奥数培优第1讲 归一问题——单一量与归总思想（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义・第 1 讲 归一问题 —— 单一量与归总思想前言 教学目标与学情分析 归一问题是小学应用题的基础核心，解题关键是先求出 "单一量"，再以它为标准计算结果。本讲重点学习正归一、反归一、归总三大题型，掌握 "先求单位量，再算总结果" 的解题思想，为后续复杂应用题打下坚实基础。 华罗庚说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。希望同学们找准单一量，巧用归一思想，轻松解决各类应用题！ 三维教学目标 · 知识与技能： · 理解归一问题与归总问题的概念；掌握正归一、反归一、归总三类题型的解题方法；能熟练运用 "先求单一量 / 总量" 的思路解决实际问题。 · 过程与方法： · 学会分析题目中的数量关系，判断归一类型；通过画线段图、列表格辅助分析，建立有序的解题思维。 · 情感态度与价值观： · 感受数学与生活的紧密联系，培养认真审题、细心计算的习惯，提升分析问题与解决问题的能力。 教学重难点 · 重点： · 求单一量的方法；正归一与反归一的区分；归总问题的总量不变思想。 · 难点： · 多变量归一问题（如双归一：人数 × 天数）；归一与归总的综合应用；"增加 / 减少" 类变形题。 ⚠️ 【高频易错总提示】 1. 先判断是归一还是归总：求 "单位量" 是归一，求 "总量" 是归总； 2. 双归一问题（如 "3 台 2 小时"）要连续除两次，不要只除一次； 3. "增加几辆" 与 "需要几辆" 要分清：问增加多少，记得减去原来的数量； 4. 归总问题总量不变，先算总量，再根据新条件求结果； 5. 计算时注意单位统一，不要把 "小时" 和 "天" 搞混。 一、知识点总结 （一）什么是归一问题 在解答应用题时，常常需要先找出单一量（单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等），然后以这个单一量为标准，根据其他条件求出结果。这种解题方法叫做归一法，这类问题叫做归一问题。 （二）什么是归总问题 与归一问题类似，归总问题是先找出总量（总路程、总产量、工作总量、物品的总价等），再根据其他条件求出结果。特点是总量不变。 （三）三大常考题型 1. 正归一（求总量） 特点：先求单一量，再求几个单一量是多少。 公式：总量 ÷ 份数 = 单一量；单一量 × 新份数 = 新总量 例：3 个苹果 15 元，8 个苹果多少元？ 先求单价：15÷3=5（元），再求总价：5×8=40（元） 2. 反归一（求份数 / 时间） 特点：先求单一量，再求包含多少个单一量。 公式：总量 ÷ 份数 = 单一量；新总量 ÷ 单一量 = 新份数 例：3 个苹果 15 元，40 元能买几个苹果？ 先求单价：15÷3=5（元），再求数量：40÷5=8（个） 3. 归总问题（总量不变） 特点：总量固定不变，条件变化后求新的份数或单一量。 公式：单一量 × 份数 = 总量；总量 ÷ 新单一量 = 新份数 例：一本书每天看 10 页，6 天看完；每天看 15 页，几天看完？ 先求总页数：10×6=60（页），再求天数：60÷15=4（天） （四）通用解题四步法（速记：判→求→算→验） 1. 判类型：判断是归一还是归总，是正归一还是反归一； 2. 求单位：归一问题先求单一量，归总问题先求总量； 3. 算结果：根据问题，用乘除法算出最终答案； 4. 验答案：把结果代入原题，检验是否符合所有条件。 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 【例 1 正归一・单变量】★基础 【题目】 一种钢轨，4 根共重 1900 千克，现在有 95000 千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计） 【解题思路】 先求 1 根钢轨的重量（单一量），再用总重量除以单根重量，得到根数。这是反归一问题。 【完整解析】 ①求单一量：1 根钢轨重多少千克？ 1900 ÷ 4 = 475（千克） ②求份数：95000 千克能造多少根？ 95000 ÷ 475 = 200（根） ③综合算式： 95000 ÷ (1900 ÷ 4) = 95000 ÷ 475 = 200（根） 答：可以制造 200 根钢轨。 🚀 【随堂小练】 5 支铅笔共 15 元，48 元能买几支同样的铅笔？ 小练答案：15÷5=3（元），48÷3=16（支）。答：能买 16 支。 【例 2 双归一・正归一】★基础 【题目】 王家养了 5 头奶牛，7 天产牛奶 630 千克，照这样计算，8 头奶牛 15 天可产牛奶多少千克？ 【解题思路】 双归一问题，要先求 1 头奶牛 1 天产奶量（单一量），需要连续除两次；再求 8 头 15 天的总产量，连续乘两次。 【完整解析】 ①求单一量：1 头奶牛 1 天产奶多少千克？ 630 ÷ 5 ÷ 7 = 126 ÷ 7 = 18（千克） ②求新总量：8 头奶牛 15 天产奶多少千克？ 18 × 8 × 15 = 144 × 15 = 2160（千克） ③综合算式： (630 ÷ 5 ÷ 7) × 8 × 15 = 18 × 8 × 15 = 2160（千克） 答：8 头奶牛 15 天可产牛奶 2160 千克。 【例 3 双归一・反归一】★★提升 【题目】 三台同样的磨面机 2.5 小时可以磨面粉 2400 千克，8 台这样的磨面机磨 25600 千克面粉需要多少时间？ 【解题思路】 先求 1 台磨面机 1 小时磨多少千克（单一量），再求 8 台磨 25600 千克需要多少小时。 【完整解析】 ①求单一量：1 台磨面机 1 小时磨面粉多少千克？ 2400 ÷ 3 ÷ 2.5 = 800 ÷ 2.5 = 320（千克） ②求时间：8 台磨 25600 千克需要几小时？ 25600 ÷ 320 ÷ 8 = 80 ÷ 8 = 10（时） ③综合算式： 25600 ÷ (2400 ÷ 3 ÷ 2.5) ÷ 8 = 25600 ÷ 320 ÷ 8 = 10（时） 答：需要 10 小时。 🚀 【随堂小练】 2 台拖拉机 3 小时耕地 12 公顷，照这样计算，5 台拖拉机耕地 100 公顷需要几小时？ 小练答案：12÷2÷3=2（公顷），100÷2÷5=10（小时）。答：需要 10 小时。 【例 4 归总问题・基础型】★★提升 【题目】 一项工程，8 个人工作 15 小时可以完成，如果 12 个人工作，那么多少小时可以完成？ 【解题思路】 归总问题，工作总量不变。先求总工作量（相当于 1 个人工作多少小时），再求 12 个人需要几小时。 【完整解析】 ①求总量：工程总量相当于 1 个人工作多少小时？ 8 × 15 = 120（时） ②求时间：12 个人完成需要多少小时？ 120 ÷ 12 = 10（时） ③综合算式： 8 × 15 ÷ 12 = 120 ÷ 12 = 10（时） 答：12 人工作 10 小时可以完成。 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 【拓展 1 归一・增加数量型】★★★拔高 【题目】 4 辆大卡车运沙土，7 趟共运走沙土 336 吨。现在有沙土 420 吨，要求 5 趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？ 【解题思路】 先求 1 辆卡车 1 趟运多少吨（单一量），再求 5 趟运 420 吨需要几辆卡车，最后减去原来的 4 辆，就是需要增加的数量。 【完整解析】 ①求单一量：1 辆卡车 1 趟运沙土多少吨？ 336 ÷ 4 ÷ 7 = 84 ÷ 7 = 12（吨） ②求需要的卡车数量：5 趟运 420 吨需要几辆？ 420 ÷ 12 ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7（辆） ③求增加的数量：7 - 4 = 3（辆） ④综合算式： 420 ÷ (336 ÷ 4 ÷ 7) ÷ 5 - 4 = 420 ÷ 12 ÷ 5 - 4 = 7 - 4 = 3（辆） 答：需要增加同样的卡车 3 辆。 【拓展 2 归总・速度变化型】★★★拔高 【题目】 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 60 千米，5 小时到达。若要 4 小时到达，则每小时需要多行多少千米？ 【解题思路】 归总问题，路程不变。先求总路程，再求 4 小时到达的速度，最后减去原来的速度，就是每小时多行的距离。 【完整解析】 求总量：甲乙两地路程是多少千米？ 60 × 5 = 300（千米） 求新速度：4 小时到达，每小时行多少千米？ 300 ÷ 4 = 75（千米） 求多行的距离： 75 - 60 = 15（千米） 综合算式： 60 × 5 ÷ 4 - 60 = 300 ÷ 4 - 60 = 75 - 60 = 15（千米） 答：每小时需要多行 15 千米。 🚀 【随堂小练】 一本书每天看 20 页，12 天看完。如果要提前 4 天看完，每天要看多少页？ 小练答案：总页数 20×12=240（页），时间 12-4=8（天），每天 240÷8=30（页）。答：每天要看 30 页。 【拓展 3 归总・中途变化型】★★★拔高 【题目】 修一条公路，原计划 60 人工作，80 天完成。现在工作 20 天后，又增加了 30 人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？ 解题思路 归总问题，总工作量不变。先求总劳动日，再算 20 天完成了多少，剩下的工作量除以增加后的人数，就是还需要的天数。 【完整解析】 求总量：修这条公路共需要多少个劳动日？ 60 × 80 = 4800（劳动日） 求已完成量：60 人工作 20 天完成了多少？ 60 × 20 = 1200（劳动日） 求剩余量：还剩下多少劳动日？ 4800 - 1200 = 3600（劳动日） 求剩余时间：增加 30 人后，还需多少天？ 3600 ÷ (60 + 30) = 3600 ÷ 90 = 40（天） 综合算式： (60 × 80 - 60 × 20) ÷ (60 + 30) = (4800 - 1200) ÷ 90 = 3600 ÷ 90 = 40（天） 答：剩下的部分再用 40 天可以完成。 四、基本练习 ★基础 1. ★2 台拖拉机 4 小时耕地 8 公顷，照这样速度，5 台拖拉机 6 小时可耕地多少公顷？ 2. ★4 台织布机 5 小时可以织布 100 米，24 台织布机织布 2400 米需要几小时？ 3. ★★一种幻灯机，5 秒钟可以放映 80 张片子。问：48 秒钟可以放映多少张片子？ 4. ★★3 台抽水机 8 小时灌溉水田 48 公顷，照这样的速度，5 台同样的抽水机 6 小时可以灌溉水田多少公顷？ 五、拓展练习 ★★拔高 1. ★★★平整一块土地，原计划 8 人平整，每天工作 7.5 小时，6 天可以完成任务。由于急需播种，要求 5 天完成，并且增加 1 人。问：每天要工作几小时？ 2. ★★★★食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克 3.00 元买 20 千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了 5 千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？ 3. ★★★★★锅炉房按照每天 4.5 吨的用量储备了 120 天的供暖煤。供暖 40 天后，由于进行了技术改造，每天能节约 0.9 吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？ 六、基本练习完整分步答案 第 1 题 题型：双归一・正归一 ①求单一量：1 台拖拉机 1 小时耕地多少公顷？ 8 ÷ 2 ÷ 4 = 1（公顷） ②求新总量：5 台 6 小时耕地多少公顷？ 1 × 5 × 6 = 30（公顷） 综合算式：(8 ÷ 2 ÷ 4) × 5 × 6 = 1 × 5 × 6 = 30（公顷） 答：5 台拖拉机 6 小时可耕地 30 公顷。 第 2 题 题型：双归一・反归一 ①求单一量：1 台织布机 1 小时织布多少米？ 100 ÷ 4 ÷ 5 = 5（米） ②求时间：24 台织 2400 米需要几小时？ 2400 ÷ 5 ÷ 24 = 20（小时） 综合算式：2400 ÷ (100 ÷ 4 ÷ 5) ÷ 24 = 2400 ÷ 5 ÷ 24 = 20（小时） 答：24 台织布机织布 2400 米需要 20 小时。 第 3 题 题型：单归一・正归一 ①求单一量：1 秒钟放映多少张片子？ 80 ÷ 5 = 16（张） ②求新总量：48 秒钟放映多少张？ 16 × 48 = 768（张） 综合算式：80 ÷ 5 × 48 = 16 × 48 = 768（张） 答：48 秒钟可以放映 768 张片子。 第 4 题 题型：双归一・正归一 ①求单一量：1 台抽水机 1 小时灌溉多少公顷？ 48 ÷ 3 ÷ 8 = 2（公顷） ②求新总量：5 台 6 小时灌溉多少公顷？ 2 × 5 × 6 = 60（公顷） 综合算式：(48 ÷ 3 ÷ 8) × 5 × 6 = 2 × 5 × 6 = 60（公顷） 答：5 台抽水机 6 小时可以灌溉水田 60 公顷。 七、拓展练习完整分步答案 拓展 1 题型：归总・多变量 ①求总量：总工作量相当于 1 人工作多少小时？ 8 × 7.5 × 6 = 60 × 6 = 360（小时） ②求新人数：增加 1 人后共几人？ 8 + 1 = 9（人） ③求每天工作时间：5 天完成，每天工作几小时？ 360 ÷ 9 ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8（小时） ④综合算式：8 × 7.5 × 6 ÷ (8 + 1) ÷ 5 = 360 ÷ 9 ÷ 5 = 8（小时） 答：每天要工作 8 小时。 拓展 2 题型：归总・价格变化 ①求总量：管理员带了多少钱？ 3.00 × 20 = 60（元） ②求新数量：价格下调后买了多少千克？ 20 + 5 = 25（千克） ③求新单价：下调后每千克多少元？ 60 ÷ 25 = 2.40（元） ④综合算式：3.00 × 20 ÷ (20 + 5) = 60 ÷ 25 = 2.40（元） 答：鸡蛋价格下调后是每千克 2.40 元。 拓展 3 题型：归总・中途变化 ①求总量：一共储备了多少吨煤？ 4.5 × 120 = 540（吨） ②求已用煤量：供暖 40 天用了多少吨？ 4.5 × 40 = 180（吨） ③求剩余量：还剩多少吨煤？ 540 - 180 = 360（吨） ④求新用量：技术改造后每天用多少吨？ 4.5 - 0.9 = 3.6（吨） ④求剩余时间：剩下的煤还能供暖多少天？ 360 ÷ 3.6 = 100（天） ⑤求总时间：一共可以供暖多少天？ 40 + 100 = 140（天） ⑥综合算式：40 + (4.5 × 120 - 4.5 × 40) ÷ (4.5 - 0.9) = 40 + (540 - 180) ÷ 3.6 = 40 + 360 ÷ 3.6 = 40 + 100 = 140（天） 答：这些煤共可以供暖 140 天。 学科网（北京）股份有限公司 $