奥数培优·第6讲 能被11整除的数的特征（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第6讲能被11整除的数的特征前言 教学目标 德国数学家高斯说：“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。”在数学的王国里，数的整除性是一颗璀璨的明珠。它不仅有趣，而且非常有用！ 你有没有遇到过这样的问题： 一个很大的数，不用做除法，怎么快速判断它能不能被11整除？一个数除以11，余数是多少？有没有简便方法？用几个数字，怎么排列才能组成能被11整除的数？ 这些问题看起来很难，但是只要我们掌握了能被11整除的数的特征，就能轻松解决！ 今天，我们就来学习一个神奇的规律——奇数位和偶数位的秘密。学会了它，再大的数，你也能一眼判断能不能被11整除！ 准备好了吗？让我们一起探索整除的奥秘吧！ 知识与技能 掌握能被11整除的数的特征,能运用特征判断一个数能否被11整除;掌握求除以11的余数的方法. 过程与方法 通过观察、比较、归纳，发现能被11整除的数的特征； 培养观察能力和归纳推理能力,体会"化繁为简"的数学思想。 情感态度与价值观 感受数学规律的神奇，激发数学学习兴趣,培养观察、归纳的思维习惯,体会数学在生活中的应用价值,增强用数学方法解决问题的信心。 教学重难点 重点： 能被11整除的数的特征 运用特征判断一个数能否被11整除 求除以11的余数的方法 通用解题步骤（找→算→判→验） 难点： 理解为什么奇数位和减偶数位和能判断整除 奇数位和小于偶数位和时，如何求余数 综合运用多个整除特征（如99=9×11，88=8×11） 数字排列问题（最大/最小） 【高频易错总提示】 1. 奇偶位搞反：从右边数（个位是第1位），第1、3、5…位是奇数位，第2、4、6…位是偶数位。别从左边数！ 2. 只算一边：要奇数位数字和减去偶数位数字和，两边都要算！ 3. 差的判断：差（大数减小数）能被11整除，这个数就能被11整除。不是差等于11！ 4. 余数算错：奇数位和小于偶数位和时，不能直接减，要加11的倍数再减。 5. 位数数错：数字位数多时，一定要从右往左数清楚，别数错了！ 6. 不验证：做完题可以用实际除法验证一下，避免出错。 一、知识点总结 （一）奇数位与偶数位 定义：一个数从右边数起，第1、3、5……位称为奇数位，第2、4、6……位称为偶数位。 也就是说： · 个位、百位、万位……是奇数位（第1、3、5……位） · 十位、千位、十万位……是偶数位（第2、4、6……位） 举例：9位数 7 6 8 3 2 5 4 1 9 位数（从右数） 第9位 第8位 第7位 第6位 第5位 第4位 第3位 第2位 第1位 数字 7 6 8 3 2 5 4 1 9 奇偶位 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 奇数位数字：7、8、2、4、9 偶数位数字：6、3、5、1 【小提示】 ⚠️ 一定要从右边（个位）开始数！ 可以这样记：个位是第1位（奇数位），十位是第2位（偶数位），百位是第3位（奇数位）…… （二）能被11整除的数的特征 特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。 简单说：奇位和 - 偶位和（大减小），能被11整除，这个数就能被11整除。 举例：判断 1839673 能否被11整除？ 1. 奇数位（从右数第1、3、5、7位）：3、6、3、1，和 = 3+6+3+1 = 13 2. 偶数位（从右数第2、4、6位）：7、9、8，和 = 7+9+8 = 24 3. 差：24 - 13 = 11 4. 11能被11整除，所以 1839673 能被11整除 ✓ 【记忆小口诀】 十一整除真奇妙，奇位偶位分别加； 大数减小求差值，差值整除十一就整除； 记住从右往左数，个位就是第一位。 （三）求除以11的余数 根据能被11整除的数的特征，我们也能求出一个数除以11的余数。 方法：一个数除以11的余数，与它的奇数位数字和减去偶数位数字和所得的差除以11的余数相同。 两种情况： 奇数位和 ≥ 偶数位和： 直接用（奇位和 - 偶位和）÷ 11，余数就是答案。 奇数位和 < 偶数位和： 方法一：给奇数位和加上11的整数倍，使其大于偶数位和，再相减求余数。 方法二：用（偶位和 - 奇位和）÷ 11，所得余数与11的差就是答案。 举例：求 296738185 除以11的余数。 奇数位和：2+6+3+1+5 = 17 偶数位和：9+7+8+8 = 32 因为17 < 32，用方法二： (32 - 17) ÷ 11 = 15 ÷ 11 = 1 …… 4 11 - 4 = 7 所以 296738185 除以11的余数是7。 （四）通用解题步骤（速记：找→算→判→验） 找奇偶位：从右往左数，找出奇数位和偶数位上的数字； 算和与差：分别算出奇数位数字和、偶数位数字和，再算出差（大数减小数）； 判结果：看差能不能被11整除，或者求余数； 做验证：用实际除法或其他方法验证一下。 【特别提醒】 ⚠️ 差为0时，也能被11整除！因为0÷11=0，没有余数。 比如：121，奇位和=1+1=2，偶位和=2，差=0，能被11整除。121÷11=11 ✓ 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 判断能否被11整除】★基础 【题目】 判断七位数 1839673 能否被11整除。 【解题思路】 根据能被11整除的数的特征，分别算出奇数位数字和、偶数位数字和，再算出差，看差能不能被11整除。 【完整解析】 1. 找奇偶位： 从右往左数： 第1位（个位）：3 第2位（十位）：7 第3位（百位）：6 第4位（千位）：9 第5位（万位）：3 第6位（十万位）：8 第7位（百万位）：1 奇数位（第1、3、5、7位）：3、6、3、1 偶数位（第2、4、6位）：7、9、8 2. 算和： 奇数位数字和 = 3 + 6 + 3 + 1 = 13 偶数位数字和 = 7 + 9 + 8 = 24 3. 算差： 24 - 13 = 11（大数减小数） 4. 判断： 11能被11整除（11÷11=1） 所以 1839673 能被11整除。 5. 验证： 1839673 ÷ 11 = 167243，正好整除 ✓ 答：1839673 能被11整除。 【随堂小练1】 判断下列各数能否被11整除： （1）121 能被11整除吗？ （2）13579 能被11整除吗？ （答案见本讲末尾） 【方法总结】 判断能否被11整除的步骤： 1. 从右往左数，找出奇数位和偶数位上的数字 2. 分别算出奇数位数字和、偶数位数字和 3. 用大数减小数，算出差 4. 看差能不能被11整除（差是0、11、22……都可以） 5. 差能被11整除，这个数就能被11整除 6. 用实际除法验证一下 【例2 求除以11的余数】★★提升 【题目】 求下列各数除以11的余数： （1）41873 （2）296738185 【解题思路】 分别算出奇数位数字和、偶数位数字和，用它们的差除以11，余数就是答案。注意：如果奇数位和小于偶数位和，要加11的倍数再减。 【完整解析】 （1）41873 ÷ 11 的余数 找奇偶位： 从右往左数： 第1位：3，第2位：7，第3位：8，第4位：1，第5位：4 奇数位（第1、3、5位）：3、8、4 偶数位（第2、4位）：7、1 算和： 奇数位和 = 3 + 8 + 4 = 15 偶数位和 = 7 + 1 = 8 算差： 15 - 8 = 7（奇数位和 > 偶数位和，直接减） 求余数： 7 ÷ 11 = 0 …… 7 所以 41873 除以11的余数是7。 验证： 41873 ÷ 11 = 3806 …… 7 ✓ （2）296738185 ÷ 11 的余数 找奇偶位： 从右往左数，共9位： 奇数位（第1、3、5、7、9位）：5、1、3、6、2 偶数位（第2、4、6、8位）：8、8、7、9 算和： 奇数位和 = 5 + 1 + 3 + 6 + 2 = 17 偶数位和 = 8 + 8 + 7 + 9 = 32 算差： 17 < 32，奇数位和小于偶数位和 方法：给17加11的倍数，使其大于32 17 + 11×2 = 17 + 22 = 39 39 - 32 = 7 求余数： 所以 296738185 除以11的余数是7。 简便方法验证： (32 - 17) ÷ 11 = 15 ÷ 11 = 1 …… 4 11 - 4 = 7 ✓ 答：（1）余数是7；（2）余数是7。 【错点提醒】 ⚠️ 奇数位和小于偶数位和时，不能直接用偶数位和减奇数位和的余数当答案！ 正确做法： 方法一：给奇数位和加11的倍数，使其大于偶数位和，再相减。 方法二：（偶位和 - 奇位和）÷ 11 得余数r，答案就是 11 - r。 【随堂小练2】 求下列各数除以11的余数： （1）2485 除以11的余数是多少？ （2）63582 除以11的余数是多少？ （答案见本讲末尾） 【方法总结】 求除以11的余数的步骤： 1. 分别算出奇数位数字和、偶数位数字和 2. 如果奇位和 ≥ 偶位和：直接相减，差÷11的余数就是答案 3. 如果奇位和 < 偶位和： 方法一：奇位和加11的倍数，使其大于偶位和，再相减 方法二：(偶位和-奇位和)÷11得余数r，答案=11-r 4. 用实际除法验证一下 【例3 排出能被11整除的数】★★提升 【题目】 用 3、3、7、7 四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？ 【解题思路】 四位数有4位，奇数位有2位（第1、3位），偶数位有2位（第2、4位）。 要使差能被11整除，因为数字不大，差只能是0或11。 四个数字的和是3+3+7+7=20，奇位和+偶位和=20。 如果差是11，那么奇位和和偶位和一个是(20+11)÷2=15.5，不是整数，不可能。所以差只能是0，即奇位和=偶位和=10。 【完整解析】 分析： 四位数，共4位： 奇数位：第1位（千位）、第3位（十位），共2位 偶数位：第2位（百位）、第4位（个位），共2位 四个数字：3、3、7、7，和 = 3+3+7+7 = 20 判断差的可能： 能被11整除，说明差是0、11、22…… 四个数字最大的和是7+7=14，最小的和是3+3=6，差最大是14-6=8 所以差只能是0（因为11>8，不可能） 即：奇位和 = 偶位和 = 20÷2 = 10 找出和为10的组合： 两个数字的和是10，从3、3、7、7中选： 3 + 7 = 10 ✓ 所以奇数位放一个3和一个7，偶数位也放一个3和一个7。 排列组合： 奇数位（第1、3位）：3和7，可以交换，有2种 偶数位（第2、4位）：3和7，可以交换，有2种 一共：2 × 2 = 4（种） 写出所有可能： 第1位3，第2位3，第3位7，第4位7 → 3377 第1位3，第2位7，第3位7，第4位3 → 3773 第1位7，第2位3，第3位3，第4位7 → 7337 第1位7，第2位7，第3位3，第4位3 → 7733 验证： 3377：奇位和=7+3=10，偶位和=3+7=10，差=0，能被11整除 ✓ 3773：奇位和=3+7=10，偶位和=7+3=10，差=0，能被11整除 ✓ 7337：奇位和=7+3=10，偶位和=3+7=10，差=0，能被11整除 ✓ 7733：奇位和=3+7=10，偶位和=7+3=10，差=0，能被11整除 ✓ 答：能排出 3377、3773、7337、7733 这四个能被11整除的四位数。 【随堂小练3】 用 1、2、3、4 四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？ （答案见本讲末尾） 【方法总结】 排出能被11整除的数的步骤： 1. 确定位数，算出奇数位和偶数位各有几位 2. 算出所有数字的总和 3. 根据差能被11整除，判断差可能是多少（通常是0或11） 4. 算出奇位和、偶位和分别是多少 5. 找出符合条件的数字组合 6. 排列组合，写出所有可能 7. 验证每个数是否真的能被11整除 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 【拓展1 重复数字串除以11的余数】★★★拔高 【题目】 一个数由101个"19"和最后一个"1"组成，即，（共101个19和一个1），求这个数除以11的余数。 【解题思路】 这个数太长了，直接算肯定不行。我们可以用能被11整除的数的特征，分别算出奇数位和偶数位上各有多少个1和多少个9，再分别求和，最后求余数。 【完整解析】 算差求余数： 奇位和=102，偶位和=909 偶位和 > 奇位和 简便方法：偶位和 - 奇位和 = 909 - 102 = 807 807 ÷ 11 = 73 …… 4 因为是偶位和大，所以余数 = 11 - 4 = 7 验证（简化版）： 用3位数191验证：奇位和=1+1=2，偶位和=9，(9-2)÷11=0……7，11-7=4 ✓ 191÷11=17……4 用5位数19191验证：奇位和=1+1+1=3，偶位和=9+9=18，(18-3)÷11=1……4， 11-4=7 , 19191÷11=1744……7 ✓ 公式正确！ 所以203位数的余数是7。 答：这个数除以11的余数是7。 【方法总结】 重复数字串求余数的技巧： 1. 先分析数字结构，找出规律 2. 分别数出奇数位和偶数位上各有几个什么数字 3. 分别算出奇数位和、偶数位和 4. 用求余数的方法算出答案 5. 可以用短的相同结构的数验证一下公式对不对 【拓展2 求最大的能被11整除的数】★★★拔高 【题目】 用 1～9 九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。 【解题思路】 最大的没有重复数字的九位数是987654321，先看看它能不能被11整除。如果不能，我们尽量调整低位数字，让差变成11的倍数，同时保证数尽可能大。 【完整解析】 先看最大的九位数： 987654321 奇数位（从右数第1、3、5、7、9位）：1、3、5、7、9 奇数位和 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 偶数位（从右数第2、4、6、8位）：2、4、6、8 偶数位和 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 差 = 25 - 20 = 5 5不能被11整除，所以987654321不能被11整除。 分析需要调整多少： 要使差能被11整除，差可以是0、11、22…… 现在差是5，我们需要让差变成11（因为差变大更容易保持数大） 差需要增加：11 - 5 = 6 注意：把一个数字从偶数位移到奇数位，奇位和增加这个数，偶位和减少这个数，差增加2倍的这个数。 反过来，把一个数字从奇数位移到偶数位，差减少2倍的这个数。 我们要让差增加6，也就是2×3=6，说明需要把一个3从偶数位移到奇数位。 或者说，让奇位和增加3，偶位和减少3，这样差就增加6。 调整低位数字： 为了让数尽可能大，我们尽量调整低位的数字。 原理：把一个数字从偶数位移到奇数位，奇位和增加这个数，偶位和减少这个数，差增加2倍的这个数。 我们要让差增加6，也就是2×3=6，需要把一个3从偶数位移到奇数位。 具体调整（后四位4321）： 原来：奇位1、3（和=4），偶位2、4（和=6），差=-2 调整：把4（偶位）和1（奇位）交换 调整后：奇位4、3（和=7），偶位2、1（和=3），差=4 差增加了6，正好符合要求！✓ 组成最大的数： 前五位保持最大：98765 后四位调整后，从左到右排列：2、4、1、3 完整的数：987652413 验证： 从右往左数： 奇位（第1、3、5、7、9位）：3、4、5、7、9 奇位和 = 3 + 4 + 5 + 7 + 9 = 28 偶位（第2、4、6、8位）：1、2、6、8 偶位和 = 1 + 2 + 6 + 8 = 17 差 = 28 - 17 = 11 11能被11整除 ✓ 确认是最大的： 我们只调整了后四位，前五位都是最大的98765，所以这个数是最大的可能。 987652413 就是答案。 答：最大的九位数是 987652413。 【方法总结】 求最大/最小能被11整除的数的步骤： 1. 先写出最大/最小的数 2. 计算奇位和、偶位和，算出差 3. 看差离最近的11的倍数差多少 4. 尽量调整低位数字，使差变成11的倍数 5. 调整时注意：数字从奇位移到偶位，差变化2倍 6. 验证调整后的数是否真的能被11整除 【拓展3 能被99整除，求字母】★★★拔高 【题目】 六位数 A2875B 能被99整除，求A和B。 【解题思路】 99 = 9 × 11，而且9和11互质，所以这个数既要能被9整除，又要能被11整除。我们分别用能被9整除的特征和能被11整除的特征，列出方程，然后求解。 【完整解析】 分解99： 99 = 9 × 11，9和11互质 所以 A2875B 既能被9整除，又能被11整除。 能被9整除的特征： 各位数字之和能被9整除。 A + 2 + 8 + 7 + 5 + B = A + B + 22 A + B + 22 能被9整除。 因为A和B都是一位数（0-9，A不能是0），所以A+B的范围是1到18。 A+B+22的范围是23到40。 在23到40之间，能被9整除的数有：27、36 所以： A + B + 22 = 27 → A + B = 5 或 A + B + 22 = 36 → A + B = 14 能被11整除的特征： 六位数，从右往左数： 第1位（奇）：B 第2位（偶）：5 第3位（奇）：7 第4位（偶）：8 第5位（奇）：2 第6位（偶）：A 奇数位（第1、3、5位）：B、7、2 奇位和 = B + 7 + 2 = B + 9 偶数位（第2、4、6位）：5、8、A 偶位和 = 5 + 8 + A = A + 13 差（大减小）能被11整除。 差可能是0或11（因为数字不大，差不可能是22）。 分情况讨论： 情况一：差 = 0 奇位和 = 偶位和 B + 9 = A + 13 B - A = 4 情况二：差 = 11 偶位和 - 奇位和 = 11（因为偶位和大） (A + 13) - (B + 9) = 11 A - B + 4 = 11 A - B = 7 （奇位和 - 偶位和 = 11的情况：B+9 - (A+13) = 11 → B-A=15，不可能，因为B最大是9，A最小是1，差最大是8） 结合能被9整除的条件： 我们有： ① A + B = 5 或 A + B = 14 ② B - A = 4 或 A - B = 7 组合1：A + B = 5，B - A = 4 两式相加：2B = 9 → B = 4.5，不是整数，舍去。 组合2：A + B = 5，A - B = 7 两式相加：2A = 12 → A = 6，B = -1，B是负数，舍去。 组合3：A + B = 14，B - A = 4 两式相加：2B = 18 → B = 9，A = 5 A=5，B=9，都是一位数，合理！ 组合4：A + B = 14，A - B = 7 两式相加：2A = 21 → A = 10.5，不是整数，舍去。 验证： A=5，B=9，六位数是528759 能被9整除吗？5+2+8+7+5+9=36，36÷9=4 ✓ 能被11整除吗？奇位和=9+7+2=18，偶位和=5+8+5=18，差=0 ✓ 528759 ÷ 99 = 5341，正好整除 ✓ 答：A = 5，B = 9。 【随堂小练4】 六位数 5A634B 能被33整除，求A + B。 （提示：33 = 3 × 11） （答案见本讲末尾） 【方法总结】 能被合数整除，求字母的步骤： 1. 把合数分解成互质的几个数（如99=9×11，33=3×11，88=8×11） 2. 分别用每个数的整除特征，列出方程或条件 3. 分情况讨论，找出所有可能 4. 筛选出合理的答案（数字是0-9，首位不能是0） 5. 验证答案是否正确 四、易错题专区 这些是同学们最容易出错的题目，一定要仔细看哦！ 【易错题1 奇偶位搞反】★★提升 【题目】 判断 13579 能否被11整除。 常见错误： 有同学这样算： "从左边数，第1位1，第2位3，第3位5，第4位7，第5位9" "奇数位：1、5、9，和 = 1+5+9 = 15" "偶数位：3、7，和 = 3+7 = 10" "差 = 15 - 10 = 5，不能被11整除" "答案：不能被11整除" 错在哪里？ 奇偶位是从右边数的，不是从左边数的！ 个位是第1位（奇数位），十位是第2位（偶数位）…… 正确解法： 1. 从右往左数： 第1位（个位）：9 第2位（十位）：7 第3位（百位）：5 第4位（千位）：3 第5位（万位）：1 2. 奇数位（第1、3、5位）：9、5、1 奇位和 = 9 + 5 + 1 = 15 3. 偶数位（第2、4位）：7、3 偶位和 = 7 + 3 = 10 4. 差 = 15 - 10 = 5 5. 5不能被11整除，所以13579不能被11整除。 💡 为什么这道题从左数也算对了？ 因为5位数是奇数位，从左数和从右数，奇位和偶位的位置刚好对应，所以结果一样。 但这只是巧合！如果是求余数，或者位数是偶数，从左数就会出错。 🚨 真正会出错的例子：求 1234 除以11的余数。 错误算法（从左数，奇位和减偶位和）： 奇位（左数1、3位）：1、3，和=4 偶位（左数2、4位）：2、4，和=6 4-6=-2，不知道怎么算余数了…… 正确算法（从右数）： 奇位（右数1、3位）：4、2，和=6 偶位（右数2、4位）：3、1，和=4 6-4=2，余数是2 1234÷11=112……2 ✓ ✅ 记住：奇偶位一定是从右边数！个位是第1位（奇数位）！ 【避坑技巧】 ⚠️ 记住：从右边数！个位是第1位！ 虽然有些题从左数和从右数结果一样（判断整除时），但求余数时就可能出错了。 养成好习惯，一律从右往左数，保证不会错！ 【易错题2 差为0时判断错误】★基础 【题目】 判断 121 能否被11整除。 常见错误： 有同学这样算： 奇位和 = 1 + 1 = 2 偶位和 = 2 差 = 2 - 2 = 0 "差是0，0不能被11整除，所以121不能被11整除！" 错在哪里？ 0能被任何非零整数整除！ 0 ÷ 11 = 0，没有余数，所以0能被11整除。 正确解法： 1. 奇位和 = 1 + 1 = 2 2. 偶位和 = 2 3. 差 = 2 - 2 = 0 4. 0能被11整除（0÷11=0） 5. 所以121能被11整除。 6. 验证：121 ÷ 11 = 11 ✓ 避坑技巧 ⚠️ 记住：差为0时，也能被11整除！ 0是任何非零整数的倍数，所以0能被11整除。 差为0，说明奇位和等于偶位和，这个数就能被11整除。 【易错题3 余数算错】★★提升 【题目】 求 132 除以11的余数。 常见错误： 有同学这样算： 奇位和 = 2 + 1 = 3 偶位和 = 3 偶位和 - 奇位和 = 0 "0 ÷ 11 = 0……0" "余数是11 - 0 = 11！" 错在哪里？ 差为0时，余数就是0，不是11！ 余数必须小于除数，11等于除数，不对。 只有当奇位和小于偶位和，且差不为0时，才用11减。 正确解法： 1. 奇位和 = 2 + 1 = 3 2. 偶位和 = 3 3. 差 = 3 - 3 = 0 4. 0 ÷ 11 = 0……0 5. 所以余数是0。 6. 验证：132 ÷ 11 = 12，正好整除，余数0 ✓ 再看一道：求 143 除以11的余数。 奇位和 = 3 + 1 = 4，偶位和 = 4，差 = 0，余数 = 0 143 ÷ 11 = 13 ✓ 再看一道：求 152 除以11的余数。 奇位和 = 2 + 1 = 3，偶位和 = 5 偶位和大，5 - 3 = 2 2 ÷ 11 = 0……2 余数 = 11 - 2 = 9 152 ÷ 11 = 13……9 ✓ 【避坑技巧】 ⚠️ 记住： 1. 奇位和 = 偶位和（差为0）：余数就是0（能整除） 2. 奇位和 > 偶位和：(奇-偶)÷11的余数就是答案 3. 奇位和 < 偶位和：(偶-奇)÷11得余数r，答案=11-r （注意：如果r=0，说明能整除，余数也是0，不用减） 五、趣味挑战题 【挑战题 神奇的回文数】★★★★挑战 同学们，你们知道什么是回文数吗？ 回文数就是从左往右读和从右往左读都一样的数，比如： · 121（三位数） · 1331（四位数） · 12321（五位数） · 1234321（七位数） 是不是很有趣？ 🌟 神奇的规律： 所有的偶数位回文数，都能被11整除！ 不信我们来试试： · 1221（4位）：奇位和=1+2=3，偶位和=2+1=3，差=0，能被11整除 ✓ 1221÷11=111 · 1331（4位）：奇位和=1+3=4，偶位和=3+1=4，差=0，能被11整除 ✓ 1331÷11=121 · 123321（6位）：奇位和=1+3+2=6，偶位和=2+3+1=6，差=0，能被11整除 ✓ 为什么呢？ 因为偶数位回文数，第1位和最后1位相同，第2位和倒数第2位相同…… 而第1位和最后1位，一个是奇数位，一个是偶数位（因为位数是偶数） 所以奇位和等于偶位和，差为0，当然能被11整除啦！ 🌟 思考题： （1）三位数的回文数一定能被11整除吗？为什么？ （2）五位数的回文数一定能被11整除吗？为什么？ （3）你能写出三个能被11整除的五位回文数吗？ 六、一题多解精选 【经典题 判断 135792468 能否被11整除】★★提升 【题目】 判断 135792468 能否被11整除。 解法一：奇偶位差法（推荐） 思路：用能被11整除的数的特征，算奇位和与偶位和的差。 步骤： 1. 从右往左数，共9位： 第1位：8，第2位：6，第3位：4，第4位：2，第5位：9 第6位：7，第7位：5，第8位：3，第9位：1 2. 奇数位（第1、3、5、7、9位）：8、4、9、5、1 奇位和 = 8 + 4 + 9 + 5 + 1 = 27 3. 偶数位（第2、4、6、8位）：6、2、7、3 偶位和 = 6 + 2 + 7 + 3 = 18 4. 差 = 27 - 18 = 9 5. 9不能被11整除 6. 所以 135792468 不能被11整除。 解法二：割减法 思路：把一个数的个位数字去掉，再从余下的数中减去个位数，看差能不能被11整除。如果差太大或不好判断，就继续割减。 步骤： 135792468 → 去掉个位8，余下13579246 13579246 - 8 = 13579238 13579238 → 去掉个位8，余下1357923 1357923 - 8 = 1357915 1357915 → 去掉个位5，余下135791 135791 - 5 = 135786 ……继续下去，最后会得到9 9不能被11整除 所以 135792468 不能被11整除。 解法三：直接除法验证 思路：直接用除法算，看有没有余数。 步骤： 1. 135792468 ÷ 11 = 12344769 …… 9 2. 有余数9，不能整除 3. 所以 135792468 不能被11整除。 方法对比 解法 优点 缺点 适合场景 奇偶位差法 最快，计算量小 需要记住特征 所有题目（推荐首选） 割减法 原理简单，容易理解 步骤多，麻烦 忘记特征时 直接除法 最直接，不会错 慢，计算量大 验证答案、数不大时 ✨ 小建议：奇偶位差法最快最准，建议大家优先掌握。其他方法可以用来验证答案，确保做对！ 七、基本练习 （共4题，建议用时：15分钟） 第1题 ★基础 为使五位数 6□295 能被11整除，□内应当填几？ 第2题 ★★提升 用 1、2、3、4 四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？ 第3题 ★基础 判断下列各数能否被11整除： （1）13579 （2）123456784 （3）121212 第4题 ★★提升 求下列各数除以11的余数： （1）2485 （2）63582 八、拓展练习 （共3题，建议用时：20分钟） 第1题 ★★★拔高 求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。 第2题 ★★★拔高 求 987654321 除以11的余数。 第3题 ★★★拔高 六位数 A8629B 是88的倍数，求A和B。 （提示：88 = 8 × 11，能被8整除的数的特征：末三位能被8整除） 九、随堂小练答案 随堂小练1 答案 （1）121 能被11整除。 解析：奇位和=1+1=2，偶位和=2，差=0，能被11整除。121÷11=11 ✓ （2）13579 不能被11整除。 解析：奇位和=9+5+1=15，偶位和=7+3=10，差=5，不能被11整除。 随堂小练2 答案 （1）2485 除以11的余数是10。 解析：奇位和=5+4=9，偶位和=8+2=10，偶位和大，10-9=1，11-1=10。 验证：2485÷11=225……10 ✓ （2）63582 除以11的余数是2。 解析：奇位和=2+5+6=13，偶位和=8+3=11，差=2，余数是2。 验证：63582÷11=5780……2 ✓ 随堂小练3 答案 能排出 1243、1342、2134、2431、3124、3421、4213、4312 这8个能被11整除的四位数。 解析：四个数字和=1+2+3+4=10，要能被11整除，差只能是0，所以奇位和=偶位和=5。 和为5的两个数字：1+4=5，2+3=5 所以奇数位放1和4，偶数位放2和3，或者奇数位放2和3，偶数位放1和4。 每种情况有2×2=4种排列，共8种。 随堂小练4 答案 A + B = 12。 解析：33 = 3 × 11，所以六位数 5A634B 必须同时满足： 能被 3 整除； 能被 11 整除。 能被3整除：5+A+6+3+4+B = A+B+18，能被3整除， 所以A+B+18是3倍数，即 𝐴+𝐵是 3 的倍数。 能被11整除： 奇数位数字：第1位 B、第3位 3、第5位 A 奇位和=B+3+A = A+B+3， 偶数位数字：第2位 4、第4位 6、第6位 5 偶位和=4+6+5=15 差能被11整除，要求奇数位和与偶数位和的差（大减小）能被 11 整除。 差=0： A+B+3=15 A+B =12 差=11： 1 A+B+3-15=11 → A+B= 23（不可能，A、B最大为9+9=18） 2 15 - (A+B+3)=11 → 12 – (A+B) = 11→ A+B=1 结合能被3整除： A+B必须是 3 的倍数。 A+B=12 是3的倍数 ✓ A+B=1不是3的倍数 ✗ 所以唯一解为：A+B=12 验证 取一组满足条件的数字，例如 A = 3，B = 9（3+9=12）： 六位数为 536349。 ①各位和：5+3+6+3+4+9 = 30，能被 3 整除 ✓ ②奇数位和（从右数）：9+3+3 = 15 偶数位和：4+6+5 = 15 差 = 0，能被 11 整除 ✓ 所以 536349 能被 33 整除，且 A+B=12。 答案：A+B=12 十、基本练习完整分步答案 第1题 答案：□内填4 【解析】 五位数 6□295，从右往左数： 第1位（奇）：5 第2位（偶）：9 第3位（奇）：2 第4位（偶）：□ 第5位（奇）：6 奇数位（第1、3、5位）：5、2、6 奇位和 = 5 + 2 + 6 = 13 偶数位（第2、4位）：9、□ 偶位和 = 9 + □ 能被11整除，说明差（大减小）能被11整除。 差可能是0或11（因为数字不大）。 情况一：差 = 0 奇位和 = 偶位和 13 = 9 + □ □ = 4 情况二：差 = 11 偶位和 - 奇位和 = 11 (9 + □) - 13 = 11 □ - 4 = 11 □ = 15，不可能（□是一位数） 或 奇位和 - 偶位和 = 11 13 - (9 + □) = 11 4 - □ = 11 □ = -7，不可能 所以只有 □ = 4 符合条件。 验证：64295，奇位和=5+2+6=13，偶位和=9+4=13，差=0，能被11整除 ✓ 64295 ÷ 11 = 5845，正好整除 ✓ 答：□内应当填4。 第2题 答案：1243、1342、2134、2431、3124、3421、4213、4312 【解析】 1. 四位数，共4位： 奇数位：第1位、第3位，共2位 偶数位：第2位、第4位，共2位 2. 四个数字：1、2、3、4，和 = 1+2+3+4 = 10 3. 能被11整除，差能被11整除。 四个数字最大的两个和=3+4=7，最小的两个和=1+2=3，差最大=7-3=4 所以差只能是0（因为11>4，不可能） 即：奇位和 = 偶位和 = 10÷2 = 5 4. 找出和为5的两个数字的组合： 1 + 4 = 5 ✓ 2 + 3 = 5 ✓ 5. 分两种情况： 情况一：奇数位放1和4，偶数位放2和3 奇数位排列：1、4 或 4、1（2种） 偶数位排列：2、3 或 3、2（2种） 共：2 × 2 = 4（种） 分别是：1243、1342、4213、4312 情况二：奇数位放2和3，偶数位放1和4 奇数位排列：2、3 或 3、2（2种） 偶数位排列：1、4 或 4、1（2种） 共：2 × 2 = 4（种） 分别是：2134、2431、3124、3421 6. 一共：4 + 4 = 8（个） 7. 验证（选几个）： 1243：奇位和=3+2=5，偶位和=4+1=5，差=0 ✓ 2134：奇位和=4+1=5，偶位和=3+2=5，差=0 ✓ 3421：奇位和=1+4=5，偶位和=2+3=5，差=0 ✓ 4312：奇位和=2+3=5，偶位和=1+4=5，差=0 ✓ 答：能排出 1243、1342、2134、2431、3124、3421、4213、4312 这8个能被11整除的四位数。 第3题 答案 （1）13579 不能被11整除。 （2）123456784 能被11整除。 （3）121212 不能被11整除。 【解析】 （1）13579 1. 从右往左数，共5位： 奇位（第1、3、5位）：9、5、1 偶位（第2、4位）：7、3 2. 奇位和 = 9 + 5 + 1 = 15 3. 偶位和 = 7 + 3 = 10 4. 差 = 15 - 10 = 5 5. 5不能被11整除 6. 所以 13579 不能被11整除。 （2）123456784 1. 从右往左数，共9位： 奇位（第1、3、5、7、9位）：4、7、5、3、1 偶位（第2、4、6、8位）：8、6、4、2 2. 奇位和 = 4 + 7 + 5 + 3 + 1 = 20 3. 偶位和 = 8 + 6 + 4 + 2 = 20 4. 差 = 20 - 20 = 0 5. 0能被11整除 6. 所以 123456784 能被11整除。 （3）121212 121212，从右往左数： 第1位：2（奇） 第2位：1（偶） 第3位：2（奇） 第4位：1（偶） 第5位：2（奇） 第6位：1（偶） 奇位和 = 2 + 2 + 2 = 6 偶位和 = 1 + 1 + 1 = 3 差 = 6 - 3 = 3 3不能被11整除，所以121212不能被11整除。 验证：121212 ÷ 11 = 11019……3 ✓ 答案：121212不能被11整除。 第4题 答案 （1）2485 除以11的余数是10。 （2）63582 除以11的余数是2。 【解析】 （1）2485 ÷ 11 的余数 1. 从右往左数，共4位： 奇位（第1、3位）：5、4 偶位（第2、4位）：8、2 2. 奇位和 = 5 + 4 = 9 3. 偶位和 = 8 + 2 = 10 4. 奇位和 < 偶位和 5. 偶位和 - 奇位和 = 10 - 9 = 1 6. 1 ÷ 11 = 0 …… 1 7. 余数 = 11 - 1 = 10 8. 验证：2485 ÷ 11 = 225 …… 10 ✓ （2）63582 ÷ 11 的余数 1. 从右往左数，共5位： 奇位（第1、3、5位）：2、5、6 偶位（第2、4位）：8、3 2. 奇位和 = 2 + 5 + 6 = 13 3. 偶位和 = 8 + 3 = 11 4. 奇位和 > 偶位和 5. 差 = 13 - 11 = 2 6. 2 ÷ 11 = 0 …… 2 7. 余数是2。 8. 验证：63582 ÷ 11 = 5780 …… 2 ✓ 十一、拓展练习完整分步答案 第1题 答案：98736 【解析】 第一步：先看最大的五位数 最大的没有重复数字的五位数是 98765。 判断能否被11整除： 从右往左数： 奇位（第1、3、5位）：5、7、9 偶位（第2、4位）：6、8 奇位和 = 5 + 7 + 9 = 21 偶位和 = 6 + 8 = 14 差 = 21 - 14 = 7 7不能被11整除，所以98765不能被11整除。 第二步：分析需要调整多少： 要使差能被11整除，差可以是0或11。 现在差是7，离11差4，离0差7。 要让数尽可能大，所以尽量让差变大到11（这样高位不用变太多）。 差需要增加：11 - 7 = 4 原理：交换一个偶位的数a和一个奇位的数b，差的变化 = 2×(a-b)。 要让差增加4，需要2×(a-b)=4，即a-b=2，也就是偶位的数比奇位的数大2。 第三步：调整低位数字： 为了让数尽可能大，我们尽量调整低位的数字。 前两位保持最大：9（万位，奇位）、8（千位，偶位） 剩下三位（百位、十位、个位）要用数字：7、6、5、4、3、2、1（不重复） 设： 第3位（百位，奇位）= x 第2位（十位，偶位）= y 第1位（个位，奇位）= z 总奇位和 = 9 + x + z 总偶位和 = 8 + y 差 = (9 + x + z) - (8 + y) = 1 + x + z - y 差要等于11（因为要最大）： 1 + x + z - y = 11 x + z - y = 10 第四步：找最大的组合 要让数最大，百位（x）要尽可能大。 x最大取7： 7 + z - y = 10 z - y = 3 z = y + 3 剩下的数字（去掉7）：6、5、4、3、2、1 y尽可能大（因为十位比个位重要）： y=6，z=9（9已用）✗ y=5，z=8（8已用）✗ y=4，z=7（7已用）✗ y=3，z=6（6可用）✓ 所以：x=7，y=3，z=6 这个数是：9 8 7 3 6 → 98736 第五步：验证 98736，从右往左数： - 奇位（第1、3、5位）：6、7、9 奇位和 = 6 + 7 + 9 = 22 偶位（第2、4位）：3、8 偶位和 = 3 + 8 = 11 差 = 22 - 11 = 11 11能被11整除 ✓ 验证：98736 ÷ 11 = 8976，正好整除 ✓ 答：最大的五位数是 98736。 第2题 答案：余数是5 【解析】 987654321，从右往左数，共9位： 奇位（第1、3、5、7、9位）：1、3、5、7、9 偶位（第2、4、6、8位）：2、4、6、8 奇位和 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 偶位和 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 奇位和 > 偶位和 差 = 25 - 20 = 5 5 ÷ 11 = 0 …… 5 所以余数是5。 验证：987654321 ÷ 11 = 89786756 …… 5 ✓ 答：余数是5。 第3题 答案：A = 1，B = 6 【解析】 第一步 能被8整除的条件 88 = 8 × 11，8和11互质 所以 A8629B 既能被8整除，又能被11整除。 第二步 能被8整除的特征： 末三位能被8整除。 末三位是 29B 29B 能被8整除。 290 ÷ 8 = 36 …… 2 所以 2 + B 能被8整除（或者说29B = 290 + B，290÷8余2，所以2+B能被8整除） B是一位数，2+B可能是8或16 2+B=8 → B=6 2+B=16 → B=14，不可能 所以 B = 6 第三步 能被11整除的特征： 六位数A86296，从右往左数： 第1位（奇）：6 第2位（偶）：9 第3位（奇）：2 第4位（偶）：6 第5位（奇）：8 第6位（偶）：A 奇数位（第1、3、5位）：6、2、8 奇位和 = 6 + 2 + 8 = 16 偶数位（第2、4、6位）：9、6、A 偶位和 = 9 + 6 + A = 15 + A 差（大减小）能被11整除，差可能是0或11。 情况一：差 = 0 奇位和 = 偶位和 16 = 15 + A A = 1 情况二：差 = 11 偶位和 - 奇位和 = 11 (15 + A) - 16 = 11 A - 1 = 11 A = 12（不可能，A是一位数） 或 奇位和 - 偶位和 = 11 16 - (15 + A) = 11 1 - A = 11 A = -10（不可能） 所以只有 A = 1 符合条件。 第四步 验证： 所以 A = 1，B = 6 六位数是186296 能被8整除吗？末三位296，296÷8=37 ✓ 能被11整除吗？奇位和=6+2+8=16，偶位和=9+6+1=16，差=0 ✓ 186296 ÷ 88 = 2117，正好整除 ✓ 答：A = 1，B = 6。 十二、趣味思考题参考答案 （1）三位数的回文数一定能被11整除吗？为什么？ 答：不一定。 比如121是三位回文数，能被11整除（121÷11=11）。 但131也是三位回文数，131÷11=11……10，不能被11整除。 为什么？因为三位数是奇数位回文数，第1位和第3位相同，都是奇数位， 所以奇位和 = 第1位 + 第3位 = 2×第1位， 偶位和 = 第2位， 差不一定能被11整除。 （2）五位数的回文数一定能被11整除吗？为什么？ 答：不一定。 比如12321是五位回文数，12321÷11=1120……1，不能被11整除。 为什么？因为五位数也是奇数位回文数，第1位和第5位相同（都是奇位）， 第2位和第4位相同（都是偶位），第3位是中间（奇位）， 所以奇位和 = 2×第1位 + 第3位， 偶位和 = 2×第2位， 差不一定能被11整除。 （3）你能写出三个能被11整除的五位回文数吗？ 答：符合条件五位回文数：13431、25652、37873 验证： 13431：奇位和=1+4+1=6，偶位和=3+3=6，差=0，能被11整除！✓ 25652：奇位和=2+6+2=10，偶位和=5+5=10，差=0，能被11整除！✓ 37873：奇位和=3+8+3=14，偶位和=7+7=14，差=0，能被11整除！✓ 所以符合条件的五位回文数是：13431、25652、37873。 十三、本讲总结（思维导图速记） 🗺️ 知识地图 📋 核心公式速查表 类型 方法 公式/要点 判断能否被11整除 奇偶位差法 奇位和 - 偶位和（大减小） 差能被11整除，数就能被11整除 求除以11的余数 奇位和 ≥ 偶位和 (奇位和 - 偶位和) ÷ 11 的余数 奇位和 < 偶位和 (偶位和 - 奇位和) ÷ 11 余 r 答案 = 11 - r 差为0时 特殊情况 差为0也能被11整除（0÷11=0） 余数就是0 能被99整除 分解法 99 = 9 × 11 既要能被9整除，又要能被11整除 能被88整除 分解法 88 = 8 × 11 末三位能被8整除，且能被11整除 能被33整除 分解法 33 = 3 × 11 各位和能被3整除，且能被11整除 ⚠️ 避坑清单 【最容易错的5个地方】 1. 奇偶位搞反：从右边数！个位是第1位（奇数位），不是从左边数。 2. 只算一边：奇数位和偶数位都要算，不能只算一边。 3. 差为0时判断错：差为0也能被11整除！0能被任何非零整数整除。 4. 余数算错：奇位和小于偶位和时，不能直接减，要用11减余数。 5. 位数数错：数字位数多时，一定要从右往左数清楚，可以标上记号。 🎯 解题小口诀 十一整除真奇妙，奇位偶位分别加； 大数减小求差值，差值整除十一就整除； 记住从右往左数，个位就是第一位； 差为零也能整除，千万不要忘记啦； 求余数时要注意，奇小偶大换方法； 找→算→判→验四步走，保你做题不出错！ —— 本讲结束，继续加油哦！💪 —— 学科网（北京）股份有限公司 $