11.3.2 两数和（差）的平方 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两数和（差）的平方”，核心知识点为完全平方公式。课堂通过正方形实验田边长增加的情境，从直接与间接求总面积引出公式，结合多项式乘法探究、代数推导及几何证明构建知识支架，衔接前后内容。 其亮点是情境导入与几何直观结合，用图形分割验证公式培养推理意识，练习题覆盖公式正逆用、简便运算及几何应用，体现数学语言表达。发展学生抽象能力与运算能力，助力学生深化理解，教师可系统教学提升效率。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第11章 整式的乘除 11.3.2 两数和（差）的平方 2026年8月4日 华东师大版八年级上册11.3.2两数和（差）的平方同步练习题（含解析） 考查知识点：完全平方和、差公式结构特征、公式正用与逆用、含负号与系数的平方运算、整式化简、简便运算、化简求值、完全平方公式与平方差公式混合运算、几何面积应用 答题时长：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 两数和的平方公式正确的是（） A. $$(a+b)^2=a^2+b^2$$ B. $$(a+b)^2=a^2-ab+b^2$$ C. $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ D. $$(a+b)^2=a^2-2ab+b^2$$ 2. 计算$$(x+3)^2$$的结果是（） A. $$x^2+9$$ B. $$x^2+6x+9$$ C. $$x^2-6x+9$$ D. $$x^2+3x+9$$ 3. 计算$$(a-2)^2$$的结果是（） A. $$a^2-4a+4$$ B. $$a^2-4$$ C. $$a^2+4a+4$$ D. $$a^2-2a+4$$ 4. 下列计算正确的是（） A. $$(x-1)^2=x^2-1$$ B. $$(2x+3)^2=4x^2+9$$ C. $$(-a+b)^2=a^2-2ab+b^2$$ D. $$(x+2)^2=x^2+2x+4$$ 5. 计算$$(2a-3b)^2$$的结果是（） A. $$4a^2-9b^2$$ B. $$4a^2-6ab+9b^2$$ C. $$4a^2-12ab+9b^2$$ D. $$4a^2+12ab+9b^2$$ 6. 若$$(x+m)^2=x^2+8x+16$$，则m的值为（） A. 4 B. 8 C. -4 D. -8 7. 计算$$99^2$$的简便结果是（） A. 9801 B. 9981 C. 9881 D. 9901 8. 化简$$(x+2)^2-(x+1)(x-1)$$的结果是（） A. $$4x+5$$ B. $$4x+3$$ C. $$2x+5$$ D. $$2x+3$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 计算：$$(x+5)^2=$$________，$$(a-4)^2=$$________。 10. 计算：$$(3x+2y)^2=$$________。 11. 若$$x^2+kx+9=(x+3)^2$$，则k=________。 12. 化简：$$(-m-n)^2=$$________。 13. 计算：$$102^2=$$________。 14. 已知$$a+b=5，ab=6$$，则$$a^2+b^2=$$________。 三、解答题（共44分） 15. 计算下列各式（16分） （1）$$(x-6)^2$$ （2）$$(4a+3b)^2$$ （3）$$(-2x+5)^2$$ （4）$$(3x-4y)^2$$ 16. 利用完全平方公式简便计算：$$201^2$$（12分） 17. 先化简，再求值：$$(x+1)^2-(x-2)(x+2)$$，其中$$x=-1$$（8分） 18. 应用题：一个正方形边长为$$2a$$，若边长增加1，求增大后的正方形面积以及面积增加量（8分） 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. C 解析：完全平方和公式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$，口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央。 2. B 解析：直接套用公式，原式$$=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2=x^2+6x+9$$。 3. A 解析：完全平方差公式$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$，原式$$=a^2-4a+4$$。 4. C 解析：A缺中间项，应为$$x^2-2x+1$$；B缺中间项，应为$$4x^2+12x+9$$；D中间项出错，应为$$x^2+4x+4$$，仅有C正确。 5. C 解析：原式$$=(2a)^2-2\cdot2a\cdot3b+(3b)^2=4a^2-12ab+9b^2$$。 6. A 解析：展开右边得$$x^2+8x+16$$，对应系数相等，得$$2m=8$$，解得$$m=4$$。 7. A 解析：原式$$=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=9801$$。 8. A 解析：原式$$=x^2+4x+4-(x^2-1)=4x+5$$，混合运算先乘方、再公式展开、最后化简。 填空题答案 9. $$x^2+10x+25$$、$$a^2-8a+16$$ 10. $$9x^2+12xy+4y^2$$ 11. 6 12. $$m^2+2mn+n^2$$ 13. 10404 14. 13 解答题解析 15. 解：（1）原式=$$x^2-12x+36$$；（2）原式=$$16a^2+24ab+9b^2$$；（3）原式=$$4x^2-20x+25$$；（4）原式=$$9x^2-24xy+16y^2$$。 16. 解：原式$$=(200+1)^2=200^2+2\times200\times1+1^2=40000+400+1=40401$$，拆分整数利用完全平方公式简便计算。 17. 解：原式=$$x^2+2x+1-(x^2-4)=2x+5$$，代入$$x=-1$$，原式$$=2\times(-1)+5=3$$。 18. 解：增大后边长为$$2a+1$$，面积$$S=(2a+1)^2=4a^2+4a+1$$，原面积为$$4a^2$$，面积增加$$4a+1$$。答：增大后面积为$$4a^2+4a+1$$，面积增加$$4a+1$$。 核心知识点总结：1. 完全平方公式：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$，$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$；2. 易错点：完全平方展开是三项式，切勿遗漏中间两倍项，区分平方差公式；3. 公式可正用、逆用，适用于大数简便运算、整式化简；4. 常与平方差公式混合考查，结合几何面积、代数式求值是高频考点。 情境导入 一块边长为a m的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b m，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）. 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. a m a m b m b m 直接求：总面积= (a+b)(a+b) 间接求：总面积= a2 ab ab b2 a2+2ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 两数和（或差）平方公式 1 (1) ( p + 1 )2 = = . 探究 1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (2) ( m + 2 )2 = = . p2 + p + p + 12 m2 + 2m + 2m + 22 两数的___的平方 和 两数____的和， 平方 加上它们积的__倍 2 p2 + 2p + 12 m2 + 4m + 22 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ ∵(a＋b)2 = (a＋b)(a＋b) = a2＋2ab＋b2. = a2 ＋ ab ＋ ab ＋ b2 ∴上述结果仍成立. 思路一： a2 b2 ab ab a b a + b a b a2 ab ab b2 (a + b)2 = + 2ab + (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 b2 a + b 你能几何的形式证明公式成立吗? 思路二： 文字叙述：两数的和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 知识要点 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 两数和的平方公式 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 知识点1 两数和（差）的平方的几何意义 1.如图所示的图形可以验证下列哪个乘法公式？( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2.［2025鹤壁期中］如图，将图①中的正 方形沿图中虚线用剪刀平均分成四个小 正方形，然后拼成图②所示的大正方形. （1）图①中阴影部分的面积可表示为 __________，图②中阴影部分的面积可 表示为______________； （2）根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：____________ _____________. 返回 举一反三 8 (1) (2x + 3y)2 (2) (2a+ )2 + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 = (2a)2 + 2 · 2a · + ( )2 = 4a2 + 2ab + 例1 计算： ( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2 典例精析 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . p2－2p + 12 (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2 ) = . m2－4m + 22 探究 2：结合探究1 填空，你能总结出规律并验证吗？ 规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的 2 倍. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ 验证： ∵(a－b)2 = [a＋(－b)]2 = a2＋2a·(－b)＋(－b)2 = a2－2ab＋b2. ∴上述结果仍成立. 思路一： 你能类比上述几何方法验证 思路二： (a－b)2 = a2－2ab + b2 成立吗? 猜想验证 a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 完全平方公式2： a−b 文字叙述：两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 两数差的平方公式 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 知识要点 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方，另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 3. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式. 知识点2 两数和（差）的平方公式 3.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 15 4.下列各式中，可用两数和（差）的平方公式计算的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 16 例2 计算： (1) (3x - 2y)2； 解：(1) (3x - 2y)2 = 9x2 - 12xy + 4y2. ( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 典例精析 + (2y)2 = (3x)2 - 2 · 3x · 2y 解法一 解法二 解法三 思考： (a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? (-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2. (b - a)2 = [-(a - b)]2 = (a - b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. 5.下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 20 6.计算： ________. 返回 举一反三 21 7.若，则 的值为____. 返回 举一反三 22 8.［教材 例5变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ; 解：原式 . 举一反三 23 （4） . 解：原式 . 返回 举一反三 知识点3 两数和（差）的平方公式的应用 9.将 变形正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 25 10.一块方巾铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下 ，设方巾的边 长为，用关于 的式子表示茶几的面积为____________________ . 返回 举一反三 26 两数和(或差)平方公式 法则 注意 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3. 常用公式变形式：a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab； 4ab = (a＋b)2 - (a - b)2 课堂小结 谢谢观看 THANKS $