23.3 锐角三角函数 教案 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

该教案聚焦锐角三角函数的概念、特殊角的值及计算器应用，通过水站高度测量等实际情境导入，结合复习旧知搭建问题链，衔接从实际到理论再到工具应用的学习支架。 以情境创设和问题驱动培养核心素养，如用新建水站问题引导学生用数学眼光观察现实，通过特殊角推导发展数学思维，结合公路改直实例提升数学语言表达能力。分层例题助力学生掌握，为教师提供清晰流程，培养学生抽象能力与应用意识。

23.3 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数 【教学目标】 1.理解正弦、余弦、正切的概念；(重点) 2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.(重点) 【教学过程】 一、情境导入 牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB).斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得. 二、合作探究 探究点一：锐角三角函数 【类型一】 正弦函数 如图，sinA等于(　　) A.2 B. C. D. 解析：根据正弦函数的定义可得sinA＝，故选C. 方法总结：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA.即sinA＝＝. 【类型二】 余弦函数 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝(　　) A. B. C. D. 解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝＝.故选C. 方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值. 【类型三】 正切函数 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝(　　) A. B. C. D. 解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝＝.故选D. 方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值. 探究点二：求三角函数值 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，求sinB的值. 解析：先由AD＝BC＝5，cos∠ADC＝及勾股定理求出AC及AB的长，再由锐角三角函数的定义解答. 解：∵AD＝BC＝5，cos∠ADC＝，∴CD＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝5，CD＝3，∴AC＝＝＝4.在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝5，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝ . 方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结合勾股定理是解答此类问题的关键. 如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC. (1)求证：AC＝BD； (2)若sinC＝，BC＝36，求AD的长. 解析：(1)根据高的定义得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再分别利用正切和余弦的定义得到tanB＝，cos∠DAC＝，再利用tanB＝cos∠DAC得到＝，所以AC＝BD；(2)在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sinC＝＝，可设AD＝12k，AC＝13k，再根据勾股定理计算出CD＝5k，由于BD＝AC＝13k，于是利用BC＝BD＋CD得到13k＋5k＝36，解得k＝2，所以AD＝24. (1)证明：∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，tanB＝，在Rt△ACD中，cos∠DAC＝.∵tanB＝cos∠DAC，∴＝，∴AC＝BD； (2)解：在Rt△ACD中，sinC＝＝.设AD＝12k，AC＝13k，∴CD＝＝5k.∵BD＝AC＝13k，∴BC＝BD＋CD＝13k＋5k＝36，解得k＝2，∴AD＝12×2＝24. 【板书设计】 锐角三角函数 1.正弦的定义 2.余弦的定义 3.正切的定义 4.求三角函数值 第2课时 特殊角的三角函数值 【教学目标】 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点) 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3.能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 二、合作探究 探究点一：特殊角的三角函数值 【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算 计算： (1)2cos60°·sin30°－sin45°·sin60°； (2). 解析：将特殊角的三角函数值代入求解. 解：(1)原式＝2××－××＝－＝－1； (2)原式＝＝2－3. 方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值. 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围 若cosα＝，则锐角α的大致范围是(　　) A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性. 【类型三】 根据三角函数值求角度 若tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是(　　) A.20° B.30° C.40° D.50° 解析：∵tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝.∵tan30°＝，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A. 方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键. 探究点二：特殊角的三角函数值的应用 【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长. 解析：由题意可知△BCD为等腰直角三角形，则BD＝BC，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长即可. 解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝，即＝，解得BC＝2(＋1). 方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案. 【类型二】 判断三角形的形状 已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状. 解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论. 解：∵(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形. 方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0. 【类型三】 构造三角函数模型解决问题 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算.作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值. 解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝，tan75°＝求出即可. 解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－)2＝(1－x)2，解得x＝2－3，∴tan15°＝＝2－，tan75°＝＝＝2＋. 方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值. 【板书设计】 1.特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 2.应用特殊角的三角函数值解决问题. 第3课时 用计算器求锐角三角函数值 【教学目标】 1.初步掌握用计算器求三角函数值的方法；(重点) 2.熟练运用计算器求三角函数值解决实际问题.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 教师讲解：通过上面几节课的学习我们知道，当锐角∠A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角∠A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值. 二、合作探究 探究点一：用计算器求锐角三角函数值及锐角 【类型一】 已知角度，用计算器求函数值 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°； (2)sin12°30′； (3)cos25°18′； (4)sin18°＋cos55°－tan59°. 解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数. 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序. 【类型二】 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 解析：由三角函数值求角的度数时，用到，，键的第二功能键，要注意按键的顺序. 解：(1)sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；sinB＝0.01得∠B≈0.6°； (2)cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°. 方法总结：解决此类问题的关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序. 【类型三】 利用计算器验证结论 (1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： ①sin30°________2sin15°cos15°； ②sin36°________2sin18°cos18°； ③sin45°________2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°________2sin30°cos30°； ⑤sin80°________2sin40°cos40°. 猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα. (2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证结论. 解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边，比较大小；(2)通过计算△ABC 的面积来验证. 解：(1)通过计算可知： ①sin30°＝2sin15°cos15°； ②sin36°＝2sin18°cos18°； ③sin45°＝2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°＝2sin30°cos30°； ⑤sin80°＝2sin40°cos40°； sin2α＝2sinαcosα. (2)∵S△ABC＝AB·sin2α·AC＝sin2α，S△ABC＝×2ABsinα·ACcosα＝sinα·cosα，∴sin2α＝2sinαcosα. 　　方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到. 【类型四】 用计算器比较三角函数值的大小 用计算器比较大小：20sin87°________tan87°. 解析：20sin87°≈20×0.9986＝19.974，tan87°≈19.081，∵19.974>19.081，∴20sin87°>tan87°. 方法总结：利用计算器求值时，要注意计算器的按键顺序. 探究点二：用计算器求三角函数值解决实际问题 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝20km，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路. (1)求改直的公路AB的长； (2)公路改直后比原来缩短了多少千米？ 解析：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中根据CH＝AC·sin∠CAB求出CH的长，由AH＝AC·cos∠CAB求出AH的长，同理可求出BH的长，根据AB＝AH＋BH可求得AB的长；(2)在Rt△BCH中，由BC＝可求出BC的长，由AC＋BC－AB即可得出结论. 解：(1)作CH⊥AB于H.在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈20×0.42＝8.4km，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈20×0.91＝18.2km.在Rt△BCH中，BH＝≈＝11.1km，∴AB＝AH＋BH＝18.2＋11.1＝29.3km.故改直的公路AB的长为29.3km； (2)在Rt△BCH中，BC＝＝≈＝14km，则AC＋BC－AB＝20＋14－29.3＝4.7km. 答：公路改直后比原来缩短了4.7km. 方法总结：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此类问题的关键. 【板书设计】 1.已知角度，用计算器求函数值； 2.已知三角函数值，用计算器求锐角的度数； 3.用计算器求三角函数值解决实际问题. 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $