11.5.2 用公式法分解因式（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用公式法分解因式”核心知识点，通过“十字形土地换长方形”情境导入，承接提公因式法，构建“先提后套、分解彻底”的学习支架，帮助学生精准识别平方差公式与完全平方公式结构。 其亮点在于结合实例辨析（如判断多项式是否为平方差或完全平方式）和分层练习，培养数学眼光（从实际问题抽象数量关系）与数学思维（推理公式结构特征），课堂小结明确“一提二套三查”步骤，助力学生攻克分解不彻底等易错点，教师可借此高效突破教学重点。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 11.5.2 用公式法分解因式 第11章　整式的乘除 华东师大版八年级上册11.5.2用公式法分解因式同步练习题（含答案解析） 本次练习题围绕11.5.2用公式法分解因式核心知识点编写，承接提公因式法因式分解，是因式分解的核心重点方法。重点考查平方差公式、完全平方和与差公式的结构识别、直接套用分解、先提公因式再套公式的综合运算、化简求值。题型涵盖选择、填空、解答题，难度循序渐进，贴合八年级同步学习节奏，帮助学生精准区分两大公式结构，掌握因式分解“先提后套、分解彻底”的解题原则，攻克公式混淆、分解不彻底、符号出错等高频易错问题。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列多项式适合用平方差公式分解因式的是（） A. $$x^2+4$$ B. $$x^2-4$$ C. $$x^2-4x$$ D. $$x^2+4x+4$$ 2. 下列多项式属于完全平方式的是（） A. $$a^2-2a-1$$ B. $$a^2+4a+4$$ C. $$a^2+2a+2$$ D. $$a^2-4a-4$$ 3. 分解因式$$4x^2-25y^2$$的结果是（） A. $$(4x-25y)(x-y)$$ B. $$(2x-5y)(2x+5y)$$ C. $$(2x-5y)^2$$ D. $$(2x+5y)^2$$ 4. 分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（） A. $$(x-3)^2$$ B. $$(x+3)^2$$ C. $$(x-3)(x+3)$$ D. $$x(x-6)+9$$ 5. 若$$x^2+kx+16$$是完全平方式，则$$k$$的值为（） A. 8 B. -8 C. ±8 D. ±4 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 分解因式：$$a^2-16=$$________。 2. 分解因式：$$x^2+10x+25=$$________。 3. 分解因式：$$9m^2-12mn+4n^2=$$________。 4. 分解因式：$$2a^2-8=$$________。 5. 分解因式：$$-x^2+4y^2=$$________。 三、解答题（共20分） 1. 用公式法分解下列因式（8分） （1）$$36-x^2$$ （2）$$4a^2+12a+9$$ （3）$$x^2-8xy+16y^2$$ （4）$$25(x+y)^2-16(x-y)^2$$ 2. 综合因式分解（先提公因式再套公式）（6分） （1）$$ax^2-4a$$ （2）$$-2x^2+12x-18$$ 3. 先分解因式，再求值：$$x^2-4y^2$$，其中$$x=5，y=1.5$$（6分） 四、参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：平方差公式结构为$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，要求两项、异号、均为平方形式，只有B符合条件。 2. B 解析：完全平方式为二次三项式，满足首平方、尾平方、首尾两倍在中央，$$a^2+4a+4=(a+2)^2$$，符合完全平方公式。 3. B 解析：原式符合平方差公式，原式$$=(2x)^2-(5y)^2=(2x+5y)(2x-5y)$$。 4. A 解析：原式符合完全平方差公式，原式$$=x^2-2\cdot x\cdot3+3^2=(x-3)^2$$。 5. C 解析：$$x^2+kx+16=x^2+kx+4^2$$，完全平方中间项系数$$k=\pm2\times1\times4=\pm8$$。 二、填空题 1. $$(a+4)(a-4)$$ 2. $$(x+5)^2$$ 3. $$(3m-2n)^2$$ 4. $$2(a+2)(a-2)$$ 5. $$(2y+x)(2y-x)$$ 三、解答题 1. （1）原式=$$(6+x)(6-x)$$；（2）原式=$$(2a+3)^2$$；（3）原式=$$(x-4y)^2$$；（4）原式=$$[5(x+y)+4(x-y)][5(x+y)-4(x-y)]=(9x+y)(x+9y)$$。 2. （1）原式=$$a(x^2-4)=a(x+2)(x-2)$$；（2）原式=$$-2(x^2-6x+9)=-2(x-3)^2$$，因式分解遵循先提公因式，再套公式的顺序。 3. 解：原式=$$(x+2y)(x-2y)$$，代入$$x=5，y=1.5$$，原式=$$(5+3)(5-3)=8\times2=16$$。 核心易错总结：1. 严格区分公式结构：两项异号平方用平方差，三项首尾平方、中间两倍乘积用完全平方；2. 因式分解必须先提公因式，再套公式，杜绝直接套公式导致分解不彻底；3. 整体平方形式需将多项式看作整体运算，切勿拆分出错；4. 完全平方式有两种情况，注意正负双解；5. 最终结果必须分解到不能再分解为止。 认识平方差公式、完全平方公式的特点.（重点） 会运用这两种公式将多项式分解因式.（难点） 还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： 两数和（差）的平方公式： a2 - b2 = (a + b)(a - b) (a ± b)2 = a2 ±2ab + b2 有一位张大爷租了一块“十字形”土地(如图).为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种. a b b a b2 b2 b2 b2 由题意可得： 十字形土地面积＝a2－4b2， 长方形土地：长×宽＝a2－4b2 长方形土地的长和宽可以是多少？ 探究新知 思考：多项式a2−b2有什么特点？ 你能将它分解因式吗？ 平方差公式：是a、b两数的平方差的形式. 整式乘法 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 因式分解： 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ （1）x2+y2 （2）x2−y2 （3）−x2−y2 （4）−x2+y2 （5）x2−25y2 （6）m2−1 × √ × √ √ √ 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式分解因式，即能写成：( )²−( )²的形式. 两数是平方， 减号放中央. −(x2+y2) y2−x2 x2−(5y)2 m2−12 写一写：（1）写出两数和（差）的平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 （2）根据上面的等式填空： a2+2ab+b2=___________ a2−2ab+b2=___________ (a+b)2 (a−b)2 左边的多项式有什么特点？ 把式子a2+2ab+b2和a2−2ab+b2叫做完全平方式. 完全平方式的特点： ①必须是三项式（或可以看成三项的）； ②有两个同号的数或式的平方； ③中间有两底数之积的±2倍. 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2−4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）a2−ab+b2 （4）m2+n2−2mn √ a2−2×2×a+22 × 4xy × 2ab √ m2−2·m·n+n2 完全平方式：a²±2ab+b² 简记口诀：首平方，尾平方，积的两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 因式分解之基本方法——公式法 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(差)的平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. a2−b2= (a+b)(a−b) a2+2ab+b2= (a+b)2 a2−2ab+b2= (a−b)2 例1 把下列多项式分解因式： （1）x2−4y2； （2）25x2−16y2； （3）m2+6mn+9n2； （4）x2+4xy+4y2. =x2−(2y)2 =(5x)2−(4y)2 =m2+2·m·3n+(3n)2 =x2+2·x·2y+(2y)2 =(x+2y)(x−2y) =(5x+4y)(5x−4y) =(m+3n)2 =(x+2y)2 （1）4x3y−4x2y2+xy3； 例2 把下列多项式分解因式： （2）3x3−12xy2. =xy(4x2−4xy+y2) =xy(2x−y)2. =3x[x2−(4y)2] =3x(x+2y)(x−2y). 先提公因式，再运用公式。 1.判断下列因式分解是否正确，并说明理由.如果不正确，请写出正确答案. （1）4a2-4a+1=4a(a-1)+1； （2）x2-4y2=(x+4y)(x-4y). × 4a2-4a+1=(2a)2-2·2a·1+12=(2a-1)2 × x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 2.把下列多项式分解因式： （1）a2+a； （2）4ab-2a2b； （3）9m2-n2； =a(a+1) =2ab(2-a) =(3m)2-n2 =(3m+n)(3m-n) （4）2am2-8a； （5）2a2+4ab+2b2. =2a(m2-4) =2a(m+2)(m-2) =2(a2+2ab+b2) =2(a+b)2 1.把下列多项式分解因式： （1）3x+3y； （2）-24m2x-16n2x； （3）x2-1； （4）(xy)2-1； =3(x+y) =-8x(3m2+2n2) =(x+1)(x-1) =(xy+1)(xy-1) A组 随堂练习 （5）a4x2-a4y2； （6）3x2+6xy+3y2； （7）(x-y)2+4xy； （8）4a2-3b(4a-3b). =a4(x2-y2) =a4(x+y)(x-y) =3(x2+2xy+y2) =3(x+y)2 =x2-2xy+y2+4xy =x2+2xy+y2 =(x+y)2 =4a2-12ab+9b2 =(2a-3b)2 随堂练习 2.把下列多项式分解因式： （1）(x-3)2-1； （2）(a+b)2-2(a+b)c+c2； （3）(ab+a)-(b+1). =[(x-3)+1][(x-3)-1] =(x-2)(x-4) =[(a+b)-c]2 =(a+b-c)2 =a(b+1)-(b+1) =(b+1)(a-1) 随堂练习 3.先因式分解，再求值： 2x(a-2)-y(2-a)，其中a=0.5，x=1.5，y=-2. 解： 2x(a-2)-y(2-a) =2x(a-2)+y(a-2) =(2x+y)(a-2) 当a=0.5，x=1.5，y=-2时 原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5 随堂练习 19 4.用简便方法计算： （1）99×101； （1）210-29； （3）992； （4）332-66×49+492. =(100-1)(100+1) =1002-12 =9999 =29(2-1) =29 =(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801 =332-2×33×49+492 =(33-49)2 =(-16)2 =256 随堂练习 5.在一块边长a=6.6m的正方形空地的四角均留出一块边长b=1.7m的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面积有多大？ 解：由题意可知，草坪的面积是边长为am的正方形的面积减去四个边长为bm的小正方形的面积，即 a2-4b2 =(a+2b)(a-2b) =(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(m2). 答：草坪的面积是32m2. 随堂练习 B组 6.已知二次三项式x2+ax+4含有一个因式x-2，求a的值. 解：设另一个因式为(x+b)，则原式可表示为： (x+b)(x-2) =x2-2x+bx-2b =x2+(b-2)x-2b 与原式对比系数得 -2b=4，所以b=-2. a=b-2，所以a=-4. 随堂练习 7.无论x为何实数，二次三项式x2+4x+5的值均不小于1.为什么？ 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+1)2+1. 因为对于任意实数x，(x+1)2≥0， 所以(x+1)2+1≥1，即二次三项式x2+4x+5的值均不小于1. 随堂练习 返回 1．课堂上老师在黑板上布置了如框图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，则错误的题目是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) B 用平方差公式分解下列各式： (1)－a2＋b2；　　　(2)－a2－b2； (3)36a2－b2c2; (4)16m2n2－25. 中考考法 24 返回 2．若a，b，c是△ABC的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值是(　　) A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定 B 中考考法 25 返回 3．如果x＋y，x－y，x2－y2，4，m＋n，mn分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将4m(x2－y2)＋4n(x2－y2)分解因式，结果呈现的可能是哪句话(　　) A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣 C．鹿鸣数学 D．我爱数学 A 中考考法 26 返回 4．下列可以用完全平方公式分解因式的是(　　) A．4a2－4a－1 B．4a2＋2a＋1 C．1－4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1 C 中考考法 27 返回 5．一个大正方形被分割成四部分的面积分别为15mn，9n2，25m2，15mn(m>0，n>0)，则大正方形的边长为(　　) A．5m＋9n B．5m－3n C．25m＋9n D．5m＋3n D 【点拨】因为大正方形的面积＝9n2＋15mn＋25m2＋15mn＝25m2＋30mn＋9n2＝(5m＋3n)2， 所以大正方形的边长为5m＋3n.故选D. 中考考法 28 返回 6．将4x2＋1加上一项，使它能写成(a＋b)2的形式，以下是四名学生所加的项，其中错误的是(　　) A．4x B．－4x C．4x4 D．2x D 中考考法 29 返回 7．若多项式4x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是________． ±12 中考考法 30 返回 8．利用因式分解计算： (1)992－1＝________． (2)1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________． 9 800 16 中考考法 31 9.下面是嘉淇同学把多项式－16my2＋4mx2分解因式的具体步骤： 　－16my2＋4mx2 ＝4mx2－16my2(利用加法交换律变形)① ＝m(4x2－16y2)(提取公因式m)② ＝m[(2x)2－(4y)2](逆用积的乘方公式)③ ＝m(2x＋4y)(2x－4y)(运用平方差公式因式分解)．④ (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是_____________________________________； 第②步公因式没有提取完全 中考考法 32 课堂小结 公式法 分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 三查 多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止 步骤 一提 二套 提公因式 公式 33 $