11.3.1 两数和乘以这两数的差（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过“地主分地”情境比较正方形与长方形面积引出问题，结合多项式乘法计算发现规律，再用图形面积拼接推导公式，构建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于以情境导入和几何直观培养数学眼光，通过规律探究和推理推导发展数学思维，结合99×101简便计算、正方形变长方形面积问题强化数学语言表达。学生能深化公式理解，教师可借助分层练习和详细解析提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第11章 整式的乘除 11.3.1 两数和乘以这两数的差 2026年8月4日 华东师大版八年级上册11.3.1两数和乘以这两数的差同步练习题（含解析） 考查知识点：平方差公式推导与结构特征、公式正用与逆用、整式简便运算、含负号、多项式整体套用公式、化简求值、平方差公式实际应用、易错结构辨析 答题时长：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 两数和乘以这两数的差的公式是（） 2. 下列算式可以用平方差公式计算的是（） A. $$(x+2)(x+3)$$ B. $$(x-2)(2-x)$$ C. $$(x+2)(x-2)$$ D. $$(x-2)(y+2)$$ 3. 计算$$(a+3)(a-3)$$的结果是（） A. $$a^2-9$$ B. $$a^2+9$$ C. $$a^2-6a+9$$ D. $$a^2+6a-9$$ 4. 计算$$(2x+1)(2x-1)$$的结果是（） A. $$4x^2-1$$ B. $$2x^2-1$$ C. $$4x^2+1$$ D. $$4x^2-4x+1$$ 5. 化简$$(-m+2)(-m-2)$$的结果是（） A. $$m^2-4$$ B. $$-m^2-4$$ C. $$-m^2+4$$ D. $$m^2+4$$ 6. 计算$$99\times101$$的简便结果是（） A. 9900 B. 9999 C. 10000 D. 10100 7. 若$$(x+5)(x-5)=x^2-a$$，则a的值为（） A. 5 B. 10 C. 25 D. -25 8. 化简$$x^2-(x+3)(x-3)$$的结果是（） A. 9 B. -9 C. $$2x^2-9$$ D. $$2x^2+9$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 计算：$$(x+4)(x-4)=$$________。 10. 计算：$$(3a+2b)(3a-2b)=$$________。 11. $$(\quad\quad)(m-6)=m^2-36$$。 12. 化简：$$(2x+y)(2x-y)-4x^2=$$________。 13. 计算：$$198\times202=$$________。 14. 已知$$a^2-b^2=12$$，$$a+b=4$$，则$$a-b=$$________。 三、解答题（共44分） 15. 计算下列各式（16分） （1）$$(x+7)(x-7)$$ （2）$$(5a-3b)(5a+3b)$$ （3）$$(-2x+5)(-2x-5)$$（4）$$(x^2+2)(x^2-2)$$ 16. 利用平方差公式简便计算：$$2024\times2026-2025^2$$（12分） 17. 先化简，再求值：$$(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)$$，其中$$x=-2$$（8分） 18. 应用题：已知正方形边长为$$a$$，将一边增加3，另一边减少3，得到一个长方形，求长方形的面积，并对比原正方形面积求出面积变化值（8分） 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. A 解析：平方差公式核心：两数和乘两数差，等于两数平方差，$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$。 2. C 解析：平方差公式适用条件：一组完全相同项，一组互为相反数项，仅有C符合结构特征。 3. A 解析：直接套用公式，原式$$=a^2-3^2=a^2-9$$。 4. A 解析：相同项为$$2x$$，相反项为1与-1，原式$$=(2x)^2-1^2=4x^2-1$$。 5. A 解析：相同项为$$-m$$，相反项为2与-2，原式$$=(-m)^2-2^2=m^2-4$$。 6. B 解析：原式$$=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999$$。 7. C 解析：展开得$$x^2-25=x^2-a$$，对应得$$a=25$$。 8. A 解析：原式$$=x^2-(x^2-9)=x^2-x^2+9=9$$，先套用公式再去括号化简。 填空题答案 9. $$x^2-16$$ 10. $$9a^2-4b^2$$ 11. $$m+6$$ 12. $$-y^2$$ 13. 39996 14. 3 解答题解析 15. 解：（1）原式=$$x^2-49$$；（2）原式=$$25a^2-9b^2$$；（3）原式=$$4x^2-25$$；（4）原式=$$x^4-4$$。 16. 解：原式$$=(2025-1)(2025+1)-2025^2=2025^2-1-2025^2=-1$$，利用平方差公式消去高次项，实现简便运算。 17. 解：原式=$$9x^2-4-5x^2+5x=4x^2+5x-4$$，代入$$x=-2$$，原式$$=4\times4+5\times(-2)-4=16-10-4=2$$。 18. 解：长方形长为$$a+3$$，宽为$$a-3$$，面积$$S=a^2-9$$。原正方形面积为$$a^2$$，面积减少9。答：长方形面积为$$a^2-9$$，面积比原正方形减少9。 核心知识点总结：1. 平方差公式：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$，口诀：同方减反方；2. 适用条件：式子含一组相同项、一组互为相反数项；3. a、b可代表单项式、多项式，可整体代入套用公式；4. 公式常用于大数简便运算、整式化简求值、几何面积计算，是乘法公式中最基础、最高频的考点。 5m x m 情境导入 从前有一个狡猾的地主，他把一块长为 x m 的正方形的土地租给张老汉种植.有一天，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5m，另一边增加5m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了.回到家中，他把这件事对邻居讲了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉非常吃惊. 5m x−5m x+5m x2____(x+5)(x−5) ？ ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (2m + 1)(2m - 1)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 平方差公式 1 ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2 - 12 = m2 - 22 = (2m)2 - 12 = (5y)2 - z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. 知识点1 平方差公式的几何意义 1.如图①，长方形的面积可以表示为______________，将图①裁剪拼接 为图②，图②阴影部分的面积可以表示为________，由图①到图②的变 化过程可以得到数学公式：________________________. 返回 举一反三 5 (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (a – b) (a + b) = a2 − b2， (b + a)(−b + a ) = a2 − b2. 平方差公式： 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式， 有时也简称为平方差公式. 知识要点 _____________ ＝ ________ － ________ 几 何 解 释 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： (a+b)(a-b) = － (a + b)(a - b) a2 b2 b a a b b b2 a2 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 适当交换 合理加括号 知识点2 平方差公式 2.下列各式能用平方差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.填空：（________） . 返回 举一反三 10 4.计算： （1） __________； （2） _________. 返回 举一反三 11 2米 2米 a米 原来 a2 (a - 2) (a + 2)米 现在 (a + 2)(a - 2) 🔍 数学揭秘：面积变了吗？ 回顾导入 a2 - 4 a2 ＞ 算一算：口答下列各题： （l）(-a + b)(a + b) =  _________. （2）(a - b )(b + a) = __________. （3）(-a - b)(-a + b) = ________. （4）(a - b)(-a - b) = _________. a2 - b2 a2 - b2 b2 - a2 b2 - a2 5.［教材P37练习T1变式］计算： （1） ; 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） . 解：原式 . 返回 举一反三 14 例1 填一填： (1 + x)(1 - x) ( - 3 + m)( - 3 - m) (0.3y - 1)(1 + 0.3y) (1 + t)( - 1 + t) a b a2 - b2 1 x -3 m 12 - x2 ( - 3)2 - m2 t 1 t2 - 12 0.3y 1 ( 0.3y)2 - 12 (a - b)(a + b) 典例精析 例2 计算： (1) (a + 3)(a－3)； (2) (2a + 3b)(2a－3b)； (3) (1 + 2c)(1－2c)； = a2－9 = 4a2－9b2 = 1－4c2 解：(1) (a + 3)(a－3) = a2－32 = 12－(2c)2 (4) (－2x－y)(2x－y). (2) (2a + 3b)(2a－3b) = (2a)2－(3b)2 (3) (1 + 2c)(1－2c) 典例精析 原式 = －(2x + y)(2x－y) = －(4x2－y2) = －4x2 + y2. 或 (4) (－2x－y) (2x－y) 原式 = (－y－2x)(－y + 2x) = (－y)2－(2x)2 = y2－4x2 (4) (－2x－y)(2x－y). (－y－2x) (－y + 2x) －(2x + y) 知识点3 平方差公式的应用 6.若三角形的底边长为，底边上的高为 ，则此三角形的面 积为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 18 7.［教材 例3变式］小明在月历的纵列上圈出了三个数，如图 所示.若设中间的数为 ，则上、下两个数的乘积为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 19 例3 计算 1998×2002. (2000 - 2)(2000 + 2) = 4 000 000 - 4 = 3 999 996. 解： 1998×2002 = = 20002 - 22 1.计算： (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1). (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x2－1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x4－1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x8－1)(x8 + 1) = x16－1 解： 练一练 8.［2025信阳期中］如果，，那么 _______. 2 025 返回 举一反三 22 9.［教材 例2变式］利用平方差公式计算下列各式： （1）（____-____） （________）_____-______ __________; （2）（__________） （_______-___） ________- ____ _________； 60 0.2 60 0.2 1 000 7 1 000 7 999 951 （3） . 解：原式 . 返回 举一反三 23 10.已知，求 的值. 解：原式 . 当时，原式 . 返回 举一反三 24 11.在运用乘法公式计算 时，下列变形正确的 是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 25 12.［2025开封期中］若，则 的值为 ( ) B A.4 B.16 C.24 D.32 返回 举一反三 26 13. 若，则 ____. 举一反三 27 【变式题】 若，则 ___. 7 返回 举一反三 28 14.计算： . 解：原式 . 返回 举一反三 29 15.求证：对任意整数，整式 的值 都能被10整除. 证明：原式 . 因为为整数，所以 为整数， 所以能被10整除，所以对任意整数 ，整式 的值都能被10整除. 返回 举一反三 30 16.（1）数学课堂上，老师留了一道数学题，如图①，下面是甲、乙两 名同学所列的式子.甲：；乙： ，所 列式子正确的同学是____；（填“甲”或“乙”） 乙 举一反三 31 （2）如图②，有一块长为 ， 宽为 的长方形空地，计划修 建东西、南北走向的两条道路，其余部分 进行绿化，已知两条道路的宽分别为 和，求绿化的面积.（用含， 的式子来表示） 解：由题意得 . 答：绿化的面积为 . 返回 举一反三 32 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.字母表示：(a + b)(a - b) = a2 - b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 课堂小结 谢谢观看 THANKS $