第4章《一元一次方程》暑假单元自测卷 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 《一元一次方程》暑假单元自测卷，以古代数学文化、社会热点为情境，梯度覆盖基础运算到综合应用，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|等式性质、方程定义、古代问题建模|结合“隔墙分鹿”“幻方”考方程应用，体现文化传承| |填空题|8/16|代数式求值、新运算、行程问题|以“格子乘法”“运动线段”考抽象思维，培养创新意识| |解答题|11/68|解方程、阶梯水费、购票优惠、创新定义|设计“友好方程”“平衡方程”新定义题，结合常泰大桥等现实情境，强化模型意识与应用能力|

第4章《一元一次方程》暑假单元自测卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。） 1．下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．下列各方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“隔墙听得客分鹿，不知人数不知鹿．每人六只多六只，每人七只少七只．请问诸君能算者，几人分鹿几头鹿？．”其大意是：“隔墙听见客人分鹿，不知道人数和鹿数；每人分6只，多6只；每人分7只，少7只．求人数和鹿数．”若设有客人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知是关于的方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（    ） A．21 B．54 C．65 D．75 6．我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（     ） A．1 B．- C．3 D． 7．2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 南通队 12 10 2 0 32 泰州队 12 4 18 泰州队一共胜了（   ）场． A．5 B．6 C．7 D．8 8．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（        ） A．12 B． C．20 D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．若，则代数式的值为_________． 10．若关于的方程的解是，则的值为______． 11．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 12．如果关于x的方程和方程的解相同，那么的值为______． 13．用*定义一种新运算：对于任意有理数m和n，．如：．若，则x的值为_________． 14．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________ ． 15．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图①，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图②，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为_________． 16．已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______． 三、解答题（共68分） 17．解下列方程． (1)； (2) 18．若关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)解这个一元一次方程． 19．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：去分母，得：             第一步 去括号，得：                     第二步 移项，得：                       第三步 合并同类项，得：                          第四步 系数化为1，得：                             第五步 任务一：请从下列选项中选择第一步的依据（   ） A．等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式． B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 任务二：①以上求解步骤中，第___________步开始出错； ②直接写出该方程正确的解___________． 任务三：结合上述解方程的经验，写出一条能帮助减少解题错误的注意事项． 20．常泰长江大桥是长江上首座集高速公路、普通公路、铁路于一体的过江通道．上层为双向六车道高速公路，下层下游侧为四车道普通公路，上、下层跨江段长度完全相同．一辆轿车在上层以千米/时、一辆货车在下层下游侧以千米/时的速度分别行驶完跨江段．已知轿车比货车少用分钟，常泰长江大桥的跨江段全长是多少千米？ 21．数学活动课上同学们用一种正方形纸板制作图1所示的长方体盒子，每个盒子需4个长方形侧面和2个正方形底面．纸板有图2所示的两种裁剪方法： A方法：每张纸板裁成6个侧面； B方法：每张纸板裁成9个底面． 同学们一共领取了9张纸板，设其中张用A方法裁剪，其余的用B方法． (1)一共可裁剪出侧面___________个，底面___________个（用含的代数式表示）； (2)若同学们裁出的侧面还剩6个，底面全部用完，求的值和制成的盒子个数． 22．我市某景点挂牌票价为40元/人，并有学生票和团体票两种优惠折扣．学生可享受挂牌票价的6折优惠；团体票为挂牌票价的8折，但需要10人以上（含10人）团体购票才能享受，且购票者不再享受其他优惠． (1)小明约了几位同学和家长们一起来游玩，共有8位家长4位学生，请问他们怎么购票可以获得最大优惠？ (2)有一个30人的旅游团队也来这个景点游玩，经测算，他们总购票款最低为848元，请问这个旅游团队有学生和非学生游客各多少人？ 23．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“友好方程”的解都是整数，求整数c的值． 24．为增强公民节水意识，泗阳县城区居民生活用水量采用“阶梯收费”其中到户水费＝基本水价＋污水处理费＋水资源费，具体计价标准如下表： 收费方式 月用水量（吨） 基本水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 水资源费（元/吨） 到户水费（元/吨） 第一阶梯 月用水量≤16吨 1.65 0.95 0.20 2.80 第二阶梯 16吨＜月用水量≤24吨 2.29 1.01 0.20 3.50 第三阶梯 月用水量＞24吨 4.69 1.01 0.20 5.90 设某用户某月用水量为吨（为正整数），解决以下问题： (1)若，则应缴水费__________元．若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是__________元；若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是__________元； (2)若该用户11月份的水费是51.8元，求该用户11月份水资源费多少元？ (3)如果该用户5、6月份共用水50吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费167元，直接写出5、6月份各用水多少吨？ 25．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“平衡方程”．例如：方程和为“平衡方程”． (1)若关于x的方程与方程是“平衡方程”，求m的值； (2)若“平衡方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“平衡方程”，利用整体思想，则关于y的一元一次方程的解为________． 26．两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上． (1)长方形的面积是 ． (2)若点P在线段上，且，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形分别以每秒2个单位长度、1个单位长度在数轴上相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t． ①在整个运动过程中，S的最大值是 ，持续时间是 ； ②当S是长方形面积一半时，求t的值． 参考答案 一、单项选择题 1．B 解：A、当时，，，则，故选项不符合题意； B、当时，，故选项符合题意； C、当时，，，则，故选项不符合题意； D、如果，当时，，故选项不符合题意； 2．D 解：A． 含有两个未知数，是二元一次方程，不符合一元一次方程定义，故A错误； B． 中未知数的最高次数为2，是一元二次方程，不符合定义，故B错误； C． 分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故C错误； D． 只含有一个未知数，未知数的次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，故D正确． 3．A 解：∵设有客人，鹿的总数量不变 每人分只多只，可得鹿的总数量为 每人分只少只，可得鹿的总数量为 ∴根据鹿的总数相等，可列方程 4．D 解：∵是方程的一个解， ∴将代入方程得：， 即， ∴； 故选D． 5．B 解：设中间的一个数为，则上面的一个数为，下面的一个数为，三个数的和为， 当时，，此时7上方没有数字，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，此时25下方没有数字，不符合题意； 故选B． 6．C 解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ． 7．A 解：设泰州队一共胜了场． ∵每队总场次为场，泰州队负场， ∴平的场数为． 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：， ∴泰州队一共胜了场． 8．B 解：解方程得． ∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”， ∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：， 化简得：， 两边同乘6：， 即：， 移项：， 整理：， ∵该式对任意有理数恒成立， ∴且， 解得：，， ∴． 故选：B． 二、填空题 9．2 解： 可得： 等式两边同乘得： 将代入得： 原式． 10． 解：∵关于的方程的解是， ∴， ∴． 11． 解：设该队胜了场，则负了场， 胜场得分为分，负场得分为分， 故可列方程为． 12．7 解：解方程得 因为两个方程的解相同，将代入得 解得 13．3 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14． 已知关于的一元一次方程的解为， ， 则 移项，得， ， 解得， 则关于y的一元一次方程的解为． 故答案为：． 15．2 解：根据题意可得，如图， ， 解得， 故答案为：2． 16．4或36 解：设线段运动的时间为t秒，以点A为原点，建立数轴，各点初始位置为： 点A、点表示0，点、点B表示12，点C表示， 根据运动速度和方向，t秒后各点在数轴上的位置为： 点C：，点M：， ∵点N是线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴，， 已知， 代入得方程：； 分情况讨论： 情况1：， 解得； 情况2：， 解得； 线段运动的时间是4秒或36秒， 故答案为：4或36． 三、解答题 17．（1）解： 去括号： 移项合并同类项： 化系数为1： （2）解： 去分母： 去括号： 移项，合并同类项： 化系数为1： 18．（1）解：根据题意可知，且， 由得：或， ，即， ∴； （2）解：∵， ∴原方程为， 移项，得， 解得：． 19．解：任务一：第一步是去分母， 依据是B．等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 故选：B． 任务二：①以上求解步骤中，第三步开始出错， 移项时应变号，为； 故答案为：三； ②解方程： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 故答案为：． 任务三：解方程时移项要变号． 20．解：设常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 根据题意，轿车比货车少用分钟，可列方程：， 方程两边同时乘以得：， 合并同类项得：； 答：常泰长江大桥的跨江段全长是千米． 21．（1）解：∵一共领取了9张纸板，其中张用A方法裁剪，每张纸板裁成6个侧面，每张纸板裁成9个底面， ∴一共可裁剪出侧面个，底面个； （2）解：根据题意得， 解得 ∴ 答：的值为7时，可以制作9个盒子． 22．（1）解：由题意可知家长买团体票可以享受优惠， 因为团体购票需要10人以上（含10人）， 则方案一：8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案二：8位家长和3位学生购买团体票，剩余1位学生购买学生票， 需付款（元）； 方案三：8位家长和4位学生购买团体票， 需付款（元）； ， 所以8位家长和2位学生购买团体票，剩余2位学生购买学生票可获得最大优惠； （2）解：设学生有x人，非学生游客有人， 即， 解得， ， 答：学生14人，非学生游客16人． 23．（1）解：∵方程与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与方程互为“友好方程”， ∴， ∴， ∴； （3）解：方程的“友好方程”为， 解得：， 解得：， ∵与其“友好方程”的解都是整数， ∴与都是整数， ∴既是5的倍数，也是5的因数， ∴． ∴或． 24．（1）解：由题意得：若，则应缴水费元， 若月用水量在第二阶梯，用含的式子表示水费是元； 若月用水量在第三阶梯，用含的式子表示水费是元， 故答案为：28，，； （2）若用水量在第一阶梯，则收费最多为元， 若用水量在第二阶梯，则收费最多为元， 因为该用户11月份的水费是元， 所以用水量在第二阶梯， 则， 解得：， 所以该用户11月份水资源费为元； （3）设5月份用水x吨，则6月份用水吨， 若5月份用水量在第一阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 与5月份用水量在第一阶梯矛盾，此情况不存在； 若5月份用水量在第二阶梯，6月份用水量在第三阶梯， 由题意得：， 解得：， 则， 答：5月份用水20吨，6月份用水30吨 25．（1）解：解，得 ， 解，得 ， ∵关于x的方程与方程是“平衡方程”， ∴， 解得． 答：m的值为6； （2）解：∵“平衡方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为， ∵“平衡方程”的两个解的差为6， ∴， 即， ∴或， 解得或． （3）解：解方程，得 ∵关于x的一元一次方程和是“平衡方程”， ∴方程的解满足： ， 方程，可变形为： ， 对比方程与变形后的方程，得 ， 即， 解得． 26．（1）解：由图形可得：，， 两个完全相同的长方形、， ， 长方形的面积是； 故答案为：12； （2）设点P在数轴上表示的数是x， 则，， 因为， 所以， 解得， 答：点P在数轴上表示的数是； （3）①整个运动过程中，S的最大值是， 当点B与F重合时，，解得：， 当点A与E重合时，，解得：， ， 整个运动过程中，S的最大值是9，持续时间是秒； ②由题意知移动t秒后， 情况一：当点B在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6， 此时， 解得， 情况二：当点A在E、F之间时，时，重叠部分的面积为6， 此时， 解得， 综上所述，当S是长方形面积一半时，或． 学科网（北京）股份有限公司 $