3.2勾股定理的逆定理（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理及勾股数，通过回顾勾股定理“直角三角形边的平方关系”，提出逆命题“三边平方和满足关系是否为直角三角形”，再通过作全等直角三角形证明逆定理，构建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以探究式学习为主线，如通过古埃及人用绳子结构造直角三角形的情境让学生用数学眼光观察现实，通过勾股数规律的猜想与证明培养推理能力和抽象能力，题型涵盖判断直角三角形、勾股数辨析等强化应用意识。学生能提升逻辑思维，教师可借助系统资源提高教学效率。

第3章 勾股定理 3.2勾股定理的逆定理 学 习 目 标 1 2 探索勾股定理的逆定理，会用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形 认识常见的勾股数，会判断一组数是否为勾股数 3 探究勾股数的规律 新知探究 我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 反过来，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形吗？ 问题 新知探究 如图，△ABC的三边a，b，c满足a2 + b2 = c2，能否证明△ABC为直角三角形？ A c b a B C 问题 新知探究 我们先作一个Rt△A'B'C'，使∠C' = 90°，B'C' = a，A'C' = b， 再设法证明△A'B'C'与△ABC全等。 根据勾股定理，得A'B'2 = a2 + b2。 ∵AB2 = a2 + b2， ∴A'B' = AB。 根据“SSS”，可知△ABC≌△A'B'C'。 ∴∠C = ∠C' = 90°，即△ABC是直角三角形。 A c b a B C A' b a B' C' c 新知探究 勾股定理的逆定理： 提分笔记 如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。 新知探究 符合语言：如图， ∵在△ABC中，a2 + b2 = c2， ∴△ABC是直角三角形，∠C = 90°。 提分笔记 A c b a B C 新知探究 勾股定理与逆定理的关系： ( 1 ) 勾股定理：用来通过直角三角形求解几何图形的长度问题 ( 求长度 )； ( 2 ) 勾股定理逆定理：用来通过三角形三边长度证明三角形为直角三角形。 提分笔记 a b c 勾股定理 逆定理 a2 + b2 = c2 新知探究 四千多年前，古埃及人在建造金字塔时就已经知道如何构造一个直角三角形。他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后由三人拉成一个三角形，使得每条边被结点分成3段、4段、5段。这样得到的三角形一定是直角三角形。 新知探究 勾股数： 提分笔记 如果三个正整数a，b，c满足关系a2 + b2 = c2，则称a，b，c为勾股数。 新知探究 常见的勾股数： 3，4，5 6，8，10 8，15，17 5，12，13 7，24，25 9，40，41 提分笔记 辨析 新知探究 1.5、2、2.5是勾股数吗？ 解：∵1.5、2.5不是正整数， ∴1.5、2、2.5不是勾股数。 【总结】 若a2 + b2 = c2，但a，b，c不都是正整数， 则a、b、c不是勾股数。 讨论 新知探究 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律。 解：( 1 ) ① 3，4，5； ② 6，8，10； ③ 9，12，15； ④ 12，16，20； …… → 3 × 1，4 × 1，5 × 1； → 3 × 2，4 × 2，5 × 2； → 3 × 3，4 × 3，5 × 3； → 3 × 4，4 × 4，5 × 4； …… 【猜想1】 若a，b，c为勾股数，则ka，kb，kc ( k 为正整数 ) 构成勾股数。 讨论 新知探究 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律。 ( 2 ) ① 3，4，5； ② 5，12，13； ③ 7，24，25； ④ 9，40，41； …… → 3，，； → 5，，； →7，，； → 9，，； …… 【猜想2】 若n表示比1大的奇数，则n，，构成勾股数。 讨论 新知探究 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律。 ( 3 ) ① 4，3，5； ② 6，8，10； ③ 8，15，17； ④ 10，24，26； …… → 2 × 2，22 - 1，22 + 1； → 3 × 2，32 - 1，32 + 1； → 4 × 2，42 - 1，42 + 1； → 5 × 2，52 - 1，52 + 1； …… 【猜想3】 若n表示比1大的整数，则2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 典例分析 例1 已知：a，b，c为正整数，且a2 + b2 = c2。 求证：ka，kb，kc ( k 为正整数 ) 构成勾股数。 证明：∵a2 + b2 = c2， ∴( ka )2 + ( kb )2 = k2a2 + k2b2 = k2( a2 + b2 ) = k2c2 = ( kc )2。 ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数。 ∴ka，kb，kc构成勾股数。 典例分析 例1 - 拓展 - 1 若n表示比1大的奇数，求证：n，，构成勾股数。 证明：∵n2 + = = = 。 ∵n表示比1大的奇数， ∴n，，为正整数。 ∴n，，构成勾股数。 典例分析 例1 - 拓展 - 2 若n表示比1大的整数，求证：2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 证明：∵( 2n )2 + ( n2 - 1 )2 = 4n2 + n4 - 2n2 + 1 = n4 + 2n2 + 1 = ( n2 + 1 )2 。 ∵n表示比1大的整数， ∴2n，n2 - 1，n2 + 1为正整数。 ∴2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 新知探究 勾股数的规律： 提分笔记 ( 1 ) 若a，b，c为勾股数，则ka，kb，kc ( k 为正整数 ) 构成勾股数； ( 2 ) 若n表示比1大的奇数，则n，，构成勾股数； ( 3 ) 若n表示比1大的整数，则2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 辨析 新知探究 5a、12a、13a是勾股数吗？ 解：当a = 0.1时，5a、12a、13a都不是正整数， ∴5a、12a、13a不是勾股数。 典例分析 例2 如图，AD是△ABC的中线，AD = 24，AB = 26，BC = 20。 求AC的长。 解：∵AD是△ABC的中线，BC = 20， ∴BD = BC = 10。 ∵AD = 24，AB = 26， ∴AD2 + BD2 = 242 + 102 = 676，AB2 = 262 = 676。 ∴AD2 + BD2 = AB2。 ∴∠ADB = 90° ( 勾股定理的逆定理 )。 ∴AD垂直平分BC。 ∴AC = AB = 26。 A C D B 题型探究 例1-1 下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a = 1.5，b = 2，c = 2.5 B．a：b：c = 5：12：13 C．∠A + ∠B = ∠C D．∠A：∠B：∠C = 3：4：5 根据逆定理判断是否是直角三角形 题型一 解：A．∵1.52 + 22 = 2.52，∴△ABC是直角三角形； B．设a = 5x，则b = 12x，c = 13x， ∵( 5x )2 + ( 12x )2 = ( 13x )2，∴△ABC是直角三角形； C．∵∠A + ∠B = ∠C，∠A + ∠B + ∠C = 180°， ∴∠C = 90°，∴△ABC是直角三角形； D．设∠A = 3x，则∠B = 4x，∠C = 5x，∴3x + 4x + 5x = 180°， 解得：x = 15°，则3x = 45°，4x = 60°，5x = 75°，∴△ABC是锐角三角形。 D 题型探究 例1-2 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是 （　　） A． B． C． D． 根据逆定理判断是否是直角三角形 题型一 解：A、∵三边的平方分别为5，8，9，5 + 8 ≠ 9，∴不是直角三角形； B、∵三边的平方分别为5，10，17，5 + 10 ≠ 17，∴不是直角三角形； C、∵三边的平方分别为10，10，20，10 + 10 = 20，∴是直角三角形； D、∵三边的平方分别为8，10，10，8 + 10 ≠ 10，∴不是直角三角形。 C 题型探究 例2 下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．8，15，17 D．4，5，6 勾股数的辨析 题型二 解：A、0.3，0.4，0.5均不是正整数，∴不是勾股数； B、 = 2是整数，但和为无理数，∴不是勾股数； C、8，15，17均为正整数，且 82 + 152 = 172，是勾股数； D、4，5，6均为正整数，但 42 + 52 ≠ 62，∴不是勾股数。 C 题型探究 例3 下能构成直角三角形三边长的三个正整数a、b、c称为勾股数，a、b、c满足a2 + b2 = c2，世界上第一次给出勾股数公式的 是我国古代数学著作《九章算术》，观察下列勾股数： 第一类：( 3 , 4 , 5 )，( 5 , 12 , 13 )，( 7 , 24 , 25 )，( 9 , 40 , 41 )； 第二类：( 4 , 3 , 5 )，( 6 , 8 , 10 )，( 8 , 15 , 17 )，( 10 , 24 , 26 )。 （1）任写一组勾股数满足第一类形式为_____________； 勾股数的规律问题 题型三 ( 11 , 60 , 61 ) 题型探究 例3 下能构成直角三角形三边长的三个正整数a、b、c称为勾股数，a、b、c满足a2 + b2 = c2，世界上第一次给出勾股数公式的 是我国古代数学著作《九章算术》，观察下列勾股数： 第一类：( 3 , 4 , 5 )，( 5 , 12 , 13 )，( 7 , 24 , 25 )，( 9 , 40 , 41 )； 第二类：( 4 , 3 , 5 )，( 6 , 8 , 10 )，( 8 , 15 , 17 )，( 10 , 24 , 26 )。 （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m的式子表示这组勾股数为___________________，并证明你的猜想。 勾股数的规律问题 题型三 题型探究 例3 （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m的式子表示这组勾股数为___________________，并证明你的猜想。 勾股数的规律问题 题型三 证明： 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形。 勾股数： 如果三个正整数a，b，c满足关系a2 + b2 = c2，则称a，b，c为勾股数。 勾股数的规律： ( 1 ) 若a，b，c为勾股数，则ka，kb，kc ( k 为正整数 ) 构成勾股数； ( 2 ) 若n表示比1大的奇数，则n，，构成勾股数； ( 3 ) 若n表示比1大的整数，则2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 课 堂 总 结 感谢聆听! $