11.3.1 两数和乘以这两数的差-课件-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“平方差公式”核心知识点，通过多项式乘法实例回顾导入，引导学生计算具体多项式积发现规律，衔接多项式乘法与平方差公式，构建清晰的学习支架。 其亮点在于结合几何图形面积验证公式培养几何直观，分层习题设计提升运算能力，实际情境题（如草坪改造）发展模型意识。帮助学生精准掌握公式结构，教师可高效检测学情与巩固教学。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月10日 11.3.1 两数和乘以这两数的差 第11章 整式的乘除 华东师大版八年级上册11.3.1 两数和乘以这两数的差练习题 本次练习题紧扣华东师大版八年级上册11.3.1两数和乘以这两数的差知识点，也就是平方差公式，是整式乘法核心公式之一，承接多项式乘法运算基础。本节重点考查平方差公式的结构识别、正向运算、简便计算、公式变形及化简求值，针对性解决公式结构混淆、符号判断失误、无法识别适配题型、乱用公式等高频易错问题。习题分层设计、难度循序渐进，适配课后巩固与随堂检测，所有题目均配有详细解析，帮助学生精准掌握公式结构特征，熟练规范解题，提升整式运算效率。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 两数和与这两数的差的积，等于这两个数的________，公式：$$(a+b)(a-b)=$$________。 2. 计算：$$(x+5)(x-5)=$$________；$$(a+2)(a-2)=$$________。 3. $$(3x+1)(3x-1)=$$________；$$(2a-4)(2a+4)=$$________。 4. 简便计算：$$101\times99=$$________。 5. 若$$x^2-16=(x+4)($$________$$)$$。 6. 化简：$$(-m+2n)(-m-2n)=$$________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子可以用平方差公式计算的是（） A. $$(x+2)(x+3)$$ B.$$(x-2)(2-x)$$ C. $$(x+4)(x-4)$$ D. $$(a-b)(b-a)$$ 2. 计算$$(2x+3y)(2x-3y)$$的结果是（） A. $$4x^2-9y^2$$ B. $$4x^2+9y^2$$ C. $$2x^2-3y^2$$ D. $$4x^2-6xy+9y^2$$ 3. 化简$$9-a^2$$的因式形式为（） A. $$(a+3)(a-3)$$ B.$$(3+a)(3-a)$$ C. $$(a-3)^2$$ D. $$(3+a)^2$$ 4. 计算$$(m+1)(m-1)-m^2$$的结果是（） A. 1 B. -1 C. $$2m^2-1$$ D. $$-2m^2+1$$ 5. 已知$$a^2-b^2=12$$，$$a+b=4$$，则$$a-b$$的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 三、基础解答题（每题10分，共30分） 1. 利用平方差公式计算： （1）$$(4x+5)(4x-5)$$ （2）$$(3a-2b)(3a+2b)$$ 2. 简便运算：$$9.8\times10.2$$ 3. 先化简，再求值：$$(x+3)(x-3)-x(x-1)$$，其中$$x=2$$。 四、拓展应用题（20分） 有一个边长为$$a$$的正方形草坪，现将草坪一边增加3米，另一边减少3米，变成一个长方形草坪，求改造后草坪的面积以及面积的变化情况。 参考答案与详细解析 一、填空题 1. 平方差；$$a^2-b^2$$ 解析：平方差公式核心内容，两数和乘两数差，等于两数平方相减。 2. $$x^2-25$$；$$a^2-4$$ 解析：直接套用公式，首项平方减尾项平方，快速得出结果。 3. $$9x^2-1$$；$$4a^2-16$$ 解析：准确识别公式中的a、b，系数整体平方，再做减法运算。 4. 9999 解析：原式变形为$$(100+1)(100-1)=100^2-1=9999$$，利用公式简便计算。 5. $$x-4$$ 解析：公式逆用，$$x^2-16=(x+4)(x-4)$$，是因式分解基础形式。 6. $$m^2-4n^2$$ 解析：符号相同的项为a，符号相反的项为b，套用公式计算即可。 二、选择题 1. C 解析：平方差公式需满足一项相同、一项互为相反数，只有C符合结构特征。 2. A 解析：首项$$2x$$平方，尾项$$3y$$平方，相减得$$4x^2-9y^2$$。 3. B 解析：$$9-a^2=3^2-a^2=(3+a)(3-a)$$，熟练运用公式逆变形。 4. B 解析：原式$$=m^2-1-m^2=-1$$，化简后消去二次项，快速得出结果。 5. B 解析：由$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，得$$4(a-b)=12$$，解得$$a-b=3$$。 三、解答题 1. 解析：（1）原式$$=16x^2-25$$；（2）原式$$=9a^2-4b^2$$，严格套用平方差公式运算。 2. 解析：原式$$=(10-0.2)(10+0.2)=10^2-0.2^2=100-0.04=99.96$$。 3. 解析：原式$$=x^2-9-x^2+x=x-9$$，代入$$x=2$$，原式$$=2-9=-7$$。 四、拓展应用题 解：改造后长方形长为$$(a+3)$$米，宽为$$(a-3)$$米，面积$$S=(a+3)(a-3)=a^2-9$$（平方米）。原正方形面积为$$a^2$$平方米，因此改造后面积减少9平方米。答：改造后面积为$$a^2-9$$平方米，面积减少9平方米。 核心易错总结：本节关键是识别平方差公式结构，必须满足“同项、反项”；易错点为混淆完全平方公式、平方计算漏算系数、符号判断错误；牢记公式只适用于和乘差形式，无中间交叉项，熟练掌握正向、逆向及简便运算用法。 多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x ＋ 5) = x2＋5x＋3x＋15 = x2＋8x＋15. ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (2m + 1)(2m - 1)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 平方差公式 1 ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2 - 12 = m2 - 22 = (2m)2 - 12 = (5y)2 - z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (a – b) (a + b) = a2 − b2， (b + a)(−b + a ) = a2 − b2. 平方差公式： 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式， 有时也简称为平方差公式. 知识要点 _____________ ＝ ________ － ________ 几 何 解 释 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： (a+b)(a-b) = － (a + b)(a - b) a2 b2 b a a b b b2 a2 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 适当交换 合理加括号 2米 2米 a米 原来 a2 (a - 2) (a + 2)米 现在 (a + 2)(a - 2) 🔍 数学揭秘：面积变了吗？ 回顾导入 a2 - 4 a2 ＞ 算一算：口答下列各题： （l）(-a + b)(a + b) =  _________. （2）(a - b )(b + a) = __________. （3）(-a - b)(-a + b) = ________. （4）(a - b)(-a - b) = _________. a2 - b2 a2 - b2 b2 - a2 b2 - a2 例1 填一填： (1 + x)(1 - x) ( - 3 + m)( - 3 - m) (0.3y - 1)(1 + 0.3y) (1 + t)( - 1 + t) a b a2 - b2 1 x -3 m 12 - x2 ( - 3)2 - m2 t 1 t2 - 12 0.3y 1 ( 0.3y)2 - 12 (a - b)(a + b) 典例精析 1．将如图①所示的长方形沿虚线剪开，拼成如图②所示的图形，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是____________________． 1星题 夯实四基 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 中考考法 2．[知识初练]多项式x＋6和x－6中完全相同的项是_______，互为相反数的项是________和__________，由平方差公式可知(x＋6)(x－6)＝________2－________2＝________． x 6 －6 x 6 x2－36 中考考法 例2 计算： (1) (a + 3)(a－3)； (2) (2a + 3b)(2a－3b)； (3) (1 + 2c)(1－2c)； = a2－9 = 4a2－9b2 = 1－4c2 解：(1) (a + 3)(a－3) = a2－32 = 12－(2c)2 (4) (－2x－y)(2x－y). (2) (2a + 3b)(2a－3b) = (2a)2－(3b)2 (3) (1 + 2c)(1－2c) 典例精析 原式 = －(2x + y)(2x－y) = －(4x2－y2) = －4x2 + y2. 或 (4) (－2x－y) (2x－y) 原式 = (－y－2x)(－y + 2x) = (－y)2－(2x)2 = y2－4x2 (4) (－2x－y)(2x－y). (－y－2x) (－y + 2x) －(2x + y) 例3 计算 1998×2002. (2000 - 2)(2000 + 2) = 4 000 000 - 4 = 3 999 996. 解： 1998×2002 = = 20002 - 22 1.计算： (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1). (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x2－1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x4－1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x8－1)(x8 + 1) = x16－1 解： 练一练 随堂练习 3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　) A．(a－2b)(2b＋a) B．(a－2b)(－a－2b) C．(2a－b)(－2a－b) D．(a＋2b)(－a－2b) D 中考考法 4．填空： (1)(x＋y)(x－y)＝________； (2)(－x＋y)(x＋y)＝________； (3)(5a＋2)(5a________)＝25a2－4； (4)(－3x－y2)(________＋y2)＝9x2－y4. x2－y2 y2－x2 －2 －3x 中考考法 5．计算： 解：原式＝(－3a)2－(2b)2＝9a2－4b2. (2)(－3a＋2b)(－3a－2b)； (3)(－5m2＋4n2)(4n2＋5m2)． 解：原式＝(4n2)2－(5m2)2＝16n4－25m4. 中考考法 6．[陕西咸阳期中]已知三个连续奇数，若设中间的一个数为n(n>2)，则它们的积是(　　) A．n3－n B．4n3－n C．n3－6n D．n3－4n D 中考考法 7. (教材改编题)运用平方差公式进行简便计算： 中考考法 8．[北京期中]先化简，再求值：已知x2－x－ ＝0，求代数式(x＋2)(x－2)＋(x＋1)(x－3)的值． 解：(x＋2)(x－2)＋(x＋1)(x－3) ＝(x2－4)＋(x2－2x－3) ＝x2－4＋x2－2x－3＝2x2－2x－7， 中考考法 9. 【新设问】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62－32，63＝82－12，故27，63都是“创新数”．下列各数中，不是“创新数”的是(　　) A．31 B．41 C．16 D．54 D 2星题 提升四能 点拨：因为31＝(16＋15)×(16－15)＝162－152，41＝(21＋20)×(21－20)＝212－202，16＝(5＋3)×(5－3)＝52－32，54不能表示成两个正整数的平方差，所以31，41和16是“创新数”，而54不是“创新数”． 中考考法 10. 【思维生长】若m2－n2＝3，则(m＋n)2(m－n)2的值是(　　) A．3 B．6 C．9 D．18 向“整体思想”生长：如果(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝15，那么a＋b的值为________． C ±2 中考考法 11. 【新情境】点点借助AI建模工具设计了一款桌面收纳盒．如图是该收纳盒的俯视图，共分为A，B，C，D，E 5个功能区，A区和E区是边长为a cm的正方形，C区是边长为b cm的小正方形，B区和D区是两个完全相同的长方形，则整个收纳盒俯视图的面积为______________．(用含a，b的代数式表示) (4a2－b2)cm2 中考考法 12．计算：6×(7＋1)×(72＋1)×(74＋1)×(78＋1)＋1＝________． 716 中考考法 13．先化简，再求值：a(a－2b)＋2(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2，其中a，b满足 ＋(b－1)2＝0. 解：原式＝a2－2ab＋2a2－2b2＋a2＋2ab＋b2＝4a2－b2. 中考考法 14.(几何直观)某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种图形中能够验证“平方差公式”的有____________；(填序号) 3星题 发展素养 ①②③ 中考考法 (2)【应用】利用“平方差公式”计算：2 0262－2 025×2 027； 解：2 0262－2 025×2 027＝2 0262－(2 026－1)×(2 026＋1)＝2 0262－(2 0262－12)＝2 0262－2 0262＋1＝1. 中考考法 (3)【拓展】计算： 中考考法 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.字母表示：(a + b)(a - b) = a2 - b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 课堂小结 解：原式＝－＝a2－b2. (1)； 10×9. 解：原式＝×＝102－＝100－＝99. 已知x2－x－＝0，移项可得x2－x＝. 所以原式＝2(x2－x)－7＝2×－7＝－6. 因为＋(b－1)2＝0，所以a＋＝0，b－1＝0， 解得a＝－，b＝1，所以原式＝4×－12＝0. ××(1－)×…×. 解：原式＝(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×× …×(1－)×＝××××××…×× ＝×＝. $