11.5.2 公式法（课件）--2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“公式法”因式分解，核心知识点涵盖平方差公式和完全平方公式的应用。课堂导入通过复习因式分解定义，对比整式乘法与因式分解的互逆关系，再回顾乘法公式，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解公式法原理。 其亮点在于通过“辨一辨”辨析公式结构特征，“例1-例5”结合整体思想和提公因式法，培养抽象能力与推理意识。“举一反三”融入中考题和面积计算等实际应用，体现应用意识。课堂小结明确“一提二套三查”步骤，帮助学生系统掌握，教师可提升教学效率，学生增强解题能力。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 华东师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第11章 整式的乘除 11.5.2 公式法 2026年8月4日 华东师大版八年级上册11.5.2公式法同步练习题（含解析） 考查知识点：平方差公式因式分解、完全平方和差公式因式分解、公式结构辨析、先提公因式再用公式、整体代入公式分解、含系数负号因式分解、化简求值、公式法综合应用、易错公式混用辨析 答题时长：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列多项式能用平方差公式因式分解的是（） A. $$x^2+4$$ B. $$x^2-4$$ C. $$x^2-2x$$ D. $$x^2+4x$$ 2. 下列多项式属于完全平方式的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2-2x-4$$ D. $$x^2+4x-4$$ 3. 分解因式$$a^2-16$$的结果是（） A. $$(a-4)^2$$ B. $$(a+4)(a-4)$$ C. $$(a-2)^2$$ D. $$(a+2)(a-2)$$ 4. 分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（） A. $$(x-3)^2$$ B. $$(x+3)^2$$ C. $$(x-3)(x+3)$$ D. $$(x-9)(x+1)$$ 5. 下列因式分解正确的是（） A. $$4x^2-1=(4x+1)(4x-1)$$ B. $$x^2+9=(x+3)^2$$ C. $$9a^2-6a+1=(3a-1)^2$$ D. $$x^2-2x+4=(x-2)^2$$ 6. 分解因式$$-x^2+25$$的结果是（） A. $$-(x+5)(x-5)$$ B. $$(x+5)(x-5)$$ C. $$-(x-5)^2$$ D. $$(5-x)^2$$ 7. 多项式$$2x^2-8$$因式分解的最终结果是（） A. $$2(x^2-4)$$ B. $$2(x-2)^2$$ C. $$2(x+2)(x-2)$$ D. $$(2x+4)(x-2)$$ 8. 若$$x^2+kx+4$$是完全平方式，则k的值为（） A. 4 B. -4 C. ±4 D. ±2 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 因式分解：$$x^2-25=$$________，$$x^2+10x+25=$$________。 10. 因式分解：$$4a^2-9b^2=$$________。 11. 因式分解：$$m^2-8m+16=$$________。 12. 因式分解：$$3x^2-12=$$________。 13. 因式分解：$$(x+y)^2-(x-y)^2=$$________。 14. 若$$a^2-2ab+b^2=9$$，则$$a-b=$$________。 三、解答题（共44分） 15. 用公式法分解下列因式（16分） （1）$$16x^2-25$$ （2）$$a^2-12a+36$$ （3）$$9x^2-6xy+y^2$$ （4）$$-4m^2+n^2$$ 16. 综合因式分解（先提公因式再用公式）（12分） （1）$$5a^3-20a$$ （2）$$2x^2-12x+18$$ 17. 先因式分解，再求值：$$x^2-4y^2$$，其中$$x=5，y=2$$（8分） 18. 应用题：已知正方形边长为$$x+4$$，现将边长缩减4，利用公式法求前后两个正方形的面积差（8分） 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. B 解析：平方差公式适用条件为平方相减，$$x^2-4=x^2-2^2$$，符合公式结构，其余选项不满足。 2. B 解析：完全平方式为首尾平方、中间两倍乘积项，$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$，是标准完全平方式。 3. B 解析：直接套用平方差公式，$$a^2-16=a^2-4^2=(a+4)(a-4)$$。 4. A 解析：完全平方差公式，$$x^2-6x+9=x^2-2\cdot x\cdot3+3^2=(x-3)^2$$。 5. C 解析：A应为$$(2x+1)(2x-1)$$；B两平方和无法因式分解；D不是完全平方式，仅有C正确。 6. A 解析：原式变形为$$25-x^2=5^2-x^2=(5+x)(5-x)=-(x+5)(x-5)$$。 7. C 解析：先提公因式2，再用平方差公式，$$2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$$，分解必须彻底。 8. C 解析：$$x^2+kx+4=(x\pm2)^2$$，展开得$$kx=\pm4x$$，故$$k=\pm4$$。 填空题答案 9.$$(x+5)(x-5)$$、$$(x+5)^2$$ 10. $$(2a+3b)(2a-3b)$$ 11. $$(m-4)^2$$ 12. $$3(x+2)(x-2)$$ 13. $$4xy$$ 14. ±3 解答题解析 15. 解：（1）原式=$$(4x+5)(4x-5)$$；（2）原式=$$(a-6)^2$$；（3）原式=$$(3x-y)^2$$；（4）原式=$$(n+2m)(n-2m)$$。 16. 解：（1）原式=$$5a(a^2-4)=5a(a+2)(a-2)$$；（2）原式=$$2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$$，先提公因式再套用公式，分解彻底。 17. 解：原式=$$(x+2y)(x-2y)$$，代入$$x=5，y=2$$，原式=$$(5+4)(5-4)=9\times1=9$$。 18. 解：原面积$$(x+4)^2$$，新面积$$x^2$$，面积差$$(x+4)^2-x^2=(x+4+x)(x+4-x)=4(2x+4)=8x+16$$。答：面积差为$$8x+16$$。 核心知识点总结：1. 平方差公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，适用于平方差形式二项式；2. 完全平方公式：$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，适用于二次三项完全平方式；3. 解题步骤：先提公因式，再套用公式，最后检查是否分解彻底；4. 易错点：区分平方和与完全平方、公式混用、分解不彻底，公式法是因式分解核心重难点。 复习回顾 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 2. 下列式子从左到右哪个是因式分解? 哪个整式乘法? 它们有什么关系? ② ma+mb+mc=m(a+b+c) ① m(a+b+c)=ma+mb+mc 整式乘法 因式分解 互为相反的变形. 还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和(差)的平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 运用平方差公式因式分解 1 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式. （1）x2 + y2 （2）x2 - y2 （3） - x2 - y2 - ( x2 + y2 ) y2 - x2 （4） - x2 + y2 （5）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （6）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) ( x + y )( x - y ) ( y + x)( y - x ) 知识点1 运用平方差公式分解因式 1.［2025长春期中］下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 6 2.［2025周口期中］分解因式： ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 7 = (5x+4y)(5x-4y). 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1)原式 = 5x 4y 5x 5x 4y 4y (2)原式 a b 4y (5x)2 - (4y)2 典例精析 (1) 25x²－16y²； 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 方法总结 3.［2025晋城期末］若多项式 能用平方差公式分解因式，则单 项式 __________________. （答案不唯一） 返回 举一反三 10 例2 分解因式： ………… 一提（公因式） …… 二套（公式） 三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤 解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2 = ( x2 + y2 )( x2 - y2 ) = ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ). (1) x4－y4； (2) 3x3－12xy2. (2) 原式 = 3x(x²－4y2) = 3x[ x²－(2y)2 ] = 3x(x＋2y)(x－2y). 典例精析 两数和(或差)平方公式： 两数和(或差)平方公式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2 倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a ± b）2 运用两数和(或差)平方公式因式分解 2 凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解. a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 3、x² + 4xy + 4y² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )² 2、m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )² 1、a² + 4a + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )² a 2 a + 2 x x 2y x + 2y 2y 对照公式 a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 进行因式分解，你会吗？ m m - 3 3 a 2 m 3 a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 下列各式是不是两数和(或差)平方公式？ （1）a2 - 6a + 9； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 - 1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）中间项缺 2 倍. 例3 分解因式： （1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2. 分析：(1)中，16x2 = (4x)2， 9 = 3²，24x = 2·4x·3， 所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32. 2 a b b2 a2 (2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式. 解： (1) 16x2 + 24x + 9 = ( 4x + 3 )2. = ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2 (2) -x2 + 4xy - 4y2 = -( x2 - 4xy + 4y2 ) = -( x - 2y )2. 4.把下列多项式分解因式： （1） ; 解：原式 . （2） ; 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 举一反三 18 （4） . 解：原式 . 返回 举一反三 例4 把下列各式分解因式： （1）4x3y + 4x2y2 + xy3；（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36. 分析：（1）中有公因式 xy，应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36. 解：(1)原式 = xy(4x2 - 4xy + y2) = xy(2x - y)2. (2)原式 = (a + b)2 - 2·(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2. 20 例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用两数和(或差)平方公式分解因式，可以简化计算. = 1. = 2500. 知识点2 运用两数和（差）的平方公式分解因式 5.［2025洛阳月考］下列多项式中，可以用两数和（差）的平方公式分 解因式的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 22 6.分解因式： （1） _________； （2）［2024常州中考］ __________； （3） ____________； （4）［2024广元中考］ _________. 返回 举一反三 23 7.［2024淄博中考］若多项式 能用两数和（差）的平 方公式因式分解，则 的值是_____. 返回 举一反三 24 8.把下列多项式分解因式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 举一反三 25 （3） . 解：原式 . 返回 举一反三 知识点3 运用公式法分解因式的应用 9.把多项式 分解因式的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 27 10.已知，且，则 ____. 返回 举一反三 28 11.当，时，代数式 的值为__. 返回 举一反三 29 12.［教材习题 变式］计算： （1） _______； （2） _______. 1 600 13.如图，在半径为的圆形钢板上挖去四个半径为 的小 圆，小刚测得， ，利用因式分解求 出剩余部分的面积为_____.（结果保留 ） 返回 举一反三 30 公式法因式分解 公式 平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 两数和(或差)平方公式： a2±2ab＋b2 = (a±b)2 课堂小结 谢谢观看 THANKS $