11.3.2 两数和（差）的平方课件2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦八年级“两数和（差）的平方”，通过多项式乘法实例探究规律，结合代数推导与几何割补法验证公式，承接多项式乘法基础，为整式乘除应用搭建学习支架。 其特色在于分层习题覆盖公式识记、运算及拓展应用，通过几何直观与逆向变形（如(a+b)²-(a-b)²=4ab）培养推理意识，易错总结精准突破符号错误等问题，助力学生夯实运算能力，教师可高效开展课堂检测与巩固教学。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 11.3.2 两数和（差）的平方 第11章 整式的乘除 华东师大版八年级上册11.3.2 两数和（差）的平方练习题 本次练习题紧扣华东师大版八年级上册11.3.2两数和（差）的平方知识点，即完全平方公式，是继平方差公式后的另一组核心整式乘法公式，承接多项式乘法基础。本节重点考查完全平方公式的识记、正向展开运算、简便计算、公式变形、混合化简与求值，针对性解决和、差公式混淆、漏写中间交叉项、符号出错、平方漏乘系数等高频易错问题。习题分层递进、题型全面，适配课后巩固与随堂检测，所有题目均配有详细解析，帮助学生精准区分两类完全平方公式，熟练掌握公式运算规律。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 两数和的平方公式：$$(a+b)^2=$$________；两数差的平方公式：$$(a-b)^2=$$________。 4. 简便计算：$$102^2=$$________。 5. $$x^2-8x+$$________$$=(x-4)^2$$。 6. 若$$(x+m)^2=x^2+6x+9$$，则m=________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列运算正确的是（） A. $$(a+b)^2=a^2+b^2$$ B. $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ C. $$(a+b)^2=a^2+ab+b^2$$ D. $$(a-b)^2=a^2-b^2$$ 2. 计算$$(2x-3y)^2$$的结果是（） A. $$4x^2-9y^2$$ B. $$4x^2+12xy+9y^2$$ C. $$4x^2-12xy+9y^2$$ D. $$4x^2-6xy+9y^2$$ 3. 多项式$$x^2+kx+16$$是完全平方式，则k的值为（） A. 8 B. -8 C. $$\pm8$$ D. $$\pm4$$ 4. 计算$$(x+2)^2-(x-2)^2$$的结果是（） A. 8x B. 4x C. $$8x+8$$ D. $$4x+8$$ 5. 已知$$a+b=5$$，$$ab=6$$，则$$a^2+b^2=$$（） A. 13 B. 19 C. 25 D. 37 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 利用完全平方公式计算： （1）$$(4a+3)^2$$ （2）$$(5x-2y)^2$$ 2. 简便运算：$$99^2$$ 3. 先化简，再求值：$$(x+1)^2-2x(x-1)$$，其中$$x=-2$$。 四、拓展应用题（20分） 一个正方形边长为$$(2x+1)$$米，若边长增加2米，求新正方形的面积比原正方形面积增加多少平方米？ 参考答案与详细解析 一、填空题 1. $$a^2+2ab+b^2$$；$$a^2-2ab+b^2$$ 解析：完全平方核心公式，和平方中间为正、差平方中间为负，首尾平方恒为正。 2. $$x^2+6x+9$$；$$a^2-10a+25$$ 解析：直接套用公式，首平方、尾平方，首尾两倍放中央。 3. $$4x^2+4x+1$$；$$9a^2-12ab+4b^2$$ 解析：含系数的式子整体平方，交叉项系数为首尾系数乘积的2倍。 4. 10404 解析：原式变形为$$(100+2)^2=100^2+2\times100\times2+2^2=10404$$，利用公式简便计算。 5. 16 解析：完全平方式常数项为一次项系数一半的平方，$$4^2=16$$。 6. 3 解析：展开右边得$$x^2+6x+9$$，对应一次项系数相等，得$$2m=6$$，解得$$m=3$$。 二、选择题 1. B 解析：完全平方公式必须含两倍交叉项，其余选项均缺少交叉项或系数错误。 2. C 解析：展开得$$(2x)^2-2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$$。 3. C 解析：完全平方式一次项系数有正负两种可能，$$k=\pm2\times4=\pm8$$。 4. A 解析：原式化简$$(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x$$，去括号合并同类项即可。 5. A 解析：公式变形$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13$$，考查公式逆向变形运用。 三、解答题 1. 解析：（1）原式$$=16a^2+24a+9$$；（2）原式$$=25x^2-20xy+4y^2$$，严格遵循完全平方公式展开。 2. 解析：原式$$=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=10000-200+1=9801$$。 3. 解析：原式$$=x^2+2x+1-2x^2+2x=-x^2+4x+1$$，代入$$x=-2$$，原式$$=-4-8+1=-11$$。 四、拓展应用题 解：原边长$$(2x+1)$$米，新边长$$(2x+3)$$米。原面积：$$(2x+1)^2=4x^2+4x+1$$，新面积：$$(2x+3)^2=4x^2+12x+9$$。增加面积：$$(4x^2+12x+9)-(4x^2+4x+1)=8x+8$$（平方米）。答：面积增加$$(8x+8)$$平方米。 核心易错总结：本节最大易错点为完全平方公式与平方差公式混淆，切记完全平方展开有三项，包含两倍交叉项；首尾平方恒为正，中间符号看原式；含系数、负数的平方运算切勿漏乘系数、错写符号；熟练掌握公式正向、逆向变形，是求值与简便运算的关键。 两数和（或差）平方公式 1 (1) ( p + 1 )2 = = . 探究 1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (2) ( m + 2 )2 = = . p2 + p + p + 12 m2 + 2m + 2m + 22 两数的___的平方 和 两数____的和， 平方 加上它们积的__倍 2 p2 + 2p + 12 m2 + 4m + 22 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ ∵(a＋b)2 = (a＋b)(a＋b) = a2＋2ab＋b2. = a2 ＋ ab ＋ ab ＋ b2 ∴上述结果仍成立. 思路一： a2 b2 ab ab a b a + b a b a2 ab ab b2 (a + b)2 = + 2ab + (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 b2 a + b 你能几何的形式证明公式成立吗? 思路二： 文字叙述：两数的和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 知识要点 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 两数和的平方公式 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” (1) (2x + 3y)2 (2) (2a+ )2 + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 = (2a)2 + 2 · 2a · + ( )2 = 4a2 + 2ab + 例1 计算： ( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2 典例精析 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y 1．[知识初练](x＋1)2＝(　　)2＋2×______×______＋ (　　　)2＝______________． 1星题 夯实四基 x x 1 1 x2＋2x＋1 中考考法 2．下列计算正确的是(　　) A．(a＋b)2＝a2＋b2 B．(x＋y)2＝x2＋xy＋y2 C．(5a＋2b)2＝25a2＋4b2＋20ab C 中考考法 (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . p2－2p + 12 (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2 ) = . m2－4m + 22 探究 2：结合探究1 填空，你能总结出规律并验证吗？ 规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的 2 倍. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ 验证： ∵(a－b)2 = [a＋(－b)]2 = a2＋2a·(－b)＋(－b)2 = a2－2ab＋b2. ∴上述结果仍成立. 思路一： 你能类比上述几何方法验证 思路二： (a－b)2 = a2－2ab + b2 成立吗? 猜想验证 a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 完全平方公式2： a−b 文字叙述：两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 两数差的平方公式 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 知识要点 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方，另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 3. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式. 例2 计算： (1) (3x - 2y)2； 解：(1) (3x - 2y)2 = 9x2 - 12xy + 4y2. ( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 典例精析 + (2y)2 = (3x)2 - 2 · 3x · 2y 解法一 解法二 解法三 思考： (a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? (-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2. (b - a)2 = [-(a - b)]2 = (a - b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. (1) 1022； 解：原式 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. (2) 992. 解：原式 = (100－1)2 = 10000 － 200 + 1 = 9801. 1.运用两数和（或差）平方公式计算： 解题小结：利用两数和(或差)平方公式计算: 1.先选择公式； 3.化简. 2.准确代入公式； 随堂练习 3．计算： (1)(4m＋3)2； 解：原式＝16m2＋24m＋9. 中考考法 4．[知识初练](a－b)2＝[a＋(______)]2＝a2＋2a·(______)＋(______)2＝______________． －b －b －b a2－2ab＋b2 中考考法 5．计算： (1)(a－2b)2＝__________________； (2) ＝_________________； (3)(－2x＋3y)2＝__________________； (4)(－3mn－1)2＝_________________. a2－4ab＋4b2 4x2－12xy＋9y2 9m2n2＋6mn＋1 中考考法 6．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为(　　) A．－3 B．±3 C．－6 D．±6 A 中考考法 7. 【思维生长】已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，则xy＝________，x2＋y2＝________． 向“逆向思维”生长：已知x＋y＝－5，xy＝6，则x－y＝________． 4 17 ±1 中考考法 8．计算： (1)(－4x＋5y)2； 解：原式＝16x2－40xy＋25y2. (2)(0.1x2－4y2)2. 解：原式＝0.01x4－0.8x2y2＋16y4. 中考考法 9．运用两数和(差)的平方公式进行简便计算： (1)1972; 解：1972＝(200－3)2＝2002－2×200×3＋32 ＝40 000－1 200＋9＝38 809. 中考考法 10.(数形结合思想)如图是利用割补法求图形面积的示意图，则与之相对应的公式是_____________________． (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 中考考法 11．计算992＋1012的结果为(　　) A．10 000 B．20 000 C．20 002 D．20 006 C 2星题 提升四能 中考考法 12. (整体思想)若m，n是整数，则(m＋n)2－(m－n)2的值一定是(　　) A．正数 B．负数 C．非负数 D．4的倍数 D 点拨：因为(m＋n)2－(m－n)2＝m2＋2mn＋n2－m2＋2mn－n2＝4mn，且m，n是整数，所以(m＋n)2－(m－n)2的值一定是4的倍数． 中考考法 13. 【思维生长】若x2＋(m－3)x＋4是关于x的两数和(差)的平方公式，则m的值为__________． 向“逆向推理”生长：若二项式x2＋4加上一个单项式后可以写成一个整式的平方，则这样的单项式共有________个． －1或7 5 中考考法 14．计算： (1)(2x－y＋3)2； 解：原式＝[(2x－y)＋3]2＝(2x－y)2＋6(2x－y)＋9＝4x2－4xy＋y2＋12x－6y＋9. 中考考法 (2)(－a－b)(a－b)－(a＋2b)2＋(a－2b)2. 解：原式＝－(a＋b)(a－b)－(a2＋4ab＋4b2)＋(a2－4ab＋4b2) ＝－(a2－b2)－a2－4ab－4b2＋a2－4ab＋4b2 ＝－a2＋b2－a2－4ab－4b2＋a2－4ab＋4b2 ＝－a2＋b2－8ab. 中考考法 15. 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． 中考考法 【知识生成】 (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积(直接用含m，n的代数式表示)： 方法一：______________________； 方法二：______________________； (m＋n)2－4mn (m－n)2 中考考法 【得出结论】 (2)根据(1)中的结论，可得代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系为_________________________； (m＋n)2－4mn＝(m－n)2 中考考法 【知识迁移】 (3)若a满足(a－2 027)2＋(2 025－a)2＝2 026，求(2 027－a)(a－2 025)的值． 解：因为(a－2 027)2＋(2 025－a)2＝[(a－2 027)＋(2 025－a)]2－2(a－2 027)(2 025－a)＝4－2(a－2 027)(2 025－a)＝2 026， 所以2(a－2 027)(2 025－a)＝－2 022， 所以(a－2 027)(2 025－a)＝－1 011. 所以(2 027－a)(a－2 025)＝－1 011. 中考考法 16. 【新趋势·代数推理】已知a－b＝b－c＝m，a2＋b2＋c2＝2m2. (1)填空：a－c＝________； (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝________；(均用含m的式子表示) 3星题 发展素养 2m 6m2 中考考法 (2)求ab＋bc＋ac的值；(用含m的式子表示) 解：因为(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝6m2，a2＋b2＋c2＝2m2， 所以2ab＋2bc＋2ac＝－2m2， 所以ab＋bc＋ac＝－m2. 中考考法 (3)试说明：a＋b＋c＝0. 解：因为a2＋b2＋c2＝2m2， 2ab＋2bc＋2ac＝－2m2， 所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝2m2－2m2＝0， 所以a＋b＋c＝0. 中考考法 两数和(或差)平方公式 法则 注意 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3. 常用公式变形式：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab； 4ab = (a＋b)2 - (a - b)2 课堂小结 D．＝m2＋mn＋n2 (2). 解：原式＝＋2×x×6y＋36y2＝x2＋8xy＋36y2. m2－mn＋n2 (2). 解：＝＝602＋2×60×＋ ＝3 600＋2＋＝3 602. $