每个球队最多赛2场，10个球队最多赛10×2÷2=10场，不够11场。 所以至少有一个球队赛了3场。 【答案】赛得最多的球队至少赛了3场。 📚 十二、本讲总结 （一）思维导图速记 （二）核心公式速查表 题型 已知条件 求什么 核心公式 直接应用型 抽屉数n，物品数 至少数 至少数 = 商 + 1（有余数时） 最不利原则型 抽屉数n，目标至少数 最少物品数 最少物品数 = n×(目标数-1) + 1 构造抽屉型 物品数，各种情况 至少数 先算抽屉数，再用直接应用型公式 反向求抽屉型 物品数，至少数 最多抽屉数 最多抽屉数 = (物品数-1)÷(至少数-1) 原理1（基础） n个抽屉，多于n件物品 至少有1个抽屉≥2件 原理2的特殊情况（m=1） 原理2（进阶） n个抽屉，多于m×n件物品 至少有1个抽屉≥m+1件 原理1的推广 （三）避坑清单 坑1：至少数公式记错 —— 是"商+1"，不是"商+余数"，不管余数多少都只加1 坑2：构造抽屉遗漏情况 —— 一定要按顺序分类列举，不要漏掉"不选/不参加"的情况 坑3：最不利原则忘记+1 —— 最不利情况是刚好不满足，再加1才一定满足 坑4："几双"理解错 —— 2双同色=4只同色，不是2只，也不是两双不同色 坑5：反向问题搞反 —— 求最多抽屉数：抽屉数=(物品数-1)÷(至少数-1)，不要搞反 坑6：没有余数时 —— 物品数刚好是抽屉数的倍数时，至少数=商，不用加1 坑7：组合问题算错 —— 选2个不同的，用组合数计算，不要用排列数 （四）解题小口诀 【抽屉原理2口诀】 抽屉原理二，至少数问题。 物品除以抽屉数，商加一得答案。 有余数，就加一，没余数，就是商。 找对抽屉是关键，分类列举不遗漏。 【最不利原则口诀】 要保证，先最坏，差一点点就成功。 再加一个就满足，最不利原则要记清！ 【构造抽屉口诀】 构造抽屉有技巧，分类列举要记牢。 选一个、选两个，按顺序来不遗漏！ —— 本讲结束，💪加油！你已经掌握了至少数问题与构造抽屉的方法—— 学科网（北京）股份有限公司 $