专题04近似值与估算十大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以十大题型为框架，系统整合近似值与估算的概念辨析、方法提炼及实际应用，构建从基础到进阶的解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |准确值与近似值|2典例+3变式|概念辨析（准确值无误差/近似值带估算词）|从概念区分切入，建立对数值精确性的认知| |确定精确度|2典例+3变式|三规则（普通小数看末位/万/亿单位还原数位/科学记数法还原）|深化对精确度本质的理解，突破单位转换易错点| |求近似值|2典例+3变式|四舍五入步骤+进一/去尾法（实际场景）|从纯数值计算过渡到实际问题，培养应用意识| |无理数估算|5题型（范围/求值/最接近值/比较/整数小数部分）|夹逼法（平方夹逼）+差值比较+整数小数部分定义|从有理数拓展到无理数，形成完整估算逻辑链|

专题04 近似值与估算十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01准确值与近似值 题型02 确定精确度 题型03 求一个数的近似值 题型04 由近似值确定准确值的范围 题型05 实际问题与近似值 题型06估算无理数的范围 题型07已知估算的范围求值 题型08 估算无理数最接近的值 题型09 利用估算比较数的大小 题型10 无理数整数部分与小数部分问题 ▌题型01 准确值与近似值 【典例1-1】【答案】B 【典例1-2】【答案】C 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】(1)准确数 (2)近似数 (3)准确数 (4)近似数 【分析】根据近似数和准确数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：实验室里有18盏日光灯，18是准确数． （2）解：某人的身高是168厘米，其中168厘米是近似数． （3）解：多媒体教室共有45台电脑，其中45是准确数． （4）解：世界著名海峡马六甲海峡长1080千米，其中1080千米是近似数． 【点睛】此题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数． ▌题型02 确定精确度 【典例2-1】【答案】③ 【典例2-2】【答案】百 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】 【答案】(1)身高精确到千分位，体重精确到十分位 (2)精确到个位 (3)精确到百分位 【分析】本题考查了近似数的精确度，理解近似数的求法是解题关键． （1）、（2）、（3）近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定，据此求解即可． 【详解】（1）解：身高的最后一位数字是7，位于千分位，因此精确到千分位； 体重的最后一位数字是7，位于十分位，因此精确到十分位； （2）收入元的最后一位数字是8，位于个位，因此精确到个位； （3）海拔的最后一位数字是6，位于百分位，因此精确到百分位． 【变式1-3】 【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位 【分析】（1）根据近似数的精确度求解； （2）根据近似数的精确度求解； （3）根据近似数的精确度求解； （4）根据近似数的精确度求解． 【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位， ∴600万精确到万位； （2）解：∵7.03万的末尾为百位， ∴7.03万精确到百位； （3）解：∵5.8亿的末尾为千万位， ∴5.8亿精确到千万位； （4）解：∵3.30×105的末尾为千位， ∴3.30×105亿精确到千位； 【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键． ▌题型03 求一个数的近似值 【典例3-1】【答案】D 【典例3-2】【答案】D 【变式1-1】【答案】A 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2330万． 【分析】由四舍五入取近似值时，由精确的那个数位起，如果后面一位上的数字大于等于5，则向前入一个，如果后面一位上的数字小于5，则马上舍去． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）2330万． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，科学计算法，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示． ▌题型04 由近似值确定准确值的范围 【典例4】【答案】A 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． ▌题型05 实际问题与近似值 【典例5】 【答案】 【分析】用行程的时间的一半的小时数乘以速度，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，最后按要求精确到百万位解答． 【详解】解：． 故火星和地球之间的距离大约是． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，即确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．准确确定出与的值是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值. 确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】解：由题意，得 ． ． 故“蛟龙”号达到最大工作设计深度时，艇身所承受的全部压力约为． 【变式1-2】 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． 【变式1-3】 【答案】三峡水电站可同时供约个普通家庭一年的用电 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， （个）． 答：三峡水电站可同时供约个普通家庭一年的用电． ▌题型06 估算无理数的范围 【典例6-1】【答案】B 【典例6-2】【答案】C 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】B ▌题型07 已知估算的范围求值 【典例7-1】【答案】C． 【典例7-2】【答案】B 【变式1-1】【答案】C 【变式1-2】【答案】A． 【变式1-3】【答案】3． ▌题型08 估算无理数最接近的值 【典例8-1】【答案】A 【典例8-2】【答案】35． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】A ▌题型09 利用估算比较数的大小 【典例9-1】【答案】 【典例9-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数大小比较，立方根的运算，可通过化简，估算无理数大小后比较，得到结果． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 理由：三个数为、、，三个数均为正数， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出；根据立方根等于本身的数为，求出；根据算术平方根的整数部分和小数部分确定方法求出； （2）先求出三个数，再根据无理数的大小比较方法解答即可． 【详解】（1）解：∵有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和， ∴， 解得； ∵，立方根等于本身的数为， ∴， 将代入得：，解得； ∵， ∴的整数部分为，小数部分； （2）略 【变式1-3】 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． ▌题型10 无理数整数部分与小数部分问题 【典例10-1】 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用算术平方根估算，确定式子的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； （2）先利用算术平方根估算，确定式子，的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，m是整数，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 即， ∵，．其中，是整数，，， ∴，， ∴． 【典例10-2】 【答案】(1)2； (2)； (3) 【分析】（1）估算出，从而即可得出结果； （2）估算出，从而即可得出结果； （3）估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是2，小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是，小数部分是； （3）解：∵， ∴，即， ∴，即， ∵整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴． 【变式1-1】 【答案】(1)3； (2)1； (3)19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3； （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ； （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可； （2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可； （3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∵ 其中是整数，且， ∴， ∴； ∴， ∴的相反数为：． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 近似值与估算十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01准确值与近似值 题型02 确定精确度 题型03 求一个数的近似值 题型04 由近似值确定准确值的范围 题型05 实际问题与近似值 题型06估算无理数的范围 题型07已知估算的范围求值 题型08 估算无理数最接近的值 题型09 利用估算比较数的大小 题型10 无理数整数部分与小数部分问题 ▌题型01 准确值与近似值 必备概念 1. 准确值：完全精确、无误差，可数清点的数量。 例：班里 36 人、一盒 10 支笔。 2. 近似值：和真实值接近，存在误差；带 “约、大约、左右、近”，测量、统计大数都是近似值。 例：全校约 1200 人、身高 1.70 米。 【典例1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）的问世吸引了无数人的目光，其中大语言模型参数量约为，在预训练阶段仅使用2048块训练了约2个月的时间，且训练费用仅560万美元左右．上述信息中，准确数是（　　） A．671 B．2048 C．2 D．560 【典例1-2】下列语句中给出的数字，是近似数的是（   ） A．小王所在班有50人 B．一本书186页 C．小张的身高是厘米 D．小李数学考试成绩是115分 【变式1-1】（步步高七年级数学寒假作业-作业十）下列各题中的数，是准确数的是（　　） A．七年级有1000名学生 B．月球离地球的距离约为38万千米 C．小明身高大约是159cm D．今天的气温估计在26℃左右 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）下列不属于近似数的是（   ） A．我国有13亿人口 B．张明身高1.80米 C．我国人口的平均寿命为74岁 D．八年级二班有59名学生 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·随堂练习）下面表述中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ (1)实验室里有18盏日光灯； (2)某人的身高是168厘米； (3)多媒体教室共有45台电脑； (4)世界著名海峡马六甲海峡长1080千米． ▌题型02 确定精确度 必备规则 1. 普通小数：末尾数字所在数位就是精确度。 3.6（精确到十分位 / 0.1）；3.60（精确到百分位 / 0.01）。 2. 带万 / 亿单位：先还原成原数，看最后一位对应数位。 4.2 万 = 42000，末位 2 在千位，精确到千位。 3. 科学记数法：只看最后一位还原后的数位。 ，末位 2 在个位，精确到个位。 易错必备提醒 小数末尾的 0 不能删，0 代表更高精度；3.6 和 3.60 精确度不同。 【典例2-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）下列说法错误的有______． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 【典例2-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）“苏超”总决赛现场观赛人数约为万，近似值万精确到_______位． 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）2025年1-9月份靖江市GDP总值预计为亿元，数字精确到百位可表示为___________．(用科学记数法表示) 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，请写出它们各是精确到哪一位： (1)某地区成年男性的平均身高为，平均体重为． (2)2024年我国城镇居民家庭人均可支配收入为元． (3)珠穆朗玛峰是世界第一高峰，海拔为． 【变式1-3】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 ▌题型03 求一个数的近似值 四舍五入解题步骤 1. 看清要求精确到哪一位，定位目标数位； 2. 观察后一位数字：≥5 进 1，＜5 直接舍去后面所有数； 3. 大数、科学记数法近似，四舍五入后再改写单位。 实际场景两种特殊取法（必备） 1. 进一法：运货、装桶、租车，剩余部分也要多算一份，小数直接向上进 1； 2. 去尾法：裁剪布料、买商品，不足一份直接全部舍去小数部分。 【典例3-1】用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东广州·期末）2025年9月29日，随着广州东站十一号线的开通，广州地铁线网运营里程已达768.44公里．数据768.44公里精确到十分位的近似值是（    ） A．768.4公里 B．768.5公里 C．768公里 D．770公里 【变式1-2】（25-26六年级上·山东泰安·期末）2025年，某科幻电影热映，影片中描述了人类为了寻找新能源，计划派遣探测器前往距离地球约1.5亿公里的恒星系．在影片设定的资料中提到，该恒星的体积巨大，其直径约 139万公里，质量更是达到了地球的33万倍．若将数据139万公里用科学记数法表示，并精确到十万位，则表示正确的为（   ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【变式1-3】用四舍五入法，把下列各数按括号内的要求取近似值． （1）0.2595（精确到千分位）；      （2）3.592（精确到0.01）； （3）20049（精确到百位）；         （4）2330万（精确到百万位）． ▌题型04 由近似值确定准确值的范围 设近似数精确到单位 最小值 = 近似数 最大值 ＜ 近似数 区间格式：最小值 ≤ 准确值 ＜ 最大值 【典例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． ▌题型05 实际问题与近似值 两类解题逻辑 1. 纯数值计算、统计估算题：正常用四舍五入； 2. 生活应用题分两类： · 装载、运输、分装容器→进一法； · 材料裁剪、购买整件商品→去尾法。 答题必备规范 算出结果后必须结合题意判断取舍，不能直接四舍五入；答题写明取舍理由。 【典例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）假如有一个到火星旅行的计划，来回的行程大约需要4年（其中在火星上停留410天）．已知这个旅行的路程平均速度是，那么火星和地球之间的距离用科学记数法表示大约是多少千米（一年按365天计算，结果精确到百万位）？ 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）“蛟龙”号载人潜水器是一艘由中国自行设计、自主集成研制的载人潜水器，是中国人的骄傲．“蛟龙”号的体积约为，长、宽、高分别为、、，最大工作设计深度为．在大海中，每下潜10m，每需要增加承受的压力．计算一下，“蛟龙”号达到最大工作设计深度时，艇身所承受的全部压力约为多少千克（用科学记数法表示，精确到千万位，艇身所承受的全部压力指的是“蛟龙”号所有面受到的压力，因艇自身高度引起的压力变化可忽略不计）？ 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·寒假作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【变式1-3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）三峡工程是中国，也是世界上最大的水利枢纽工程，是治理和开发长江的关键性骨干工程．它具有防洪、发电、航运等综合效益．三峡水电站总装机容量为万千瓦，某年的年发电量为亿千瓦·时．一个普通家庭一天用电5千瓦·时，三峡水电站可同时供多少个普通家庭一年的用电？（结果精确到万位，一年按365天计） ▌题型06 估算无理数的范围 必备核心方法：夹逼法（平方夹逼） 1. 找到两个相邻整数，分别平方； 2. 使无理数被夹在两个平方数之间； 3. 开方得到无理数在哪两个整数之间。 【典例6-1】实数在哪两个连续整数之间（     ） A．3与4 B．4与5 C．5与6 D．12与13 【典例6-2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东枣庄·三模）估计的值应在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【变式1-2】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）估计在哪两个整数之间（     ） A．24与25 B．3与4 C．4与5 D．5与6 【变式1-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如果，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌题型07 已知估算的范围求值 必备解题流程 1. 先用夹逼法确定无理数的整数区间； 2. 根据题干给出的限制条件（整数、正整数、正负）锁定数值； 3. 代入代数式计算结果。 关键要点 看清题干限定：x 为整数、正数、自然数，排除不符合区间的数。 【典例7-1】已知n为整数，且，则n等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例7-2】若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，则整数n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】若，则整数a的值不可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】已知a，b为两个相连的整数，满足a11＜b，则a+b的立方根为 　 　． ▌题型08 估算无理数最接近的值 两步必备解法 1. 夹逼确定无理数在和两个整数之间； 2. 计算无理数与两个整数平方的差值，差值更小的就是最接近的整数。 例：， ，差值 2 更小，最接近 4。 【典例8-1】估计的值更接近（    ） A．3 B．4 C．9 D．10 【典例8-2】定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为 　 ． 【变式1-2】实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1-3】下列数中与最接近的整数是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式1-3】如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 ▌题型09 利用估算比较数的大小 三种必备方法 1. 同号算术平方根：两边同时平方，比较被开方数，被开方数大则原数大； 2. 无理数与有理数比：把有理数写成带根号形式，再比较被开方数； 3. 负数无理数：平方越大，原负数越小。 规范步骤 两边同时平方（正数不改变不等号方向），化简后对比。 【典例9-1】比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 【典例9-2】阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【变式1-1】比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： (1)__________； (2)__________； (3)__________． 【变式1-2】（25-26七年级下·四川广元·期末）有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和；代数式的立方根等于它本身，且；无理数的小数部分记作 c． (1)求a， b， c的值； (2)比较，，的大小，用“<”连接并说明理由． 【变式1-3】如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． ▌题型10 无理数整数部分与小数部分问题 必备基础定义 1. 整数部分：不大于该无理数的最大整数，记作； 2. 小数部分 = 原数 − 整数部分，小数部分恒满足小数部分。 标准解题步骤 1. 夹逼法找出无理数在哪两个整数之间，确定整数部分； 2. 小数部分无理数； 3. 代入式子化简求值。 【典例10-1】根据资料，回答问题． 如果，其中是整数，，那么，． (1)已知，其中是整数，，那么________，________； (2)已知，．其中，是整数，，，求的值． 【典例10-2】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为，将减去其整数部分，所得的差就是其小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设整数部分是，小数部分是，求的值． 【变式1-1】综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 【变式1-2】（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 【变式1-3】（25-26七年级下·河南信阳·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 近似值与估算十大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01准确值与近似值 题型02 确定精确度 题型03 求一个数的近似值 题型04 由近似值确定准确值的范围 题型05 实际问题与近似值 题型06估算无理数的范围 题型07已知估算的范围求值 题型08 估算无理数最接近的值 题型09 利用估算比较数的大小 题型10 无理数整数部分与小数部分问题 ▌题型01 准确值与近似值 必备概念 1. 准确值：完全精确、无误差，可数清点的数量。 例：班里 36 人、一盒 10 支笔。 2. 近似值：和真实值接近，存在误差；带 “约、大约、左右、近”，测量、统计大数都是近似值。 例：全校约 1200 人、身高 1.70 米。 【典例1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）的问世吸引了无数人的目光，其中大语言模型参数量约为，在预训练阶段仅使用2048块训练了约2个月的时间，且训练费用仅560万美元左右．上述信息中，准确数是（　　） A．671 B．2048 C．2 D．560 【答案】B 【分析】本题考查了近似数、准确数的判断，准确数是指精确计数的数，而非近似值．题干中“2048块”没有近似修饰词，是准确数；而“约为”“约2个月”“560万美元左右”均表示近似的数量. 【详解】∵准确数是精确计数的数， 题干中约为“”表示约，是近似数；“2048块”无近似词，是准确数； “约2个月”有“约”，是近似数； “560万美元左右”有“左右”，是近似数， ∴准确数是2048， 故选：B． 【典例1-2】下列语句中给出的数字，是近似数的是（   ） A．小王所在班有50人 B．一本书186页 C．小张的身高是厘米 D．小李数学考试成绩是115分 【答案】C 【分析】此题考查了近似数的概念，解题的关键是熟练掌握近似数的概念．近似数：用四舍五入法表述，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． 根据近似数的概念求解即可． 【详解】解：A．小王所在班有50人中的50为准确数，所以A选项不符合题意； B．一本书186页中的186为准确数，所以B选项不符合题意； C．小张的身高是厘米中的为近似数，所以C选项符合题意； D．小李数学考试成绩是115分中115为准确数，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】（步步高七年级数学寒假作业-作业十）下列各题中的数，是准确数的是（　　） A．七年级有1000名学生 B．月球离地球的距离约为38万千米 C．小明身高大约是159cm D．今天的气温估计在26℃左右 【答案】A 【分析】准确数是与近似数的概念是相对的，就是真实的数值，近似数就是与准确值比较接近的一个数值． 【详解】解： B、C、D中有标志性的词语：约、大约、估计，故都是近似数；A中，1000是一个准确数． 故选A． 【点睛】本题主要考查了准确数与近似数的概念．只要是测量得到的数据以及大型的统计中得到的数据，都是近似数． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）下列不属于近似数的是（   ） A．我国有13亿人口 B．张明身高1.80米 C．我国人口的平均寿命为74岁 D．八年级二班有59名学生 【答案】D 【分析】本题考查了近似数．根据近似数和精确数的定义进行判断． 【详解】解：A、我国有13亿人口，其中13亿为近似数，所以本选项不符合题意； B、张明身高1.80米，其中1.80为近似数，所以本选项不符合题意； C、我国人口的平均寿命为74岁，其中74为近似数，所以本选项不符合题意； D、八年级二班有59名学生，其中59为精确数，它不是近似数，所以本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·随堂练习）下面表述中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ (1)实验室里有18盏日光灯； (2)某人的身高是168厘米； (3)多媒体教室共有45台电脑； (4)世界著名海峡马六甲海峡长1080千米． 【答案】(1)准确数 (2)近似数 (3)准确数 (4)近似数 【分析】根据近似数和准确数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：实验室里有18盏日光灯，18是准确数． （2）解：某人的身高是168厘米，其中168厘米是近似数． （3）解：多媒体教室共有45台电脑，其中45是准确数． （4）解：世界著名海峡马六甲海峡长1080千米，其中1080千米是近似数． 【点睛】此题主要考查对近似数和精确数的概念的理解，注意它们的区别，准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数． ▌题型02 确定精确度 必备规则 1. 普通小数：末尾数字所在数位就是精确度。 3.6（精确到十分位 / 0.1）；3.60（精确到百分位 / 0.01）。 2. 带万 / 亿单位：先还原成原数，看最后一位对应数位。 4.2 万 = 42000，末位 2 在千位，精确到千位。 3. 科学记数法：只看最后一位还原后的数位。 ，末位 2 在个位，精确到个位。 易错必备提醒 小数末尾的 0 不能删，0 代表更高精度；3.6 和 3.60 精确度不同。 【典例2-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）下列说法错误的有______． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 【答案】③ 【分析】本题考查精确度，根据近似数的精确度概念，逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①近似数万表示，数字在千位上，所以精确到千位，说法正确； ②近似数百万表示，精确到百万位；近似数万表示，精确到万位，所以精确度不同，说法正确； ③近似数精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，说法错误； ④数精确到万位，万位是，千位是，四舍五入得，用科学记数法表示为，说法正确． 故说法错误的有③． 故答案为：③ 【典例2-2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）“苏超”总决赛现场观赛人数约为万，近似值万精确到_______位． 【答案】百 【分析】本题考查了求近似数的精确度．近似值万可化为62300，其中数字3在百位上，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：近似值万表示实际人数为62300人，最后一位数字3位于百位， 因此精确到百位， 故答案为：百 【变式1-1】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）2025年1-9月份靖江市GDP总值预计为亿元，数字精确到百位可表示为___________．(用科学记数法表示) 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，先将原数用科学记数法表示，再根据精确度的要求，对科学记数法表示的数进行四舍五入，从而得到精确到百位的结果． 【详解】解：对于1053.35，要写成科学记数法，将其变为1.05335，此时小数点向左移动了3位，则， 将其精确到百位，在中，十位上的数字是5， ∴通过四舍五入，精确到百位后为， 因此，数字1052.35精确到百位可表示为． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各数都是用四舍五入法得到的近似数，请写出它们各是精确到哪一位： (1)某地区成年男性的平均身高为，平均体重为． (2)2024年我国城镇居民家庭人均可支配收入为元． (3)珠穆朗玛峰是世界第一高峰，海拔为． 【答案】(1)身高精确到千分位，体重精确到十分位 (2)精确到个位 (3)精确到百分位 【分析】本题考查了近似数的精确度，理解近似数的求法是解题关键． （1）、（2）、（3）近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定，据此求解即可． 【详解】（1）解：身高的最后一位数字是7，位于千分位，因此精确到千分位； 体重的最后一位数字是7，位于十分位，因此精确到十分位； （2）收入元的最后一位数字是8，位于个位，因此精确到个位； （3）海拔的最后一位数字是6，位于百分位，因此精确到百分位． 【变式1-3】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位 【分析】（1）根据近似数的精确度求解； （2）根据近似数的精确度求解； （3）根据近似数的精确度求解； （4）根据近似数的精确度求解． 【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位， ∴600万精确到万位； （2）解：∵7.03万的末尾为百位， ∴7.03万精确到百位； （3）解：∵5.8亿的末尾为千万位， ∴5.8亿精确到千万位； （4）解：∵3.30×105的末尾为千位， ∴3.30×105亿精确到千位； 【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键． ▌题型03 求一个数的近似值 四舍五入解题步骤 1. 看清要求精确到哪一位，定位目标数位； 2. 观察后一位数字：≥5 进 1，＜5 直接舍去后面所有数； 3. 大数、科学记数法近似，四舍五入后再改写单位。 实际场景两种特殊取法（必备） 1. 进一法：运货、装桶、租车，剩余部分也要多算一份，小数直接向上进 1； 2. 去尾法：裁剪布料、买商品，不足一份直接全部舍去小数部分。 【典例3-1】用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的百位数字为，十位数字为， 根据四舍五入规则，精确到百位需向百位进， ∴精确到百位得到的近似数为，即． 【典例3-2】DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法与近似数，需将数字精确到百万位并用科学记数法表示，其中科学记数法的形式为，且系数a满足，然后问题可求解． 【详解】解：∵百万位为，46200000精确到百万位需看十万位（），十万位数字为， ∴舍去，得46000000， ∴， 故选D． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东广州·期末）2025年9月29日，随着广州东站十一号线的开通，广州地铁线网运营里程已达768.44公里．数据768.44公里精确到十分位的近似值是（    ） A．768.4公里 B．768.5公里 C．768公里 D．770公里 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数．直接对百分位上的数字4进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：数据768.44公里精确到十分位的近似值是768.4公里， 故选：A． 【变式1-2】（25-26六年级上·山东泰安·期末）2025年，某科幻电影热映，影片中描述了人类为了寻找新能源，计划派遣探测器前往距离地球约1.5亿公里的恒星系．在影片设定的资料中提到，该恒星的体积巨大，其直径约 139万公里，质量更是达到了地球的33万倍．若将数据139万公里用科学记数法表示，并精确到十万位，则表示正确的为（   ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，取近似数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：139万公里 公里，精确到十万位，要看万位上的数，万位上的数是9，根据四舍五入，要向十万位进1， 所以近似数是1400000公里，用科学记数法表示为公里． 故选：D． 【变式1-3】用四舍五入法，把下列各数按括号内的要求取近似值． （1）0.2595（精确到千分位）；      （2）3.592（精确到0.01）； （3）20049（精确到百位）；         （4）2330万（精确到百万位）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2330万． 【分析】由四舍五入取近似值时，由精确的那个数位起，如果后面一位上的数字大于等于5，则向前入一个，如果后面一位上的数字小于5，则马上舍去． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）2330万． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，科学计算法，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示． ▌题型04 由近似值确定准确值的范围 设近似数精确到单位 最小值 = 近似数 最大值 ＜ 近似数 区间格式：最小值 ≤ 准确值 ＜ 最大值 【典例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． 【变式1-1】（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）某运动员的体重约为，这个数是由四舍五入法得到的近似数，那么该运动员的体重的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度． 根据近似数精确到十分位，是从百分位上的数字四舍五入得到的即可得出答案． 【详解】解：∵近似数是由数x四舍五入得到的， ∴数x的取值范围是， 故选：C． 【变式1-2】（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查近似数，掌握相关知识是解决问题的关键．近似数精确到百分位，由四舍五入法则，数a的取值范围需满足四舍五入后为 【详解】解：∵近似数是由a四舍五入到百分位得到的， ∴a的最小值为（千分位为5，进一后得）， a的最大值小于（若，四舍五入后为）， ∴ 故选：B． 【变式1-3】一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． ▌题型05 实际问题与近似值 两类解题逻辑 1. 纯数值计算、统计估算题：正常用四舍五入； 2. 生活应用题分两类： · 装载、运输、分装容器→进一法； · 材料裁剪、购买整件商品→去尾法。 答题必备规范 算出结果后必须结合题意判断取舍，不能直接四舍五入；答题写明取舍理由。 【典例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）假如有一个到火星旅行的计划，来回的行程大约需要4年（其中在火星上停留410天）．已知这个旅行的路程平均速度是，那么火星和地球之间的距离用科学记数法表示大约是多少千米（一年按365天计算，结果精确到百万位）？ 【答案】 【分析】用行程的时间的一半的小时数乘以速度，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，最后按要求精确到百万位解答． 【详解】解：． 故火星和地球之间的距离大约是． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，即确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．准确确定出与的值是解题的关键． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）“蛟龙”号载人潜水器是一艘由中国自行设计、自主集成研制的载人潜水器，是中国人的骄傲．“蛟龙”号的体积约为，长、宽、高分别为、、，最大工作设计深度为．在大海中，每下潜10m，每需要增加承受的压力．计算一下，“蛟龙”号达到最大工作设计深度时，艇身所承受的全部压力约为多少千克（用科学记数法表示，精确到千万位，艇身所承受的全部压力指的是“蛟龙”号所有面受到的压力，因艇自身高度引起的压力变化可忽略不计）？ 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值. 确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】解：由题意，得 ． ． 故“蛟龙”号达到最大工作设计深度时，艇身所承受的全部压力约为． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·寒假作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． 【变式1-3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）三峡工程是中国，也是世界上最大的水利枢纽工程，是治理和开发长江的关键性骨干工程．它具有防洪、发电、航运等综合效益．三峡水电站总装机容量为万千瓦，某年的年发电量为亿千瓦·时．一个普通家庭一天用电5千瓦·时，三峡水电站可同时供多少个普通家庭一年的用电？（结果精确到万位，一年按365天计） 【答案】三峡水电站可同时供约个普通家庭一年的用电 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：， （个）． 答：三峡水电站可同时供约个普通家庭一年的用电． ▌题型06 估算无理数的范围 必备核心方法：夹逼法（平方夹逼） 1. 找到两个相邻整数，分别平方； 2. 使无理数被夹在两个平方数之间； 3. 开方得到无理数在哪两个整数之间。 【典例6-1】实数在哪两个连续整数之间（     ） A．3与4 B．4与5 C．5与6 D．12与13 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，解决本题的关键是掌握无理数估算的方法． 通过比较23与相邻整数的平方，确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴在4与5之间． 故选：B． 【典例6-2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，则实数m的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，再求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； 则， ∴， 即． 【变式1-1】（2025·山东枣庄·三模）估计的值应在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数比较大小，掌握无理数估算大小，比较大小的方法是解题的关键． 根据无理数估算大小的方法即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-2】（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）估计在哪两个整数之间（     ） A．24与25 B．3与4 C．4与5 D．5与6 【答案】D 【分析】先估算的取值范围，再根据不等式性质得到的范围，即可得到结果． 【详解】解： ，即 不等式三边同时加1，得 因此在和之间， 故选D． 【变式1-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如果，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出与26相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再推导的取值范围即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式各边同时减1，得 ，即 . ▌题型07 已知估算的范围求值 必备解题流程 1. 先用夹逼法确定无理数的整数区间； 2. 根据题干给出的限制条件（整数、正整数、正负）锁定数值； 3. 代入代数式计算结果。 关键要点 看清题干限定：x 为整数、正数、自然数，排除不符合区间的数。 【典例7-1】已知n为整数，且，则n等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C． 【分析】先估算出与的值的范围，即可解答． 【详解】解：∵36＜40＜49， ∴67， ∵49＜50＜64， ∴78， ∵n为整数，且， ∴n＝7， 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 【典例7-2】若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 【变式1-1】若，则整数n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵已知，且为整数， ∴． 【变式1-2】若，则整数a的值不可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A． 【分析】由6，23，，可求出符合条件a的整数． 【详解】解：∵6，a， ∴a＜6， ∵23， ∴整数a的值可为3或4或5， ∴整数a的值不可能为2． 故选：A． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握根式的运算是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 【变式1-3】已知a，b为两个相连的整数，满足a11＜b，则a+b的立方根为 　 　． 【答案】3． 【分析】先估算出的值的范围，从而估算出11的值的范围，然后求出a，b的值，最后代入式子中，进行计算即可解答． 【详解】解：∵4＜6＜9， ∴23， ∴1311＜14， ∵a，b为两个相连的整数，满足a11＜b， ∴a＝13，b＝14， ∴a+b＝27， ∴a+b的立方根为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键． ▌题型08 估算无理数最接近的值 两步必备解法 1. 夹逼确定无理数在和两个整数之间； 2. 计算无理数与两个整数平方的差值，差值更小的就是最接近的整数。 例：， ，差值 2 更小，最接近 4。 【典例8-1】估计的值更接近（    ） A．3 B．4 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是明确，确定更接近的值即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴的值更接近3， 故选：A． 【典例8-2】定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为 　 ． 【答案】35． 【分析】由题意得：56，然后利用平方运算，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∵56， ∴25≤n＜36， ∴n的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键． 【变式1-2】实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】通过平方数的范围确定无理数的取值区间，从而确定该实数的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分是． 【变式1-3】下列数中与最接近的整数是（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，先估算的近似值，再计算的结果，最后比较其与各选项的接近程度． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ， 进一步估算： ，， ∵ ， ∴ ． ∴， 综上，与最接近的整数是1， 故选A． 【变式1-3】如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A． 【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案． 【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：9+9=18， 则大正方形的边长为：， ∵＜＜， ∴4＜＜4.5， ∴大正方形的边长最接近的整数是4． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键． ▌题型09 利用估算比较数的大小 三种必备方法 1. 同号算术平方根：两边同时平方，比较被开方数，被开方数大则原数大； 2. 无理数与有理数比：把有理数写成带根号形式，再比较被开方数； 3. 负数无理数：平方越大，原负数越小。 规范步骤 两边同时平方（正数不改变不等号方向），化简后对比。 【典例9-1】比较大小：______；______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】先通过被开方数的大小关系判断无理数的大小，再根据实数的大小比较法则比较即可求解． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 即， ． 【典例9-2】阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： (1)__________； (2)__________； (3)__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数大小比较，立方根的运算，可通过化简，估算无理数大小后比较，得到结果． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级下·四川广元·期末）有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和；代数式的立方根等于它本身，且；无理数的小数部分记作 c． (1)求a， b， c的值； (2)比较，，的大小，用“<”连接并说明理由． 【答案】(1) (2) 理由：三个数为、、，三个数均为正数， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出；根据立方根等于本身的数为，求出；根据算术平方根的整数部分和小数部分确定方法求出； （2）先求出三个数，再根据无理数的大小比较方法解答即可． 【详解】（1）解：∵有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和， ∴， 解得； ∵，立方根等于本身的数为， ∴， 将代入得：，解得； ∵， ∴的整数部分为，小数部分； （2）略 【变式1-3】如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． ▌题型10 无理数整数部分与小数部分问题 必备基础定义 1. 整数部分：不大于该无理数的最大整数，记作； 2. 小数部分 = 原数 − 整数部分，小数部分恒满足小数部分。 标准解题步骤 1. 夹逼法找出无理数在哪两个整数之间，确定整数部分； 2. 小数部分无理数； 3. 代入式子化简求值。 【典例10-1】根据资料，回答问题． 如果，其中是整数，，那么，． (1)已知，其中是整数，，那么________，________； (2)已知，．其中，是整数，，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用算术平方根估算，确定式子的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； （2）先利用算术平方根估算，确定式子，的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，m是整数，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 即， ∵，．其中，是整数，，， ∴，， ∴． 【典例10-2】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为，将减去其整数部分，所得的差就是其小数部分，根据以上的内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)的整数部分是________，小数部分是________； (3)若设整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)2； (2)； (3) 【分析】（1）估算出，从而即可得出结果； （2）估算出，从而即可得出结果； （3）估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是2，小数部分是； （2）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是，小数部分是； （3）解：∵， ∴，即， ∴，即， ∵整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴． 【变式1-1】综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 【答案】(1)3； (2)1； (3)19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3； （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ； （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级下·江西赣州·期中）阅读下面的文字，解答问题 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ，即 ， 的整数部分为，小数部分为 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值． (3)已知： 其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可； （2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可； （3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是；小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的整数部分为：； ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∵ 其中是整数，且， ∴， ∴； ∴， ∴的相反数为：． 【变式1-3】（25-26七年级下·河南信阳·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为________． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $