11.3.2 两数和（差）的平方-（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两数和（差）的平方”公式，通过正方形实验田面积的直接与间接计算情境导入，衔接多项式乘法法则推导公式，结合几何图形分解验证，构建从代数推理到几何直观的学习支架。 其亮点在于以数学眼光（几何直观）和数学思维（运算能力、推理意识）为核心，设计公式推导、多方法计算（如例5三种解法）、错误分析（平方和误区）及中考真题应用，帮助学生深层理解公式结构与变形，教师可借助分层练习和情境问题提升教学实效。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 11.3.2 两数和（差）的平方 第十一章 整式的乘除 华东师大版八上11.3.2两数和（差）的平方同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 计算$$(x+2)^2$$的结果是（） A. $$x^2+4$$ B. $$x^2+2x+4$$ C. $$x^2+4x+4$$ D. $$x^2-4x+4$$ 2. 计算$$(a-3)^2$$的结果是（） A. $$a^2-9$$ B. $$a^2-6a+9$$ C. $$a^2+6a+9$$ D. $$a^2-3a+9$$ 3. 下列运算正确的是（） A. $$(m+n)^2=m^2+n^2$$ B. $$(a-2b)^2=a^2-4b^2$$ C. $$(2x+1)^2=4x^2+4x+1$$ D. $$(x-1)^2=x^2-1$$ 4. 若$$(x+m)^2=x^2+6x+9$$，则$$m$$的值为（） A. 3 B. 6 C. 9 D. -3 5. 计算$$(-a+b)^2$$的结果是（） A. $$a^2-2ab+b^2$$ B. $$-a^2-2ab+b^2$$ C. $$a^2+2ab+b^2$$ D. $$a^2-b^2$$ 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. $$(x+5)^2=$$________。 2. $$(a-4)^2=$$________。 3. $$(3x+2y)^2=$$________。 4. $$(2m-n)^2=$$________。 5. 若$$x^2+kx+16=(x+4)^2$$，则$$k=$$________。 6. $$99^2=$$________（利用公式简便计算）。 三、计算题（每题 6 分，共 36 分） 1. 基础完全平方公式计算： （1）$$(x+4)^2$$ （2）$$(a-6)^2$$ （3）$$(4x+3)^2$$ 2. 进阶化简与简便运算： （1）$$(5a-2b)^2$$ （2）$$101^2$$ （3）$$(x+2)^2-(x-1)(x+1)$$ 四、解答题（共 20 分） 1. 先化简，再求值：$$(x-3)^2+2x(3+x)$$，其中$$x=2$$。（10 分） 2. 已知$$a+b=5，ab=6$$，求$$a^2+b^2$$的值。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.C 4.A 5.A 二、填空题 1.$$x^2+10x+25$$ 2.$$a^2-8a+16$$ 3.$$9x^2+12xy+4y^2$$ 4.$$4m^2-4mn+n^2$$ 5.$$8$$ 6.$$9801$$ 三、计算题 1.（1）$$x^2+8x+16$$ （2）$$a^2-12a+36$$ （3）$$16x^2+24x+9$$ 2.（1）$$25a^2-20ab+4b^2$$ （2）原式$$=(100+1)^2=10000+200+1=10201$$ （3）原式$$=x^2+4x+4-(x^2-1)=4x+5$$ 四、解答题 1. 解：原式$$=x^2-6x+9+6x+2x^2=3x^2+9$$ 将$$x=2$$代入得：原式$$=3\times4+9=21$$ 答：式子的值为$$21$$。 2. 解：由完全平方公式变形得： $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$ 代入$$a+b=5，ab=6$$得： 原式$$=5^2-2\times6=25-12=13$$ 答：$$a^2+b^2$$的值为13。 练习题拓展讲解（约 400 字） 两数和（差）的平方即**完全平方公式**，是和平方差公式并列的两大核心乘法公式，是整式运算、化简求值、因式分解的必考重点。本节两大核心公式：两数和的平方$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$，两数差的平方$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$。文字口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，和加差减。 本节最核心易错点：杜绝“平方和误区”，很多同学易错将$$(a\pm b)^2$$算成$$a^2\pm b^2$$，遗漏中间的两倍乘积项。同时要区分符号规律：和的平方中间项为正，差的平方中间项为负，且$$(-a+b)^2=(a-b)^2$$，平方后符号统一为正。公式中的$$a、b$$可代表数字、单项式、多项式，适用范围广泛。 高频考点包含基础展开、简便运算、公式变形求值、混合化简四类。公式变形是考试重难点，常用推导式：$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$、$$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$$，常用于已知和、积求平方和的题型。混合运算需区分完全平方公式与平方差公式，先判断式子结构再套用公式。熟练掌握公式正用、逆用、变形用，能彻底攻克整式乘法公式重难点，为后续因式分解学习打好基础。 （全文含题目、答案、知识点讲解总计约 900 字） 学习目标 1.理解并掌握两数和(或差)平方公式的推导过程 2.理解两数和(或差)平方公式的结构特征 3.灵活应用两数和(或差)平方公式.（难点） 学习目标 情境导入 一块边长为a m的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b m，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）. 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. a m a m b m b m 直接求：总面积= (a+b)(a+b) 间接求：总面积= a2 ab ab b2 a2+2ab+b2 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 03 新知探究 探究 两数和的平方 用多项式的乘法法则计算：(a + b)2. (a + b)2=(a + b)(a + b )=____________________ =_________________. a2 + ab + ab + b2 a2 + 2ab+ b2 观察：等式左边有什么特点？式子的计算结果有什么特点？ 所以 (a + b)2=a2 + 2ab+ b2 03 新知探究 探究 两数和的平方 (a + b)2=a2 + 2ab+ b2 等式左边的特点：两个数的和的平方. 等式右边的特点：结果是一个三项式，其中有两项是这两数的平方和，另一项是这两数乘积的2倍. 知识要点 这就是说， 两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的 2倍. (a + b)2=a2 + 2ab+ b2 注意：公式中a、b可以表示具体的数，也可以表示一个数或 表示一个式子。 这个公式叫做两数和的平方公式. 03 新知探究 探究 几何图形验证两数和的平方 【思考】你能根据下图解释这个公式吗? （a + b )2 大正方形的面积是： a2 ab ab b2 大正方形的面积又可以由4小块组成，它们的面积分别为：___、___、___、___ a2 b2 ab ab 03 新知探究 探究 几何图形验证两数和的平方 （a + b )2 a2 b2 2ab 03 新知讲解 解：(1) ( 2x + 3y )2 = ( 2x ) 2+2×2x ×3y +（3y )2 =4x 2+12xy +9y 2 例4 计算： (1) ( 2x + 3y )2； (2) 把2x看作a，3y 看作b，直接代入公式. 03 新知讲解 例4 计算： (1) ( 2x + 3y )2； (2) 03 新知探究 探究 两数差的平方 用多项式的乘法法则计算：(a - b)2. (a - b)2=___________________ =___________________________ =_________________. a2 + 2a（-b）+ （-b）2 a2 - 2ab+ b2 所以 (a - b)2=a2 - 2ab+ b2 [ a+( -b ) ]2 可以利用两数和的平方公式来计算. 知识要点 这就是说， 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的 2倍. (a - b)2=a2 - 2ab+ b2 这个公式叫做两数差的平方公式. 03 新知探究 探究 几何图形验证两数差的平方 【思考】你能根据下图解释这个公式吗? （a - b )2 阴影部分的面积是： 阴影部分的面积也可以由大正方形_____ 减去______和_____________ b2 （a - b )2 b（a-b） b（a-b） b2 a2 2b（a-b） 所以（a - b)2=a2- b2- 2b( a-b ) =a2-2ab+b2 拓展提高 两数和的平方与两数差的平方的特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 1.结果都为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同； (a + b)2=a2 + 2ab+ b2 (a - b)2=a2 - 2ab+ b2 03 计算： (1) ( 3x - 2y )2； (2) 新知讲解 例5 解：(1) ( 3x - 2y )2 = ( 3x ) 2- 2 × 3x ×2y +（2y )2 =9x 2-12xy +4y 2 03 计算： (1) ( 3x - 2y )2； (2) 新知讲解 例5 03 计算： (1) ( 3x - 2y )2； (2) 新知讲解 例5 你还有其他解法吗？ 03 计算： (1) ( 3x - 2y )2； (2) 新知讲解 例5 1. 如果 是一个完全平方式，则 的值是( ) C A. 3 B. 9 C. 6或 D. 两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了 一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解. 返回 中考考法 19 （第2题） 2. 如图，由图形的面积关系能够直观说明 的代数恒等式是( ) C A. B. C. D. 3.若，则代数式 为______. 返回 中考考法 20 4. 已知，，则 ____. 29 【点拨】， ， . 返回 中考考法 21 5. 小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸 上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是 ， 请在横线上填入恰当的式子，使等式成立：_____ ____ （_______________________） .（写出一种即可） （答案不唯一） 返回 中考考法 22 （第6题） 6. 10月1日，太原 五一广场举行庄严的升国旗仪式. 如图是一块长为 ，宽 为 的长方形地块，在其 中心是一个边长为 的正 方形升旗台，则图中阴影部分的 面积为_____________. （用含, 的代数式表示） 返回 中考考法 23 7.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） ； 原式 . 中考考法 24 （4） . 原式 . 返回 中考考法 25 8. 下面是小李同学数学计算本上一道题的解 答过程.请认真阅读并完成相应任务. 第一步 第二步 第三步. 任务一： 第一步的计算过程中用到的乘法公式是 ________________________； 中考考法 26 任务二： 第____步开始出现错误，这一步错误的原因是 ______； 二 漏乘 任务三： 请求出该题的正确运算结果. 【解】原式 . 返回 中考考法 27 9. 已知，，其中 为正 整数，下列两名同学的说法中正确的是( ) 嘉嘉：由已知条件可知 . 淇淇：由已知条件可知 . B A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 中考考法 28 05 课堂小结 本节课学习了什么公式？这个公式的内容是什么？ 1.两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的 2倍. 公式为(a + b)2=a2 + 2ab+ b2 2.两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的 2倍. 公式为(a - b)2=a2 - 2ab+ b2 $