3.1勾股定理的探究（第2课时勾股定理的证明）（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的证明，以赵爽弦图历史情境导入，通过不同图形面积计算构建证明思路，从基础证明到综合应用形成学习支架，帮助学生逐步掌握定理推导与应用。 其亮点在于融入历史素材培养几何直观（数学眼光），多种面积证法发展推理能力（数学思维），题型结合代数几何体现模型意识（数学语言），如赵爽弦图面积计算实例。学生能深化证明逻辑理解，教师可借助丰富题型提升教学效率。

第3章 勾股定理 3.1勾股定理 第2课时 勾股定理的证明 学 习 目 标 1 2 会证明勾股定理 根据弦图解决线段长度问题或面积问题 新知探究 两千多年来，勾股定理的证明一直令人着迷。 公元3世纪初，数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理。 问题 新知探究 如图，根据“弦图”的思路，用4张直角三角形纸片构成一个边长为c的大正方形。你能用这个图形证明勾股定理吗？ a c b a c b A B C D a a c b A B C D a 问题 新知探究 如图，大正方形的边长为c，则 S正方形ABCD = c2。 问题 新知探究 ∵大正方形是由4个直角三角形和1个边长为b - a的小正方形组成的， ∴大正方形的面积是4个直角三角形面积与小正方形面积的和。 即 S正方形ABCD = 4 × ab + ( b - a )2 = 2ab + b2 - 2ab + a2 = a2 + b2。 ∴a2 + b2 = c2。 a c b A B C D a 尝试 新知探究 1. 如图，用4张直角三角形纸片构成大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ b b b b a a a a c c c c 解：用两种方法计算面积。 法一：( a + b )2， 法二：4 × ab + c2。 ( a + b )2 = 4 × ab + c2， a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2， a2 + b2 = c2。 尝试 新知探究 2. 连接上图中小正方形的对角线，可以得到下图。试利用下图中的面积关系证明勾股定理。 解：用两种方法计算面积。 法一： ( a + b )2，法二：2 × ab + c2。 ( a + b )2 = 2 × ab + c2， a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2， a2 + b2 = c2。 b b a a c c b b a a c c 新知探究 勾股定理的证明： 提分笔记 题型探究 例1 下面图形能够验证勾股定理的有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 勾股定理的证明 题型一 D 题型探究 例2 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b。若ab = 14，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为 （　　） A．9 B．6 C．4 D．3 根据弦图求线段长 题型二 解：由题意可得：ab = 14，a2 + b2 = 64， ∴小正方形的面积 = ( a - b )2 = a2 + b2 - 2ab = 64 - 28 = 36， ∴小正方形的边长为6。 B 题型探究 例3-1 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形，若图中大正方形ABCD的面积为34，直角三角形较短的直角边长AH为3，则中间小正方形EFGH的面积为________。 根据弦图求面积 题型三 解：由勾股定理可得：AH2 + DH2 = AD2， 即32 + DH2 = 34，解得：DH2 = 25， ∴DH = 5 ( 舍去负值 )， ∴中间小正方形EFGH的面积为( 5 - 3 )2 = 4。 4 题型探究 例3-2 “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形的两条直角边长分别为m，n ( m > n )。若小正方形面积为7，( m + n )2 = 21，则大正方形面积为________。 根据弦图求面积 题型三 解：∵小正方形面积为7，∴( m - n )2 = 7， 又∵( m + n )2 = 21， ∴( m + n )2 - ( m - n )2 = 14，∴2mn = 7， 又∵大正方形的面积 = 4 × mn + ( m - n )2 = m2 + n2， ∴m2 + n2 = ( m + n )2 - 2mn = 21 - 7 = 14。 14 题型探究 例4 如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形。已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c。课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理a2 + b2 = c2。 ( 1 ) 现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2。若a = 4，b = 6，则空白部分的面积为_________； ( 2 ) 如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处。若AD = 5，AB = 3，求EF的长。 勾股定理的证明的综合应用 题型四 题型探究 例4 ( 1 ) 现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2。若a = 4，b = 6，则空白部分的面积为________； 勾股定理的证明的综合应用 题型四 解：( 1 ) 空白部分的面积 = 边长为c的正方形的面积 - 2个直角三角形的面积 = c2 - 2 × ab， ∵a = 4，b = 6， ∴空白部分的面积 = 42 + 62 - 2 × × 4 × 6 = 28； 28 题型探究 例4 ( 2 ) 如图3，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处。若AD = 5，AB = 3，求EF的长。 勾股定理的证明的综合应用 题型四 ( 2 ) 由折叠可知：AF = AD = 5， 在Rt△ABF中，AF = 5，AB = 3， 由勾股定理得：BF = = 4， ∴CF = BC - BF = AD - BF = 5 - 4 = 1， 设EF = x，则DE = EF = x，CE = CD - DE = 3 - x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2 = CE2 + CF2， ∴x2 = ( 3 - x )2 + 12，解得：x = ，即EF = 。 勾股定理的证明： 课 堂 总 结 感谢聆听! $