24.4相似三角形的判定（9大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

24.4 相似三角形的判定 知识点一 相似三角形的概念 ★1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. ★2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. ★3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 ★4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 知识点二 相似三角形的预备定理和判定定理 ★1. 相似三角形的预备定理 内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似 简述 平行截得两个三角形相似(“A”字或“8”字) 基本图形 符号表示 ∵,∴ ★2. 相似三角形判定定理1 内容 如果一个三角形的两角与另一个三用形的两用对应相等,那么这两个三角形相似 简述 两角对应相等,两个三角形相似(A.A) 基本图形 符号表示 在与中，∵,∴ 常见图形 隐藏条件：公共角、对顶角 ★3. 相似三角形判定定理2 内容 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似 简述 两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似(S.A.S) 基本图形 符号表示 在与中，∵,∴ 常见图形 注意：（1）利用判定定理2时必须注意:满足的条件是两边对应成比例，及其夹角相等，而不是某边的对角相等. （2） 一般地，当题目中既有角之间的关系，又有线段之间的比例关系时易采用判定定理2. 方法总结： 利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法 先找到两个三角形中相等的角，再分别找到这两个三角形中央这个等角的两条边,计算对应边是否成比例,如果成比例,则这两个三角形相似,否则不相似. ★4. 相似三角形判定定理3 内容 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似 简述 三边对应成比例,两个三角形相似.(S.S.S) 基本图形 符号表示 在与中，∵,∴ 知识点三 直角三角形相似的判定定理 内容 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 简述 斜边和直角边对应成比例,两个直角三角形相似 基本图形 符号表示 在与中，∵,∴ 注意：（1）要说明两个直角三角形相似，只需满足斜边和一条直角边对应成比例，也就是说仅用直角三角形的斜边和直角边也可以说明两个直角三角形相似.一般地，当题目中出现直角三角形时，除了想到前面的方法外，还要多联系本方法. （2）直角三角形相似的判定定理不具有一般性，仅适用于直角三角形.在运用该定理时，需要先判定两个三角形是直角三角形. 知识点四 判定三角形相似的方法选择 要证明两个三角形相似的方法有: 方法1:平行得相似 方法2:两角对应相等得相似 方法3:两边对应成比例且夹角相等得相似方法 方法4:三边对应成比例得相似 题型一 三边成比例的两个三角形相似 解题技巧提炼 判断两个三角形三边是否成比例的方法 首先分别计算出两个三角形的三边长，将两个三角形的边分别按大小顺序排列，再计算它们对应边的比,最后由对应边的比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例 1．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 2．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为 ． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC为直角三角形； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； （3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）． 题型二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 解题技巧提炼 在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. 1．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且．    (1)求证：． (2)若，求的长． 3．如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE． (1)若AD•AB＝AE•AC．求证：ADE∽ACB； (2)若AB=8，AC=6，AD=3，直接写出：当AE= 时，ADE与ACB相似． 题型三 在网格中构造相似三角形 解题技巧提炼 格点图中判定两个三角形相似的基本方法 (1)如果可以在格点图中判断出一组角相等,只需判断这组等角的两条邻边是否对应成比例即可; (2)如果不能在格点图中找到相等的角,需要计算三边之比,“长比长,短比短”,然后判断三组边是否对应成比例即可. 1．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，正方形与在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 3．如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上． (1)请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA； (2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA． 题型四 分类讨论相似三角形 解题技巧提炼 利用边角关系判定三角形相似时，一定要考虑点在不同的位置时，相似三角形的对应边不同的情况，要分类讨论. 1．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（    ）．    A．5 B． C．或4 D．5或 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P在y轴移动上，连接BP，过A点作直线BP的垂线，垂足为E，交x轴于点F，若，则点P的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接． (1)请直接写出b，c的值； (2)若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接． ①设线段的长为h，求h与m的函数关系式； ②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由． 题型五 剪切法在相似三角形判定中的应用 解题技巧提炼 将剪下的涂色部分的三角形与原三角形分别进行判定，注意找准对应边和对应角的关系. 1．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）    A．    B．   C．   D．   3．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型六 相似三角形中的动点、存在性问题 解题技巧提炼 利用相似三角形解决动点问题的策略 求解三角形中的动点问题时，一般先根据条件灵活设置参数，再由两个三角形相似列比例式，最后把相关数据代入比例式中求解即可. 1．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似． 2．已知的两直角边，的长分别为和，动点从点开始沿边向点运动，速度为；动点从点开始沿边向点运动，速度为．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时与相似？ 3．如图，点M的坐标为，点A在第一象限，轴，垂足为B，. (1)如果是等腰三角形，求点A的坐标； (2)设直线MA与y轴交于点N，则是否存在与相似？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由.    题型七 两角分别相等的两个三角形相似 解题技巧提炼 一般地，公共角、对顶角、同角(或等角)的余角(或补角)都是相等的角，解题时应注意挖掘题中的隐含条件. 1．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．如图，在中，，，，将沿着图示中虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． (1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； (2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 3．已知：如图在中，为的平分线，交于，以点为圆心，线段的长为半径画弧与边交于点，连结． （1）求证：． （2）当点E在AD边的延长线上时，若，求线段的长． 题型八 直角三角形相似的判定 解题技巧提炼 常用结论：(1)有两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似. (2)一个直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似. 1．如图，在中，.CD是斜边AB上的高，若得到这个结论可证明(    )    A． B． C． D．无法判断 2．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　） A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 题型九 旋转过程中的相似 解题技巧提炼 旋转相似比较综合，涉及知识点广泛，有图形的旋转变换，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理等等，利用好这些知识是解题的关键． 1．如图，一副三角板，，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②；③平分；④．    A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.4 相似三角形的判定 知识点一 相似三角形的概念 ★1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. ★2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. ★3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 ★4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 知识点二 相似三角形的预备定理和判定定理 ★1. 相似三角形的预备定理 内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似 简述 平行截得两个三角形相似(“A”字或“8”字) 基本图形 符号表示 ∵,∴ ★2. 相似三角形判定定理1 内容 如果一个三角形的两角与另一个三用形的两用对应相等,那么这两个三角形相似 简述 两角对应相等,两个三角形相似(A.A) 基本图形 符号表示 在与中，∵,∴ 常见图形 隐藏条件：公共角、对顶角 ★3. 相似三角形判定定理2 内容 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似 简述 两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似(S.A.S) 基本图形 符号表示 在与中，∵,∴ 常见图形 注意：（1）利用判定定理2时必须注意:满足的条件是两边对应成比例，及其夹角相等，而不是某边的对角相等. （2） 一般地，当题目中既有角之间的关系，又有线段之间的比例关系时易采用判定定理2. 方法总结： 利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法 先找到两个三角形中相等的角，再分别找到这两个三角形中央这个等角的两条边,计算对应边是否成比例,如果成比例,则这两个三角形相似,否则不相似. ★4. 相似三角形判定定理3 内容 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似 简述 三边对应成比例,两个三角形相似.(S.S.S) 基本图形 符号表示 在与中，∵,∴ 知识点三 直角三角形相似的判定定理 内容 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 简述 斜边和直角边对应成比例,两个直角三角形相似 基本图形 符号表示 在与中，∵,∴ 注意：（1）要说明两个直角三角形相似，只需满足斜边和一条直角边对应成比例，也就是说仅用直角三角形的斜边和直角边也可以说明两个直角三角形相似.一般地，当题目中出现直角三角形时，除了想到前面的方法外，还要多联系本方法. （2）直角三角形相似的判定定理不具有一般性，仅适用于直角三角形.在运用该定理时，需要先判定两个三角形是直角三角形. 知识点四 判定三角形相似的方法选择 要证明两个三角形相似的方法有: 方法1:平行得相似 方法2:两角对应相等得相似 方法3:两边对应成比例且夹角相等得相似方法 方法4:三边对应成比例得相似 题型一 三边成比例的两个三角形相似 解题技巧提炼 判断两个三角形三边是否成比例的方法 首先分别计算出两个三角形的三边长，将两个三角形的边分别按大小顺序排列，再计算它们对应边的比,最后由对应边的比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例 1．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】A 【分析】分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2； ②三角形的三边的长度为：，2，； ③三角形的三边的长度为：，3，； ④三角形的三边的长度为：，，3； ∵， ∴相似三角形的是①和②， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 2．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为 ． 【答案】 【分析】根据题目中三角形的边长计算出两个相似三角形的相似比,则第三边可利用三边对应成比例进行计算. 【详解】由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为:, 故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法. 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： （1）试证明三角形△ABC为直角三角形； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； （3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）． 【答案】(1)证明见解析；（2）相似，（3）作图见解析. 【详解】试题分析：（1）利用网格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可； （2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可； （3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可． 解：（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25； ∴AB2+AC2=BC2， 根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形； （2）△ABC和△DEF相似． 由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5， DE=4，DF=2，EF=2． ====， ∴△ABC∽△DEF． （3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5， ∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2， AB=2，AC=，BC=5， ∴===， ∴△ABC∽△P2P4 P5． 考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定． 题型二 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 解题技巧提炼 在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. 1．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案． 【详解】∵由图可知，， ∴，， A．选项中三角形是等边三角形，各角的度数都为，不与相似； B．选项中三角形各角的度数分别是，，不与相似； C．选项中三角形各角的度数分别为，，不与相似； D．选项中三角形各角的度数分别为，，与相似； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大． 2．如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且．    (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形对应边成比例． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先得出四边形为平行四边形，则，根据相似三角形的性质得出，求出，即可解答； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE． (1)若AD•AB＝AE•AC．求证：ADE∽ACB； (2)若AB=8，AC=6，AD=3，直接写出：当AE= 时，ADE与ACB相似． 【答案】(1)见解析 (2)或4 【分析】（1）将恒等式变形，进而根据夹角相等，两边对应成比例即可证明三角形相似； （2）分和两种情况分析，根据相似三角形的性质列出比例式代入数值计算即可． 【详解】（1）证明：∵AD⋅AB＝AE⋅AC， ∴ 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB （2）ADE与ACB中，是公共的，则存在两种情形， ①当时， ，又AB=8，AC=6，AD=3， 即 解得 ②当时， ，又AB=8，AC=6，AD=3， 即 解得 综上所述，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型三 在网格中构造相似三角形 解题技巧提炼 格点图中判定两个三角形相似的基本方法 (1)如果可以在格点图中判断出一组角相等,只需判断这组等角的两条邻边是否对应成比例即可; (2)如果不能在格点图中找到相等的角,需要计算三边之比,“长比长,短比短”,然后判断三组边是否对应成比例即可. 1．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】根据网格图形可得所给△EFG是两直角边分别为1，2的直角三角形，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可． 【详解】解：观察图形可得△EFG中，直角边的比为， 观各选项，，只有D选项三角形符合，与所给图形的三角形相似． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键． 2．如图，正方形与在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与相似的是（　　） A．以点E、F、A为顶点的三角形 B．以点E、F、B为顶点的三角形 C．以点E、F、C为顶点的三角形 D．以点E、F、D为顶点的三角形 【答案】C 【分析】中，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断A、B、D；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断C． 【详解】解：由题意可得，中，，， ． A、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； B、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； C、中，，，， ∵， ∴， 即与相似，故本选项符合题意； D、中，，则与不相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握判定两个三角形相似的方法是解题的关键．两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，三组对应边的比相等的两个三角形相似． 3．如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上． (1)请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA； (2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的定义作图即可． （2）借助勾股定理求出AB的长度，根据相似三角形的判定定理证明． 【详解】（1）如图，点D是所求作的点， （2）证明：，BC＝5，BD＝1， ，， ， ∵∠DBA＝∠ABC， ∴△ABD∽△CBA． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、勾股定理，解决本题的关键是熟悉相似三角形的判定定理． 题型四 分类讨论相似三角形 解题技巧提炼 利用边角关系判定三角形相似时，一定要考虑点在不同的位置时，相似三角形的对应边不同的情况，要分类讨论. 1．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（    ）．    A．5 B． C．或4 D．5或 【答案】D 【分析】根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到或，设BF=x，则CF=10-x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案． 【详解】解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，    ∴BF=B′F， 设BF=x，则CF=10-x， ∵当△B′FC∽△ABC， , ∵AB=8，BC=10， ∴，解得：x=， 即：BF=， 当△FB′C∽△ABC，， ， 解得：x=5， 故BF=5或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，以及图形的折叠问题，解此题的关键是设BF=x，根据相似三角形的性质列出比例式． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P在y轴移动上，连接BP，过A点作直线BP的垂线，垂足为E，交x轴于点F，若，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的几何综合应用，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，分类讨论点P在不同位置时的情形是解题的关键．设点P的坐标为，先求出点A和点B的坐标，分点P在y轴负半轴上，在线段上和在的延长线上三种情况讨论，分别证明，求出的长，再根据，即可列方程求解答案． 【详解】解：设点P的坐标为， 令，则， ， ，， 令，则， 解得， ， ， 当点P在y轴负半轴上时， 如图，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； 当点P在线段上时， 如图，同理可证 ， ， ， ， ， ， ， 方程无解，不合题意，舍去； 当点P在的延长线上时， 如图，同理可证 ， ， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接． (1)请直接写出b，c的值； (2)若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接． ①设线段的长为h，求h与m的函数关系式； ②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②相似，或 【分析】（1）根据矩形的性质求出，再代入，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，可得点M的坐标为，点P的坐标为，从而得到的长，即可求解；②由题意，得：，，，从而得到的长，再结合相似三角形的性质分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴， ∴， 把点代入得： ，解得：； （2）解：①设直线的表达式为， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 又抛物线的表达式为， ∴由题意得：点M的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∴h与m的函数关系式为，其中． ②由题意，得：，，， ， ∵， ∴若以P，C，F为顶点的三角形与相似，需分两种情况： 如图1，若，则， ∴， ∵，， ∴， 此时点E的坐标为； 如图2，若，则， ∴， ∵，， ∴， 此时点E的坐标为． 综上所述：当以P，C，F为顶点的三角形与相似时，点E的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． 题型五 剪切法在相似三角形判定中的应用 解题技巧提炼 将剪下的涂色部分的三角形与原三角形分别进行判定，注意找准对应边和对应角的关系. 1．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12． A．因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．因为 ，对应边，又∠A＝∠A，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C．因为 ，对应边，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、因为 ，对应边， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键． 2．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）    A．    B．    C．    D．    【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4． A、∵ = = ，对应边 = = ， ≠， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B、∵ = ，对应边 = ，即： = ，∠C=∠C， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C、∵ = ，对应边 = =， ≠ ， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、∵ = = ， = ， ≠， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误. 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 3．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故选：B 题型六 相似三角形中的动点、存在性问题 解题技巧提炼 利用相似三角形解决动点问题的策略 求解三角形中的动点问题时，一般先根据条件灵活设置参数，再由两个三角形相似列比例式，最后把相关数据代入比例式中求解即可. 1．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，分别列出比例式求解即可 【详解】解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t， ∴AD＝6﹣t， ∵∠A＝∠A， ∴分两种情况： ①当时，＝ 即＝，解得：t＝； ②当时，＝ 即＝，解得：t＝； 综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似． 故答案为：或 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．已知的两直角边，的长分别为和，动点从点开始沿边向点运动，速度为；动点从点开始沿边向点运动，速度为．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时与相似？ 【答案】2.4秒或秒． 【分析】分和两种情形求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则由题意得：，， 当时， ， ∴， 解得，． 当时， ， ∴， 解得，． ∴经过2.4秒或秒，与相似． 【点睛】本题考查了有公共角的三角形相似问题，熟练掌握分第三边平行和不平行两种情形求解是解题的关键． 3．如图，点M的坐标为，点A在第一象限，轴，垂足为B，. (1)如果是等腰三角形，求点A的坐标； (2)设直线MA与y轴交于点N，则是否存在与相似？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由.    【答案】(1)点A的坐标是或或；(2)存在，点A的坐标为或. 【分析】（1）是等腰三角形的情况有三种：①，②，③，根据点M的坐标和勾股定理分别求出在不同情况下点A的对应的坐标即可；（2）根据相似三角形的性质，可得,，根据比例的性质，可得， ，构建方程组，可解得答案． 【详解】【解】(1)设，，① 当时，则， 即.② 由①②得，， 解得，即. 当时，则，即.③ 由①③得， 解得，或，即. 当时，则，即.④ 由①④得， 解得或，( 舍去)，即. 综上所述，如果是等腰三角形，点A的坐标是或或. (2)存在点A，使以M，O，N为顶点的三角形与相似. 当时.，故， 则，0. 直线MN的解析式为，⑤ 曲①⑤，解得，； 当时.，， 则，， 直线MN的解析式为，⑥ 由①⑥得，解得.. 综上所述，当点A的坐标为或时，与相似. 【点睛】本题考查的知识点有相似三角形的判定、相似三角形的性质、一次函数解析式的建模，解题的关键在于根据判定相似所需要的对应边成比例的条件（或两三角形相似对应边成比例）构成方程（方程组）． 题型七 两角分别相等的两个三角形相似 解题技巧提炼 一般地，公共角、对顶角、同角(或等角)的余角(或补角)都是相等的角，解题时应注意挖掘题中的隐含条件. 1．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ACD∽△ADE， ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB， ∵∠B=∠DCE， ∴△CDE∽△BCD， 故共4对， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如图，在中，，，，将沿着图示中虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． (1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； (2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 【答案】(1)①，③ (2)证明见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定可以知道②、④的剪法不能得到相似三角形． （2）根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形即可证明． 【详解】（1）解：①剪下的角与原三角形有两个对应角相等，故两三角形相似，所以①正确； ②由题，，，，虽然，但无法确定夹角相等， 也无法确定DE与BC的比值，故 ，不相似，所以②错误． ③由题，，，， ∴，； 即， ∵是公共角． ∴ 故③正确 ④在，角形中有，但是无法确定，无法确定所以④错误． 故选：①，③ （2）解：①∵， ∴ 根据相似三角形的判定：两角分别对应相等的三角形是相似三角形 ∴． 解：③∵，，，， ∴，； 即， ∵是公共角． ∴ 根据相似三角形的判定：两别对应成比例，夹角相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定定理． 3．已知：如图在中，为的平分线，交于，以点为圆心，线段的长为半径画弧与边交于点，连结． （1）求证：． （2）当点E在AD边的延长线上时，若，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）由画图可知BE=BD，得到∠BED=∠BDE，结合角平分线的定义得到∠BAD=∠DAC，从而证明△ABE∽△ACD； （2）同理证明△ABE∽△ACD，得到，从而可得AE的长． 【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC， 又∵BE，BD是以B为圆心，BD为半径的圆的半径， ∴BE=BD， ∴∠BED=∠BDE， ∴∠AEB=∠ADC， ∴△ABE∽△ACD； （2）如图， 同理：△ABE∽△ACD， ∴， 题型八 直角三角形相似的判定 解题技巧提炼 常用结论：(1)有两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似. (2)一个直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似. 1．如图，在中，.CD是斜边AB上的高，若得到这个结论可证明(    )    A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】根据CD是高可得到，再根据得，从而可以判定． 【详解】根据题意可得，结合可得. 故选：C 【点睛】本题考查的知识点三角形相似的判定，关键是根据等积式写成比例式，然后根据比例式的特点准确的找到相对应的两个相似的三角形． 2．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　） A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE 【答案】D 【分析】由BD⊥AC，AE⊥BC，可得∠BDC＝∠AEC＝90°，由∠EBF=∠DBC，可证△BFE∽△BCD，可判断A；由△BFE∽△BCD，可得∠BFE=∠C，由∠AFD=∠BFE=∠C，和∠ADF=∠BDC=90°可证△ADF∽△BDC可判断B；由∠BDC＝∠AEC＝90°，∠BCD=∠ACE，可证△BDC∽△AEC，可判断C，由，可得，由△BFE∽△BCD，可得可得，由∠BDC=∠AEB=90°，若△ABE∽△BCD， 连结FC，可得△CEF∽△BDC，由∠FEC=∠CDB=90°只要满足∠FCE=∠DBC，应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，已知中没有点E为BD中点条件可判断D． 【详解】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠BDC＝∠AEC＝90°， ∵∠EBF=∠DBC ∴△BFE∽△BCD，故选项A正确； ∴∠BFE=∠C， ∵∠AFD=∠BFE=∠C， 又∵∠ADF=∠BDC=90°， ∴△ADF∽△BDC，故选项B正确； ∵∠BDC＝∠AEC＝90°， ∴∠BCD=∠ACE， ∴△BDC∽△AEC， ∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确； ∵， ∴， ∵△BFE∽△BCD， ∴， ∴， ∵∠BDC=∠AEB=90°， 若△ABE∽△BCD， 满足条件， 即， ∴满足即， 连结FC， 应有△CEF∽△BDC， ∵∠FEC=∠CDB， ∴只要满足∠FCE=∠DBC， 应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点， 已知中没有点E为BD中点条件， ∴△BAE不一定与△BCD相似， 故选项D不正确． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的选项是解题关键 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个． 【答案】4 【分析】根据等角或同角的余角相等，证明三角形相似即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC， ∴ 又 又 ， 又 与△ABC相似的三角形有，，，，共计4个 故答案为：4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的的判定定理是解题的关键． 题型九 旋转过程中的相似 解题技巧提炼 旋转相似比较综合，涉及知识点广泛，有图形的旋转变换，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理等等，利用好这些知识是解题的关键． 1．如图，一副三角板，，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：选项B，∵， ∴，故选项B不合题意； 选项C，如图，设与交于点O， ∵， ∴，故选项C不合题意； 选项D，∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项D不合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 2．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（    ） ①；②；③平分；④．    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数； ②因为与不一定相等，根据三角形相似的判定即可作出判断； ③证明，得，即可； ④，，，根据勾股定理判断． 【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵，， ∴， 但与不一定相等， ∴与不一定相似，故结论②错误； ③∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故结论③正确； ④∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， 又∵， ∴，故结论④正确， ∴结论正确的个数有个． 故选：C． 【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键． 3．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$