3.1勾股定理的探究（第2课时 勾股定理的证明）（课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（苏科版2024）

苏科版（2024）八年级数学上册 第三章 勾股定理 第2课时 勾股定理的证明 3.1 勾股定理的探究 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.学生能够清晰复述勾股定理的内容，明确 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，准确区分定理中 “直角边”“斜边” 的概念，避免混淆。​ 2.掌握至少两种勾股定理的证明方法，能完整阐述每种证明的思路：从图形构造出发，通过 “面积相等” 的等量关系建立等式，推导得出勾股定理，且能独立写出证明过程中的关键步骤。​ 3.能运用勾股定理证明的思路，解决简单的与直角三角形边长相关的推导问题。 新课导入 两千多年来，勾股定理的证明一直令人着迷，公元3世纪初，赵爽通过“弦图”证明了勾股定理。 问题 根据“弦图”的思路，用4张如图所示的直角三角形纸片拼成一个边长为c的大正方形．你能用这个图形证明勾股定理吗？ b c a b c a C A B D 证明：∵S正方形ABCD＝c2， S正方形ABCD＝4×ab＋(b－a)2， ＝2ab＋b2－2ab＋a2 ＝a2＋b2 ∴a2＋b2＝c2． 知识点讲解 尝试 1. 用4张如图所示的直角三角形纸片拼成如图所示的大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ b c a b c a b a b a b a 证明：∵S大正方形＝(a＋b)2， S大正方形＝4×ab＋c2， ∴ (a＋b)2＝4×ab＋c2 a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2 ∴ a2＋b2＝c2． 2. 连接左图中小正方形的对角线，可以得到右图．试利用右图中的面积关系证明勾股定理. b c a b a b a b a b c a b a ∟ ∟ ∟ c 证明：∵S梯形＝(a＋b)2， S梯形＝ab＋ ab＋c2， ∴ (a＋b)2＝ab＋ ab＋c2 a2＋ab＋b2＝ab＋ab＋ c2 ∴ a²＋b²＝c². “总统”证法 定义与概念 勾股定理的证明 利用面积相等证明 赵爽弦图 图形不同的切割(或拼接)方法计算面积 典型例题 经典例题 例 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法. 如图3.1-3，火柴盒的一个侧面ABCD倒下后到四边形AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c. 请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2. 证明：由题意得C′D′＝CD＝AB＝a，D′A＝DA＝CB＝b， AC′＝AC＝c，Rt△ABC≌ Rt△AB′C′，四边形BCC′D′为直角梯形， ∴∠BAC＝∠B′AC′，S梯形BCC′D′＝(BC＋C′D′)·BD′＝. ∴∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°. ∴ S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′＝ab＋c2＋ab＝. ∴＝，即a2＋b2＝c2. 详解 Rt△AB′C′是火柴盒侧面ABCD中的Rt△ABC倒下后得到的，Rt△ABC的形状、大小未改变，只是位置由Rt△ABC改变为Rt△AB′C′，所以Rt△AB′C′≌Rt△ABC. 总结归纳 解题秘方：紧扣“总面积等于各部分面积之和”进行验证. 整个图形的面积等于不重叠、无空隙的各组成部分的面积的和. 课堂练习 基础题 知识点1 验证勾股定理 1.［2025江苏苏州姑苏区调研］我国是最早了解勾股定理的国家之一，《周髀算经》中记载了勾股定理 的公式与证明，相传是由商高发现的，故又称之为商高定理.下列四幅图中（每个图中的阴影三角形均为 全等的直角三角形），不能证明勾股定理的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项,梯形的面积为 ，该梯形也可看作是由2个直角三角形和一个等腰直 角三角形组成的，则其面积为，， ，故A选项能 证明勾股定理；B选项,大正方形的面积为 ，该大正方形也可看作是由4个直角三角形和一个小正方形组成的，则其 面积为 ，，故B能证明勾股定理；C选项,大正方形的面积为 ,该大 正方形也可看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，则其面积为，， 不能证明勾股定理；D选项, 大正方形的面积为 ,该大正方形也可看作是由4个直角三角形和一个小正方形组成 的，则其面积为， ， ，故D选项能证明勾股定理.故选C． 关键点拨 根据基础图形的面积公式表示出各个选项图形的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面 积的表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 2.［2024江苏南京期末］如图，在中，于，点 为上一点，连接，，的 延长线交于 ，已知， . （1）求证： ； 【证明】， ，， .在 与中， ， ， ， ， ， . （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明:已知：如图，在 中， ， ，，，求证： . 【解】, ， ， . 16 知识点2 勾股定理与弦图 3. 传统文化［2023江苏扬州中考］我国汉代数学家赵爽 证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵 爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成. 如图，直角三角形的直角边长为,，斜边长为 ，若 ， ，则每个直角三角形的面积为____. 96 【解析】由题图可得，， ， , ,， 每个直角三角形的面 积为 ，故答案为96. 17 提升题 4.两个全等的直角三角板和直角三角板 如图所示放置，顶点在边上，顶 点，重合，连接 ，.设，交于点， ， ，， 请你回答以下问题. （1）请猜想与 的位置关系，并加以证明； 解： . 证明：由题意，得， . ， . . . （2）请尝试利用此图形证明勾股定理. 证明： ， ，，即 拓展题 5. 在中，，，.若 为直角，则；若为 锐角或钝角，则与 之间有怎样的大小关系呢？我们一起进行探究吧. （1）阅读并填空：如图①，若为锐角，则 .证明：如图②，过点作于点，则 .在中，，在中， ____________， ________________________,即 ，整理，得 . ，， . （2）解答问题：如图③，若为钝角，试推导与 的大小关系. 解：如图所示，作，交的延长线于点 ，则 . 在中， ，在中， ， . ，整理， 得 .，，， . 课堂小结 本节课同学们学到了什么？ 勾股定理的证明 利用面积相等证明 赵爽弦图 图形不同的切割(或拼接)方法计算面积 布置作业 作业题 教科书第92页练习 第1题 课本练习 1.利用章头活动中的图形，证明勾股定理． b c a b a b a b a b a a a a b b b 证明：由图(1)得， S大正方形＝4×ab＋a²＋b²， 由图(2)得， S大正方形＝4×ab＋c2， ∴4×ab＋a²＋b²＝4×ab＋c2， ∴ a²＋b²＝c². (1) (2) 观察两个图形有什么相同点和不同点？ 同一个图形, 不同的分割方法. 感谢观看 $$