第4章 一元一次方程专题与探究 基础练习 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程单元复习，通过基础概念辨析、实际问题解决、数学探究三级分层，构建从概念理解到创新应用的巩固路径，培养抽象能力、模型意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|方程概念及解、同类项等关联概念|以选择填空为主，如根据方程解的概念构造方程，强化符号意识| |综合应用|等量关系、新定义及方案决策|解答题为主，如进货/运输方案决策，培养推理能力与模型观念| |探究拓展|月历规律与幻方奥秘|情境探究题，如T字形框数字规律，发展创新意识与数学眼光|

第4章 一元一次方程专题与探究 构造一元一次方程解题 一、根据一元一次方程及其解的概念构造方程 1.小明对方程去分母时，方程右边的－1没有乘3，因而求得的解为，则原方程的解为（ ） A. 2.已知是关于的一元一次方程，则的值为________. 3.若方程是关于的一元一次方程，则的值为________，该方程的解为________. 4.某同学解关于的方程，去分母时，不小心把方程的左边前面的“－”当成“＋”进行求解，得到的结果为，则的值为________，原方程正确的解为________. 5.已知，为定值，若无论为何值，关于的一元一次方程的解总是，求的值. 二、根据同类项、相反数、倒数的概念构造方程 6.如果单项式与是同类项，那么关于的方程的解为（ ） A. 7.若数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则的值为（ ） A. －2 B. 2 C. 1 D. －1 8.当的值为________时，代数式的值与互为相反数. 9.若关于的方程的解与方程的解互为倒数，求的值. 三、根据新定义构造方程 10.定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆.例如：2☆(－3)=2×(－3)=2×2×(－3)+(－3)=27. (1) 求(－4)☆7的值； (2) 若☆，求的值. 11.如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程和为“美好方程”. (1) 若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2) 若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值； (3) 若关于的一元一次方程和是“美好方程”，利用整体思想，求关于的一元一次方程的解. 四、根据等量关系构造方程 12.已知是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45，46，47，48，求这五个正整数的和. 利用一元一次方程进行方案决策 一、进货方案决策 1.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂有三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元. (1) 若商场同时购进两种不同型号的电视机50台，正好用去9万元，则该商场有几种进货方案？ (2) 若该商场销售一台甲种、乙种、丙种电视机，分别可获利150元、200元、250元，为使获利最多，则应选择(1) 中哪种进货方案？ 二、加工方案决策 2.某地生产一种蔬菜，若在市场上直接销售，则每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工能力如下：如果对蔬菜进行粗加工，那么每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，那么每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研究了三种加工方案： 方案一，将蔬菜全部进行粗加工； 方案二，尽可能多地进行精加工，来不及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三，将部分蔬菜进行粗加工，其余蔬菜进行精加工，并恰好在15天之内完成. 你认为哪种方案获利最多?为什么? 三、购买方案决策 3.某中学组织了全校七年级学生以“传承红色基因，争做时代新人”为主题的诗歌朗诵比赛，并准备购买若干支创意钢笔进行奖励.甲、乙两家商店的标价都是每支50元，两家商店推出不同的优惠方式如下表： (1) 该中学购买多少支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同？ (2) 若该中学需购买40支创意钢笔，请你通过计算说明选择哪家商店更省钱. (3) 请你为该中学设计一个方案，使其合理选择商店购买创意钢笔. 四、运输方案决策 4.【项目背景】砂糖橘是广西桂林特产，皮薄、汁多、化渣、味清甜、吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品.为保证砂糖橘新鲜，需用带冷柜的货车运输.在砂糖橘收获的季节，盐城市某校七年级同学前往当地最大的水果批发市场开展综合实践活动，对一批砂糖橘的运输费用进行调查统计，为商户的运输选择提供一些参考. 【材料收集与整理】 材料一：现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为60千米/时，B型车的平均速度为75千米/时，从桂林到盐城B型车比A型车少用4小时. 材料二：已知型车每辆可运8吨，型车每辆可运7吨，若单独租用型车，则恰好装完；若单独租用相同数量的B型车，则还剩4吨砂糖橘没有装上车. 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车将砂糖橘从桂林运到盐城，运输的相关数据如下表： (参考公式：冷柜车使用费=冷柜车租用价格×使用时间×车辆数目；总费用=路费+冷柜车使用费) 【数据分析与运用】 (1) 求A型车从桂林到盐城的时间. (2) 这批砂糖橘共有多少吨？ (3) 若沙糖橘从桂林到盐城的运输单独租用A型车或B型车，则应该选用哪种车使得总费用较少?较少的总费用是多少元? 探究：月历中的方程问题 1.“幻方”起源于我国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成表中填空. 主题：探究月历与“幻方”的奥秘 活动一： 如图①是某月的月历，用方框选取了其中的9个数(涂色部分). (1) 移动方框，若方框中的部分数如图②所示，则是________，是________； (2) 移动方框，若方框中的部分数如图③所示，则是________，是________(用含的代数式表示). 活动二： 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等. (3) 若方框选取的数如图④所示，调整后，部分数的位置如图⑤所示，则是________，是________； (4) 若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图⑥所示，则是________(用含的代数式表示). 2.在学习课本132页的数学探究“月历中的方程问题”后，小明和小红对2026年1月的月历进行探究.小明用如图①所示的“T”字形框在月历中任意框出5个数.如图②，设“T”字形框中的5个数分别为. (1) 若，则________；若，则________(用含的代数式表示). (2) 在移动“T”字形框的过程中，小明说：“被框出的5个数之和可能为46.”小红说：“被框出的5个数之和可能为71.”他们的说法正确吗？请说明理由. (3) 小丽设计了如图③所示的“倒T”字形框，框出的5个数分别为，，，，.当时，是否存在的值，使得“倒T”字形框中的5个数与“T”字形框中的5个数有且仅有两个数对应相等?若存在，直接写出符合条件的的值；若不存在，请说明理由. 答案 构造一元一次方程解题 1.A 2.－3 3. 4. 5.去分母，得.移项、合并同类项，得1).把代入，得.因为无论为何值，关于的一元一次方程的解总是，所以，解得.所以.所以的值为的值为11 6.C 7.D 8. 1 9.解方程，得.解方程，得.根据题意，得，解得.所以 10.(1) (2) 根据题意，得.整理，得，解得 11.(1) 因为，所以.因为，所以.因为关于的方程与方程是“美好方程”，所以，解得 (2) 因为“美好方程”的两个解的和为1，其中一个方程的解为，所以另一个方程的解为.因为两个解的差为8，所以或，解得或 (3) 因为，所以.因为关于的一元一次方程和是“美好方程”，所以关于的一元一次方程的解为.所以关于的一元一次方程中，2027，解得 12.解法一：设，则去掉后和为，去掉后和为，去掉后和为，去掉后和为，去掉后和为.因为这五个正整数的和只有四个不同的值，所以不妨设这四个不同的值可以表示为(假设与前面某一个数相等)，分别为45，46，47，48.所以，即.因为，所以.所以，即.当时，，所以，解得，不是整数，不符合题意.当时，，所以，解得，符合题意.当时，，所以，解得，不是整数，不符合题意.当时，，所以，解得，不是整数，不符合题意.综上所述，这五个正整数的和为58 解法二：设.令，所以.所以.因为是45，46，47，48中的一个，并且是整数，所以.所以，即这五个正整数的和为58 利用一元一次方程进行方案决策 1.(1) 分三种情况讨论： ①设购进甲种电视机台，购进乙种电视机台.根据题意，得90000解这个方程，得，此时.所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台. ②设购进甲种电视机台，购进丙种电视机台.根据题意，得.解这个方程，得，此时.所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台. ③设购进乙种电视机台，购进丙种电视机台.根据题意，得.解这个方程，得(不合题意，舍去).综上所述，该商场有2种进货方案，方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台；方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台(2) 方案一的利润为8750(元)，方案二的利润为(元).因为9000>8750，所以方案二获利多，即为使获利最多，应选择购进甲种电视机35台，丙种电视机15台 2.方案三获利最多 方案一：因为(吨)，240>140，所以可以在15天内加工完，总利润为(元). 方案二：因为每天精加工6吨，(吨)，50(吨)，所以15天可以精加工90吨，其余50吨直接销售，总利润为(元). 方案三：设15天中粗加工天，则精加工天.根据题意，得.解这个方程，得.此时粗加T.5天，共加工蔬菜(吨)，精加工10天.共加工蔬菜(吨)，总利润为(元).因为725000<810000，所以方案三获利最多 3.(1) 设该中学购买支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同.根据题意，可知.在甲商店购买支创意钢笔所需费用为元.在乙商店购买支创意钢笔所需费用为(元).根据题意，得，解得.答：该中学购买30支创意钢笔时，甲、乙两家商店所需的费用相同 (2) 在甲商店购买40支创意钢笔需付款(元)，在乙商店购买40支创意钢笔需付款(元).因为1550<1600>所以选择甲商店更省钱 (3) 由(1)(2)对比，发现当该中学购买少于30支创意钢笔时，选择乙商店更划算；当该中学正好购买30支创意钢笔时，甲、乙两家商店一样划算；当该中学购买多于30支创意钢笔时，选择甲商店更划算 4.(1) 设A型车从桂林到盐城的时间为小时，则B型车从桂林到盐城的时间为小时.根据题意，得，解得.答：A型车从桂林到盐城的时间为20小时 (2) 设这批砂糖橘共有吨.根据题意，得，解得.答：这批砂糖橘共有32吨 (3) 由(1)，得桂林到盐城的路程为(千米)，选用型车需(辆)，选用型车需(辆).所以选用A型车所需总费用为(元)，选用B型车所需总费用为(元).因为9640，所以应该选用A型车使得总费用较少，较少的总费用是8000元 探究：月历中的方程问题 1.(1) 5 11 (2) (3) 11 3 (4) 2.(1) 6 ＋7 (2) 小明的说法正确，小红的说法不正确 理由：由题意，可得，解得5.令，解得.根据题图，易得时，不能框出5个数.综上所述，小明的说法正确，小红的说法不正确 (3) 存在 符合条件的的值为16或26或30 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $