3.2 勾股定理的逆定理（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

3.2 勾股定理的逆定理 第三章 勾股定理 学 习 目 标 2 3 经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之间的关系，发展推理能力. 能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形，发展应用意识． 了解勾股数的概念，熟悉常用的勾股数． 1 问题引入 四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份的长度做边长，用木桩钉成三角形，他们认为其中一个角就是直角，你知道为什么吗？ 新知探究 逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的内容是什么？你能说出它的逆命题并判断真假吗？ 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 新知探究 逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 条件 结论 分析：1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？ 2. 直角三角形的判定方法有哪些？ 3. 如何构造一个已知是直角三角形的图形，这个图形的边长与已知三角形的边长有直接关系？ 有一个角是直角． 构造辅助直角三角形与原三角形的边长对应相等． 新知探究 已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2． 求证：△ ABC是直角三角形． A b a C B c 证明：作一个△A′B′C′，使∠C′＝90°， B′C′＝a， A′C′＝b． 根据勾股定理，得 A′B′ 2＝a2＋b2. ∟ A′ b a C′ B′ 因为 AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB 根据“SSS”，可知△ABC ≌△A′ B′ C′ . 于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形． 新知归纳 C A B a b c 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的逆定理 符号语言： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长 分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2． ∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°. 典例分析 例1 △ABC的三边长分别是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．△ABC是直角三角形吗？证明你的结论． 最长边 证明：是直角三角形， ∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1． c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1． ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形. 讨论归纳 运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤是什么？ 找：确定三角形的最长边； 算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； 比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； 判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形. 新知巩固 (1) a＝8，b＝15，c＝17；(2) a＝13，b＝14，c＝15． 1. 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角． 解：(1) 在△ABC中，∵a2＋b2＝82＋152＝64＋225＝289，c2＝172＝289， ∴ a2＋b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形，∠C是直角． (2) 在△ABC中，∵a2＋b2＝132＋142＝365，c2＝152＝225， ∴ a2＋b2≠c2， ∴ △ABC不是直角三角形． 新知巩固 (1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2) a:b:c=3:4:5． 解：(1) 在△ABC中，∵∠A＝25°，∠C＝65°， ∴ ∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－25°－65°＝90°． ∴△ABC是直角三角形. (2)设a＝3k、b＝4k、c＝5k (k＞0 )， ∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2， ∴a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形，∠C是直角. 2. 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形． 讨论归纳 判断一个三角形是否是直角三角形有哪些方法？ 用角判定： 1．两个锐角互余的三角形是直角三角形； 2．有一个角是90°的三角形是直角三角形． 用边判定： 如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断． 新知应用 你知道古埃及人构造的三角形为什么是直角三角形了吗？ 3份 4份 5份 如图，∵32＋42＝52， ∴这个三角形为直角三角形． 新知归纳 如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数． 勾股数必须同时满足两个条件： 1．三个数都是正整数； 2．两个较小数的平方和等于最大数的平方． 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律． 典例分析 例2 已知：a，b，c为正整数，且a2＋b2＝c2． 求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数． 证明：∵a2＋b2＝c2， ∴(ka)2＋(kb)2＝k2a2＋k2b2 ＝k2(a2＋b2) ＝k2c2＝(kc)2． ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数. ∴ka，kb，kc构成勾股数. 新知巩固 1.下列各组数是勾股数吗？为什么？ (1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12． 解：(1) ∵122＋152＝144＋225＝369，182＝324， ∴ 122＋152≠182． ∴ 12，15，18不是勾股数． (2) ∵112＋602＝121＋3600＝3721，612＝3721， ∴ 112＋602＝612． ∴ 11，60，61是勾股数． 新知巩固 1.下列各组数是勾股数吗？为什么？ (1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12． 解：(3) ∵152＋362＝225＋1296＝1521，392＝1521， ∴ 152＋362＝392． ∴ 15，36，39是勾股数． (4) ∵122＋352＝144＋1225＝1369，362＝1269， ∴ 122＋352≠362． ∴ 36，35，12不是勾股数． 新知巩固 2. 已知直角三角形的三边长分别是a，b，c下列说法是否正确？ (1)以长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形； 证明：(1)说法正确． 假设直角三角形的斜边为c，则有a2＋b2＝c2， ∵(2a)2＋(2b)2＝4a2＋4b2＝4(a2＋b2)＝4c2＝(2c)2． ∴以长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形. 新知巩固 2. 已知直角三角形的三边长分别是a，b，c下列说法是否正确？ (2)以长分别为，，的三条线段能组成一个直角三角形． 证明：(2)说法不正确． 假设直角三角形的斜边为c，则有a2＋b2＝c2， ∵()2＋()2＝a＋b，()2＝c． 由三角形三边关系得a＋b＞c， ∴()2＋()2＞()2， ∴以长分别为，，的三条线段不能组成一个直角三角形. 典例分析 例3 如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20． 求AC的长． A B C D A B D 解：∵AD是△ABC的中线，BC＝20， ∴BD＝DC＝BC＝10． ∵AD＝24，AB＝26， ∴AD2＋BD2＝242＋102＝676， AB2＝262＝676． ∴AD2＋BD2＝AB2． ∴∠ADB＝90°(勾股定理的逆定理)． ∴AD垂直平分BC． ∴AC＝AB＝26 ． 新知巩固 1. 一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60. 求这个三角形的面积. 解：设三角形的三边长分别为3x，4x，5x． 由题意，得3x＋4x＋5x＝60， 解得x＝5． ∴三边长分别为15，20，25． ∵152＋202＝252， ∴这个三角形是直角三角形． ∴S＝×15×20＝150． 新知巩固 2. 计算图中四边形ABCD的面积． ∟ C A B D 12 16 15 25 解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得 BD2＝122＋162＝400， ∴BD＝20. ∵CD＝15，BC＝25， ∴CD2＋BD2＝152＋202＝625， BC2＝252＝625． ∴CD2＋BD2＝BC2． ∴∠BDC＝90°(勾股定理的逆定理)． ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC ＝×12×16＋×15×20＝246． 新知巩固 3. 如图，AD⊥BC，垂足为D. 如果CD＝1，AD＝2，BD＝4，那么∠BAC是直角吗？请说明理由. C A B D ∟ 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°. ∴ 在Rt△ADC中，AC2=AD2＋DC2＝22＋12＝5. 在Rt△ADB中，AB2＝AD2＋BD2＝22＋42＝20. ∵AC2＋AB2＝20＋5＝25，BC2＝52＝25. ∴AC2＋AB2＝BC2. ∴△ABC直角三角形，∠BAC=90°. 1 2 4 思维提升 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b＝________，c＝________； (2)当a＝2n＋1时，求b，c的值； 180 181 解：(2)通过观察知c－b＝1， ∵(2n＋1)2＋b2＝c2， ∴c2－b2＝(2n＋1)2，(b＋c)(c－b)＝(2n＋1)2， ∴b＋c＝(2n＋1)2. 又∵c＝b＋1， ∴2b＋1＝(2n＋1)2， ∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1. 思维提升 (3) 用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． 解：不是．理由如下：由(2)知，2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1 为一组勾股数． 当n＝7时，2n＋1＝15，112－111＝1，但2n2＋2n＝112≠111， ∴15，111，112不是一组勾股数． 讨论归纳 勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？ 勾股定理 勾股定理的逆定理 图形 条件 结论 区别 联系 A b a C B ∟ 在Rt△ABC中，∠C＝90° a2＋b2＝c2 “直角三角形”为条件，数量关系a2＋b2＝c2为结论. 是直角三角形的性质. A b a C B c 都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关 在△ABC中，a2＋b2＝c2 ∠C＝90° 数量关系a2＋b2＝c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定. 形 数 课堂小结 勾股定理的逆定理 内容 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2， 那么这个三角形是直角三角形． 勾股数 如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2， 则称a，b，c为勾股数． 应用 判定三角形是否为直角三角形． 勾股定理及其逆定理的综合应用． 感谢聆听！ $$