专题02 分式的运算重难点题型专训（5个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 分式的运算重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 分式乘法 题型二 分式除法 题型三 分式乘除混合运算 题型四 分式乘方 题型五 同分母分式加减法 题型六 异分母分式加减法 题型七 整式与分式相加减 题型八 分式加减混合运算 题型九 负整数指数幂 题型十 整数指数幂的运算 题型十一 最简公分母 题型十二 通分 题型十三 分式化简求值 题型十四 已知分式恒等式，确定分子或分母 拓展训练一 分式加减乘除混合运算 拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算 拓展训练三 分式加减的实际应用 知识点一：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·单元测试）将通分后，它们分别是 ， ， ． 知识点二：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【即时训练】 1．（2025·上海青浦·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 知识点三：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）有如下计算过程：      第（1）步               第（2）步                第（3）步 其中出现错误的步骤是（    ） A．第（1）步 B．第（2）步 C．第（3）步 D．没有错误 2．（24-25七年级上·上海虹口·随堂练习）计算： ． 知识点四：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·课后作业）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海金山·课后作业）计算： ． 知识点五：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【即时训练】 1．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·课堂例题）计算： ． 【经典例题一 分式乘法】 【例1】（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·单元测试）填空： ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·课堂例题）七年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·单元测试）观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 【经典例题二 分式除法】 【例2】（24-25七年级上·上海静安·期末）化简的结果是（   ） A． B． C．3 D． 1．（2025·上海·模拟预测）若，，则的值可能为（   ） A．0 B． C．1 D．2 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算的结果是 ． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）试说明分式的值与的取值无关． 【经典例题三 分式乘除混合运算】 【例3】（24-25七年级上·上海虹口·课堂例题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海松江·课堂例题）一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海金山·阶段练习）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）老师在黑板上写了一个分式的除法计算题，如图，用手遮住了一部分，让同学们通过计算求出被遮住部分的式子，则被遮住的式子是 ． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【经典例题四 分式乘方】 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）计算： （1） ．            （2） ． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）计算：（）3＝ ；（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy＝ ． 4．（24-25七年级上·上海虹口·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 同分母分式加减法】 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 1．（25-26七年级上·上海青浦·阶段练习）已知一个正确的运算过程：被盖住了一部分，则被遮盖的算式是（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）化简的结果是 ． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【经典例题六 异分母分式加减法】 【例6】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26七年级上·上海虹口·课前预习）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 4．（25-26七年级上·上海·期中）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值．    【经典例题七 整式与分式相加减】 【例7】（24-25七年级上·上海松江·期中）如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（    ） 嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是 ．（填序号） 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ． 4．（24-25七年级上·上海松江·期末）小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【经典例题八 分式加减混合运算】 【例8】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海虹口·课后作业）如图是数学老师给小雨留的习题，正确结果为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 3．（24-25七年级上·上海崇明·期末）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 4．（2025七年级上·上海虹口·模拟预测）求证：． 【经典例题九 负整数指数幂】 【例9】（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）计算的结果是（   ） A．3 B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）对于a、b两数定义的一种运算：（其中等式右边中的和是通常意义下的乘法与加法），则下列结论： 若，，则；若，则；；当a、b互为相反数时，的值总是等于1． 其中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海长宁 ·阶段练习）计算：的值是 ． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，，，则以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为 ． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算： ； ； (2)如果，那么 ；如果，那么 ； (3)如果，且a、k为整数，求满足条件的a、k的取值． 【经典例题十 整数指数幂的运算】 【例10】（2025·上海杨浦·模拟预测）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）我们知道：，，……，，那么接近于( ) A． B． C． D． 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知，则“★”代表的数是 ． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）在一个数学九宫格中，当处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的3个数之积都相等时称之为“积的九宫归位”．在如图的九宫格中，已填写了一些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·上海长宁·期中）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体—黑洞．施瓦氏半径（单位：）的计算公式是．，其中为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：）；为光在真空中的速度．已知太阳质量为，计算太阳的施瓦氏半径． 【经典例题十一 最简公分母】 【例11】（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）分式与分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．分式与的最简公分母是 2．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）分式与的最简公分母为 ． 3．（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）确定最简公分母： （1）分式与的最简公分母是 ； （2）分式与的最简公分母是 ； （3）分式的最简公分母是 ； （4）分式与的最简公分母是 ． 4．（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）通分： (1)，，； (2)，，． 【经典例题十二 通分】 【例12】（24-25七年级上·上海静安·期末）用替换分式中的n后，经过化简结果是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）已知，，，下列计算结果正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）分式和通分后的结果分别为 ， ． 3．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 4．（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（25-26七年级上·上海虹口·期末）对于正数x，规定如：则的值为（  ） A． B． C． D．1 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，若，则表示的值的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 2．（25-26七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，则 ． 3．（25-26七年级上·上海杨浦·阶段练习）若，，则 ． 4．（25-26七年级上·上海松江·期中）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【经典例题十四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例14】（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 2．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）已知，则 ， ． 3．（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则 ， ． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 【材料】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以解得， 所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． 【问题】请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 【拓展训练一 分式加减乘除混合运算】 1．（24-25七年级上·上海虹口·单元测试）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）如图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影部分）长方形的面积．    3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）【感知】 ． 【应用】（1）计算：． 【拓展】（2）填空：________（n为整数）， ________． （3）方程的解为________． 【拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算】 1．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2025·上海·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 【拓展训练三 分式加减的实际应用】 1．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同，且速度速度b） 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 1．（25-26七年级上·上海静安·期中）把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海嘉定·阶段练习）若，则□中的数是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）由于式子“…”较长，书写不方便，我们可以将其表示为，这里“”是求积符号．例如：…可表示为，又如…可表示为，阅读上述材料后请计算 （    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）老师在黑板上给出了一道分式计算题：． 沙沙解答过程： …① …② …③ … 沙沙的解答过程是从______开始出现错误的，正确的结果是______，下列结论正确的是（   ） A．①， B．②， C．②， D．①， 6．（25-26七年级上·上海长宁·期中）已知，那么 ． 7．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知，那么的值为 ．（用含x的代数式表示） 8．（2025七年级上·上海虹口·模拟预测）警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是 9．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如下是嘉嘉对分式化简的步骤： （1）上述化简过程中，最开始出错的步骤是 （填序号）； （2）正确的化简结果是 ． 10．（2025·上海徐汇·模拟预测）在学习完第一章前3节内容后，李老师留了这样一道课后题目：已知x为整数，且，求x的值，数学兴趣小组进行了讨论： 小鹿：零指数幂的结果为1， 小唯：底数是1的幂的结果为1， …… 根据上述给出的思路，聪明的你计算出x的值可能是 ． 11．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）计算： (1) (2)． 12．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) 13．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）请你阅读下列解题过程，并回答所提出的问题． 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误__________； (2)从第二步到第三步是否正确？ __________（填“正确”或“不正确”），同分母分式相加减，分母__________，分子__________； (3)请你写出这道题目正确的解题过程． 14．（25-26七年级上·上海静安·期中）观察下列等式：，将以上三个等式两边相加得，． (1)猜想并写出：_______； (2)求下列各式的值： ①； ② 15．（25-26七年级上·上海崇明·阶段练习）定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式的运算重难点题型专训 （5个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 分式乘法 题型二 分式除法 题型三 分式乘除混合运算 题型四 分式乘方 题型五 同分母分式加减法 题型六 异分母分式加减法 题型七 整式与分式相加减 题型八 分式加减混合运算 题型九 负整数指数幂 题型十 整数指数幂的运算 题型十一 最简公分母 题型十二 通分 题型十三 分式化简求值 题型十四 已知分式恒等式，确定分子或分母 拓展训练一 分式加减乘除混合运算 拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算 拓展训练三 分式加减的实际应用 知识点一：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）化简结果正确的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则． 根据异分母分式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海虹口·单元测试）将通分后，它们分别是 ， ， ． 【答案】 【分析】先确定三个分式的最简公分母是，可得通分后的结果． 【详解】解：由三个分式的最简公分母是， 故通分后它们分别是：， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了通分，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 知识点二：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【即时训练】 1．（2025·上海青浦·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加法，根据同分母分式的加法进行计算，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点三：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）有如下计算过程：      第（1）步               第（2）步                第（3）步 其中出现错误的步骤是（    ） A．第（1）步 B．第（2）步 C．第（3）步 D．没有错误 【答案】B 【分析】本题考查了分式的减法，解题的关键是掌握减法法则，分母不变，分子相减． 【详解】解：出现错误的步骤是第（2）步， 原因是计算分子相减时未加括号， 故选B． 2．（24-25七年级上·上海虹口·随堂练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握分式的加法法则．根据分式的加法法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 知识点四：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海虹口·课后作业）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式从左到右依次计算即可求出值． 【详解】解：原式＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·上海金山·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题先将除法统一成乘法，然后化为最简分式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是将除法一定要先统一成乘法再进行运算． 知识点五：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 【即时训练】 1．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海松江·课堂例题）计算： ． 【答案】 【分析】分式乘方的法则是：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果． 【详解】解： 故答案为； 【点睛】本题考查分式的乘方运算．掌握相关运算法则即可． 【经典例题一 分式乘法】 【例1】（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法，根据分式的乘法运算法则逐项判断即可求解，掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算错误，符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 、，该选项计算正确，不符合题意； 故选：． 1．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，…，若将第2024次显示结果记为M，2025次显示结果记为N，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了程序流程图、分式的混合运算，能通过计算发现从第1次显示的结果开始按循环是解题的关键．根据题意，依次求出每次显示的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·单元测试）填空： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海闵行·课堂例题）七年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目： ． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式． 【详解】解：由题意得：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了分式的乘法，正确掌握分式的乘法运算法则是解题关键． 4．（24-25七年级上·上海虹口·单元测试）观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，分式的化简，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据前4个等式即可得出答案； （2）根据（1）中得出规律，进行通分证明等式的左边等于右边即可． 【详解】（1）解：因为第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 所以 ， 故答案为：； （2）解：由（1）得出规律为： 第个式子为， 等式左边为， 等式右边为， 因为等式左边等式右边， 所以此等式成立． 【经典例题二 分式除法】 【例2】（24-25七年级上·上海静安·期末）化简的结果是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式除法运算，熟练掌握分式除法运算法则是解题的关键．根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 1．（2025·上海·模拟预测）若，，则的值可能为（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先列式，结合分式有意义的条件进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ， ∵， ∴， ∵， 故A选项不符合题意； ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则， 故选：D 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式除法计算，先分解因式，再把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式除法运算．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， ∴被污染的代数式为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期中）试说明分式的值与的取值无关． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式的除法．根据分式的除法法则计算，即可求解． 【详解】解： ， 所以分式的值与的取值无关． 【经典例题三 分式乘除混合运算】 【例3】（24-25七年级上·上海虹口·课堂例题）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除法进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘除法运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海松江·课堂例题）一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析，用静水速度减去水流速度表示出逆水速度，用静水速度加上水流速度表示出顺水速度，然后用路程除以速度分别表示出逆水行驶的时间和顺水行驶的时间，最后用顺水行驶的时间除以逆水行驶的时间即可解答． 【详解】解：由题意得：船在顺水中的速度是千米/时，船在逆水中的速度是千米/时， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除应用，解题的关键是表示出顺水行驶的时间和逆水行驶的时间． 2．（25-26七年级上·上海金山·阶段练习）小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】 解：根据题意得：， 又 则“”处的式子为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·单元测试）老师在黑板上写了一个分式的除法计算题，如图，用手遮住了一部分，让同学们通过计算求出被遮住部分的式子，则被遮住的式子是 ． 【答案】 【分析】先根据除式，被除式，商的关系得出被遮住式子，再根据分式的除法法则计算即可． 【详解】根据题意可知被遮住的式子是， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的除法，掌握分式的运算法则式解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海崇明·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 【答案】(1) (2)①，；②方案的最终过滤效果最好 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ②=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． 【经典例题四 分式乘方】 【例4】（24-25七年级上·上海虹口·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用分式的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算．熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）计算： （1） ．            （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式利用分式的分子分母分别平方即可得到结果； （2）原式利用分式的分子分母分别求立方即可得到结果． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 故答案为：；． 3．（2025七年级上·上海·专题练习）计算：（）3＝ ；（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy＝ ． 【答案】 3x﹣2y+1 【分析】根据分式的乘方法则和分式的约分方法计算即可． 【详解】解：()3＝＝＝﹣； （9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy = = ＝3x﹣2y+1； 故答案为：﹣；3x﹣2y+1． 【点睛】本题考查了分式的乘方和分式的约分，分式的乘方是把分子、分母分别乘方，分式的约分是把分式分子、分母中除1以外的公因式约去． 4．（24-25七年级上·上海虹口·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查分式的乘方及乘除运算．掌握相关运算法则是解题关键． 【经典例题五 同分母分式加减法】 【例5】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是关键；直接把分子相减，分母不变即可求解． 【详解】解：原式， 故选：A． 1．（25-26七年级上·上海青浦·阶段练习）已知一个正确的运算过程：被盖住了一部分，则被遮盖的算式是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．运用同分母分式相加减方法进行运算． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）化简的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算规则．熟练掌握同分母分式的减法运算规则是解题的关键． 因为这两个分式的分母相同，根据同分母分式的减法法则，分母不变，分子相减，得到，观察分子可以提取公因式2，即，最后化简得． 【详解】解： ， 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是掌握分式加减法的运算法则． 根据等式的性质，通过移项求出被盖住部分的值． 【详解】由题意得，被盖住的部分为： ， 故答案为：1． 4．（25-26七年级上·上海崇明·期中）给出定义：如果两个分式与的和为一个常数，则称与是“和常分式”，这个常数称为与的“和常值”．例如：分式，则与是“和常分式”，与的“和常值”为4．解决下面的问题： (1)已知分式，判断与是不是“和常分式”，若不是，请说明理由：若是，求出与的“和常值”； (2)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为2，求的值； (3)已知分式，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为．若为整数，且的值也为整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】(1)与是“和常分式”，且与的“和常值”为 (2)3 (3)0或2 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）根据“和常分式”的定义得到，则可推出，据此可得答案； （3）根据“和常分式”的定义得到，则；再由的值也为整数，可以得到，其中k为整数，则可推出，进而得到为整数，则，即可求出或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴与是“和常分式”，且与的“和常值”为； （2）解：∵，且与是“和常分式”，与的“和常值”为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，其中与是“和常分式”，与的“和常值”为， ∴， ∴； ∵的值也为整数， ∴是整数， ∴，其中k为整数， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵k为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴， ∴或． 【经典例题六 异分母分式加减法】 【例6】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）化简的结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的计算，解题的关键是掌握运算的顺序和相关运算的法则． 原式通分计算即可得答案． 【详解】解： ． 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了异分母分式的加减；先通分化为同分母分式，再相加减，根据此步骤依次检查各步即可找到错误所在． 【详解】解：出错在第②步，分子去括号时没有变号，导致错误； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海虹口·课前预习）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算； （1）先通分化为同分母，再计算即可； （2）先通分化为同分母，再计算即可； （3）先把第一个约分，化为同分母，再计算即可； （4）先通分化为同分母，再计算即可； （5）先通分化为同分母，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3） ； （4） ； （5） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】解：与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·上海·期中）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 【答案】(1)二；漏掉了分母 (2) 【分析】（1）从第二步开始出现错误，错误的原因是通分漏了分母． （2）根据分式的运算，化简代入求值计算即可， 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得第二步出现错误，漏了分母， 故答案为：二；漏掉了分母． （2）解：                 ， 由 得 故原式． 【经典例题七 整式与分式相加减】 【例7】（24-25七年级上·上海松江·期中）如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（    ） 嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 根据分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 所以观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母． 故选：B． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 【答案】D 【分析】根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： ， ∴甲和丙出现错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）对于，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故答案为：①②． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）阅读下列材料： 我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：． 解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ． 【答案】 真分式 【分析】本题考查分式的加减运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解“假分式”“带分式”的意义和转化方法是解决问题的关键．根据“真分式”的意义判断即可，根据“假分式”化成“带分式”的方法转化即可 【详解】解：分式的分子的次数是0，分母的次数是1，故是真分式； ． 故答案为：真分式；． 4．（24-25七年级上·上海松江·期末）小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【答案】有；三，，过程见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，观察解答过程知该同学的解答从第三步开始出错；先通分化为同分母的分式相加减．掌握相应的运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：该计算过程有错误，第三步开始错误． 故答案为：有；三； 正确计算过程如下： 原式 ． 【经典例题八 分式加减混合运算】 【例8】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减．利用分式的基本性质，把等式变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25七年级上·上海虹口·课后作业）如图是数学老师给小雨留的习题，正确结果为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意找出的最简公分母为，然后通分转化为同分母相加，最后代入求值即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴原式， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加减运算，属于基础题，关键是找准最简公分母，然后进行通分转化为同分母计算即可． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 3．（24-25七年级上·上海崇明·期末）观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 4．（2025七年级上·上海虹口·模拟预测）求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和将等式左边每个分式拆项是解题关键； 首先将左式向右式变形，根据等式右边的特点，将等式左边每个分式拆成两个分式的和或差形式，可得可得可得；然后将拆项后的左边各式相加，证得结论即可． 【详解】证明：∵， 同理， ， 原式左边 右边． 故原等式成立． 【经典例题九 负整数指数幂】 【例9】（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）计算的结果是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据（，m为正整数）求解即可． 【详解】解：， 故选：． 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）对于a、b两数定义的一种运算：（其中等式右边中的和是通常意义下的乘法与加法），则下列结论： 若，，则；若，则；；当a、b互为相反数时，的值总是等于1． 其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，时，代入运算即可求值，进而可判断①的正误；根据当时，，可判断②的正误；分别运算，然后比较，可判断③的正误；当a、b互为相反数且都为0时，运算可得，无意义进而可判断④的正误 【详解】解：由题意知，，时， ，故①正确； ∵ 当时，，故②不正确； ∵，， ∴，故③正确； 当a、b互为相反数且都为0时，， ∵无意义，任何不为零的数的0次方等于1，故④错误； 故选C． 【点睛】本题考查了新定义运算，负整数指数幂，零指数幂，解题的关键在于熟练掌握新定义的运算法则． 2．（24-25七年级上·上海长宁 ·阶段练习）计算：的值是 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，再相加即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，，，则以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为 ． 【答案】9 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方运算，根据相关运算法则，求出四个数，进而求出最大值和最小值的差即可． 【详解】解：，，，， ∴最大值与最小值的差为：； 故答案为：9． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）我们规定：，即的负次幂等于的次幂的倒数．例：． (1)计算： ； ； (2)如果，那么 ；如果，那么 ； (3)如果，且a、k为整数，求满足条件的a、k的取值． 【答案】(1)； (2)3； (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，正确理解题意是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据题意可得，则，解之即可；根据题意可得，则，解之即可； （3）由可推出，结合a、k都是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3；； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a、k都是整数， ∴当时，， 当时，， 当时，． 【经典例题十 整数指数幂的运算】 【例10】（2025·上海杨浦·模拟预测）计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂相乘、负整数次幂的运算法则，幂的乘方的运算法则为，同底数幂相乘的运算法则为，灵活运用这两个法则是解答本题的关键． 1．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）我们知道：，，……，，那么接近于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由负整数指数幂的含义结合整数指数幂的运算可得：再分别把各选项变形，再比较即可得到答案. 【详解】解： 而 即 是一个10位整数，最高位的数字为1， 是一个10位整数，最高位的数字为1，是一个11位整数，最高位的数字为1， 所以更接近 所以最接近 故选B 【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，掌握“整数指数幂的运算法则与负整数指数幂的含义”是解本题的关键. 2．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知，则“★”代表的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，由同底数幂的乘法运算公式得，解方程，即可求解；掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）在一个数学九宫格中，当处于同一横行，同一竖行，同一斜对角线上的3个数之积都相等时称之为“积的九宫归位”．在如图的九宫格中，已填写了一些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得： 再整理为从而可得答案． 【详解】解：由题意可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是新定义问题，幂的运算的综合题，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，理解题意，再建立方程是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·上海长宁·期中）“黑洞”是恒星演化的最后阶段．根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料（氢）已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体．如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍，那么就会引发另一次大坍缩．当这种收缩使得它的半径达到施瓦氏（）半径后，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体—黑洞．施瓦氏半径（单位：）的计算公式是．，其中为万有引力常数；M表示星球的质量（单位：）；为光在真空中的速度．已知太阳质量为，计算太阳的施瓦氏半径． 【答案】太阳的施瓦氏半径为 【分析】把所给的数据代入对应的公式中进行求解即可． 【详解】解：由题意得：． 答：太阳的施瓦氏半径为． 【点睛】本题主要考查了整数指数幂的计算，正确计算是解题的关键． 【经典例题十一 最简公分母】 【例11】（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）分式与分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的概念解答． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）下列说法错误的是（   ） A．当时，分式无意义 B．当时，分式的值为正数 C．当分式时， D．分式与的最简公分母是 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，及分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【详解】解：A．当时，分母为0，分式无意义，正确，不符合题意； B．当时，分母大于0，与分子同号，故分式的值为正数，正确，不符合题意； C．当分式时，即，解得，当时，分母无意义，故错误，符合题意； D．分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）分式与的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，根据求两个分式分母的最小公倍数，数字部分取最小公倍数，字母部分取最高次幂即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：分式与的最简公分母为， 故答案为 ：． 3．（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）确定最简公分母： （1）分式与的最简公分母是 ； （2）分式与的最简公分母是 ； （3）分式的最简公分母是 ； （4）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了最简公分母的定义，即通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此进行解答即可． 【详解】解：（1）分式与的最简公分母是， 故答案为： （2）分式与的最简公分母是； 故答案为： （3）分式的最简公分母是； 故答案为： （4）分式与的最简公分母是． 故答案为： 4．（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 【经典例题十二 通分】 【例12】（24-25七年级上·上海静安·期末）用替换分式中的n后，经过化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入进行化简即可得到答案． 【详解】由题意得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，渗透了整体代入的数学思想，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）已知，，，下列计算结果正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】首先由幂的乘方的逆运算得到，得到，同理得到，然后分别利用分式的通分，因式分解分别变形代数求解判断即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ∴ ，故②正确； ∴，故③正确； ∴ ∴ ∴当时，； 当时，，故④错误． 综上所述，计算结果正确的是①②③． 故选：A． 【点睛】此题考查了幂的乘方的逆运算，分式的求值，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）分式和通分后的结果分别为 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了通分，求出最简公分母是解题的关键．先确定最简公分母为是，再按照通分的规则通分即可． 【详解】解：，， 和的最简公分母是， ， ， 故答案为：， ． 3．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ……第六步 （1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是 ； （2）第 步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果 ． 【答案】 分式的基本性质 五 【分析】（1）明确分式通分的基本原理，即分式的基本性质，通过找到最简公分母来进行通分． （2）仔细检查每一步的运算过程，找出错误步骤，然后按照正确的运算规则重新化简分式得到正确结果． 本题主要考查了分式的基本性质以及分式的化简运算．熟练掌握分式的基本性质，并能够准确运用其进行通分和分式运算，同时具备检查运算过程中错误的能力是解题的关键． 【详解】解：（1）通分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的基本性质． （2） ， 第五步开始出现错误，该分式化简后的正确结果为． 故答案为：五；． 4．（25-26七年级上·上海虹口·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，通分的定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式的变形叫做分式的通分． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ， ． 【经典例题十三 分式化简求值】 【例13】（25-26七年级上·上海虹口·期末）对于正数x，规定如：则的值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简与求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键． 根据分式的运算法则可得，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ∴ ． 故选：B． 1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如图，若，则表示的值的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，把变形得，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴表示的值的点落在段②， 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够对分式进行正确的转化是解题的关键．令，则，代入，进行化简即可求值． 【详解】解：令， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海杨浦·阶段练习）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，先把原式变形为，再根据已知条件得到，据此整体代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ∴ 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海松江·期中）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】真； ； 或或或． 【分析】本题考查了分式的运算，解决本题的关键是根据分式的运算法则整理分式． 根据真分式的定义判断； 根据阅读材料中的思路，可得：； 把分式化为带分式的形式，可得：，因为是整数，所以是整数，可得：或，分情况解方程求出的值即可． 【详解】解：分式的分子是常数，分母是 分子的次数是，分母的次数是， ， 分式是真分式； 故答案为：真； 解：； 故答案为：； 解： ， 的值为整数， 的值为整数， 的值为整数， 或， 解得：或或或． 【经典例题十四 已知分式恒等式，确定分子或分母】 【例14】（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 2．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）已知，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了分式的加减运算；先对等式右边进行通分化简，然后根据题意列方程，进行计算即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 3．（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则 ， ． 【答案】 1 3 【分析】本题主要考查整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算，熟练掌握整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算是解题的关键；通过将分式分解后的形式通分，比较分子系数，建立方程组求解即可． 【详解】解：原分式分母为，分解后分母为，故， 设，通分得分子为， 与分子比较系数，得方程组：， 解得 ，； 故答案为1，3． 4．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读材料，并解答问题． 【材料】将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 解：由分母为，可设． 因为， 所以． 所以解得， 所以． 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式． 【问题】请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（或差）的形式． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法．根据阅读材料内容进行拆分：由分母为，可设计算即可． 【详解】解：由分母为，可设， 因为， 所以， ， ， ． 【拓展训练一 分式加减乘除混合运算】 1．（24-25七年级上·上海虹口·单元测试）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)8 【分析】本题考查分式的运算： （1）根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先乘方，再进行乘除运算； （4）先乘方，再进行乘除运算； （5）除法变乘法，约分化简即可； （6）先进行负整数指数幂和零指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 2．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）如图中，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影部分）长方形的面积．    【答案】30平方米 【分析】设最小的长方形的长为a米，则宽为米，则可分别表示出阴影部分的宽与长，从而求得阴影部分的面积． 【详解】解：设最小的长方形的长为a米，则宽为米， 则阴影部分的面积是： （平方米）； 答：阴影部分的面积是30平方米． 【点睛】本题考查了分式乘除混合运算，弄清题意，设出最小长方形的长，从而表示出它的宽及阴影部分长方形的长与宽是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期中）【感知】 ． 【应用】（1）计算：． 【拓展】（2）填空：________（n为整数）， ________． （3）方程的解为________． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查分式的运算，数字类规律探究，解方程方程，解题的关键是得到： （1）利用规律，进行计算即可； （2）根据分式的减法法则，进行计算即可； （3）利用（2）中规律进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ； （3） ， ， ， ∴， 解得：； 经检验是原方程的解； 故原方程的解为：． 【拓展训练二 含乘方的分式乘除混合运算】 1．（24-25七年级上·上海金山·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）分母不变，把分子相减即可； （2）先把除法转化为乘法，再算减法； （3）先约分化简，再算加法即可； （4）先把除法转化为乘法，再约分即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．（2025·上海·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式的规律以及分式的化简，能根据所给等式发现规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为；；；；… 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第5个等式为：． 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边 右边， 所以此等式成立． 3．（24-25七年级上·上海普陀·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题： 材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. 如：. 材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5. 根据上述材料，解决下列问题： （1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数. （2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】（1）根据题意将分式变形即可； （2）根据题意将分式变形，即可确定出最小值． 【详解】（1）原式= ； （2）原式=， ∵(x−1)2⩾0,即(x−1)2+2⩾2， 则原式最小值为4−. 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则进行变形. 【拓展训练三 分式加减的实际应用】 1．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同，且速度速度b） 【答案】乙旅客 【分析】本题考查了分式的加减，正确列出算式是解答本题的关键．设甲乙两人走的路程都为x，表示出两人用的时间，比较即可做出判断． 【详解】解：设甲乙两人走的路程都为x， 甲用的时间为，乙用的时间为， ∵， ∴， 则乙旅客先到达目的地． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题； (2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） (3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】(1) (2)< (3)加糖后糖水会变甜，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； （2）由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． （3）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 3．（24-25七年级上·上海静安·期末）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 【答案】数据计算：，，；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用： 数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，由此可解； 实验结论：根据前一问结论，比较大小即可； 推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可． 【详解】解：数据计算： 方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，，； 实验结论： ， 方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； 推广证明： 依题意可得， 选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为； 选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同， 所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小， 因为，且，， 所以， 所以， 所以， 即方案二比方案一的漂洗效果好， 因为，且， 所以， 所以， 所以， 即方案三比方案二的漂洗效果好， 综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好． 1．（25-26七年级上·上海静安·期中）把分式与通分，它们的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．最简公分母是分母系数的最小公倍数与各变量最高次幂的乘积． 【详解】解：分母和的系数4和6的最小公倍数为12，变量的最高次幂为，变量的最高次幂为， 最简公分母为， 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海嘉定·阶段练习）若，则□中的数是（    ） A．－1 B．－2 C．－3 D．任意实数 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算，熟练掌握计算法则是解题的关键． 将等式右侧的分式移项至等号左侧，与左侧分式进行计算即可求得□中的数． 【详解】解：由等式的性质可得， ， ， 当时，上式， 当时，分式无意义， 所以． 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）由于式子“…”较长，书写不方便，我们可以将其表示为，这里“”是求积符号．例如：…可表示为，又如…可表示为，阅读上述材料后请计算 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数式规律问题，分式的加减法，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式为…，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式… … … ， 故选：B． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ∴， ∴ ； 故选A． 5．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）老师在黑板上给出了一道分式计算题：． 沙沙解答过程： …① …② …③ … 沙沙的解答过程是从______开始出现错误的，正确的结果是______，下列结论正确的是（   ） A．①， B．②， C．②， D．①， 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，根据分式运算法即可判断出解答过程是从①开始出现错误的；根据分式运算法则计算即可解答． 【详解】解：沙沙的解答过程是从①开始出现错误的，错误原因是没有除法分配律； 正确的解答过程如下： ， 则正确的结果是， 故选：A． 6．（25-26七年级上·上海长宁·期中）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的变形与比例的应用，掌握 “将分式拆分并利用比例倒数关系求解” 是解题的关键．利用比例关系，将所求分式变形为含已知比例的形式，再代入求值即可． 【详解】∵， ∴， 又∵， 代入得：， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知，那么的值为 ．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的四则运算，数字类的规律探索，根据题意结合分式的计算法则计算出的值，可得这一列数每3个数字为一个循环，结果依次为，，，据此求出2025除以3的商和余数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，这一列数每3个数字为一个循环，结果依次为，，， ∵ ， ∴是第675个循环组的最后一个，即与相等， 即， 故答案为：． 8．（2025七年级上·上海虹口·模拟预测）警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速度是80米/分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是 【答案】120米/分 【分析】本题考查了分式乘法的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设上山的路程为S，则上、下山的总路程为，可逐步求得上下山的总时间，最后利用平均速度等于上、下山的总路程除以总时间，计算即得答案． 【详解】解：设上山的路程为， 则由题意得，平均速度为(米/分)， 故答案为：120米/分． 9．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）如下是嘉嘉对分式化简的步骤： （1）上述化简过程中，最开始出错的步骤是 （填序号）； （2）正确的化简结果是 ． 【答案】 ③ 【分析】本题考查了分式运算及平方差公式的应用． （1）逐步分析每一步的运算逻辑选择出错的步骤即可； （2）纠正步骤③的分解错误，化简出正确的结果即可． 【详解】解：（1）检查化简步骤，发现步骤③中将平方差公式错误写为完全平方公式，导致后续计算错误，应等于，而非 故答案为：③． （2） ＝． 故答案为：． 10．（2025·上海徐汇·模拟预测）在学习完第一章前3节内容后，李老师留了这样一道课后题目：已知x为整数，且，求x的值，数学兴趣小组进行了讨论： 小鹿：零指数幂的结果为1， 小唯：底数是1的幂的结果为1， …… 根据上述给出的思路，聪明的你计算出x的值可能是 ． 【答案】，4，2 【分析】分别从底数等于1，底数等于且指数为偶数，指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案．此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用． 【详解】解：①∵1的任何次幂为1， ∴，可得，则， ∴，符合题意， ∴； ②∵的任何偶次幂也都是1， ∴，可得，则， ∴，符合题意， ∴； ③∵任何不是0的数的0次幂也是1， ∴，可得，则， ∴，符合题意， ∴； 综上，的值可能是，4，2， 故答案为：，4，2． 11．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查分式的加减法；同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母相加减，先通分，分子相加减，注意结果要化简； （1）两个分式分母相同，直接合并分子； （2）分母不同，需先因式分解和通分，再化简. 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式        . 12．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据分式加减运算法则计算小括号内的，然后根据分式除法运算法则进行计算即可； （2）先将小括号内的分式进行约分，然后根据分式加减运算法则计算，最后根据分式乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·上海宝山·阶段练习）请你阅读下列解题过程，并回答所提出的问题． 计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误__________； (2)从第二步到第三步是否正确？ __________（填“正确”或“不正确”），同分母分式相加减，分母__________，分子__________； (3)请你写出这道题目正确的解题过程． 【答案】(1)第一步 (2)不正确，不变，相加减； (3)，过程见解析 【分析】本题考查了约分，同分母分式减法，异分母分式减法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，观察题干过程：从第一步开始出现错误，即可作答． （2）理解题意，观察题干过程，即可作答． （3）先把原式整理得，再化简，最后运算，即可作答． 【详解】（1）解：观察题干过程：上述计算过程中，从第一步开始出现错误， （2）解：观察题干过程：从第二步到第三步不正确，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减； （3）解： ． 14．（25-26七年级上·上海静安·期中）观察下列等式：，将以上三个等式两边相加得，． (1)猜想并写出：_______； (2)求下列各式的值： ①； ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数字类规律探索，分式的规律性问题，异分母分式加减法，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）从前几个式子中找出规律用字母表示出来； （2）①利用规律，拆项求和； ②利用规律，拆项求和． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）①； ② 15．（25-26七年级上·上海崇明·阶段练习）定义．若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ；（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)是，当时，该式的值为整数 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不是分式，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ， ∵该式的值为整数， ∴， 解得或或1或， 又∵， ∴， 即当时，该式的值为整数． 学科网（北京）股份有限公司 $