3.3.1 勾股定理的实际应用 课件 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的实际应用，通过手机屏幕面积比较等问题导入，引导学生从实际场景抽象直角三角形，以通用解题步骤和四大经典模型为支架，衔接勾股定理公式与现实问题解决。 其亮点在于融入数学文化（如《九章算术》折竹问题），通过建模、方程思想培养数学眼光与思维，以分层练习和规范步骤小结提升应用能力。学生能增强实际问题转化能力，教师可依托系统资源提高教学效率。

苏科版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月12日 3.3.1勾股定理的实际应用 第三章 勾股定理 3.3.1 勾股定理的实际应用 核心思想：生活中的实际问题，大多没有直接给出直角三角形，解题关键是构造直角三角形，利用 $$a^2+b^2=c^2$$ 求解边长、距离、高度等未知量。 一、通用解题步骤（考试标准步骤） 1. 建模：根据题意画出示意图，从实际场景中抽象出直角三角形； 2. 定边：分清直角边、斜边，标注已知边长； 3. 列式：代入勾股定理公式计算； 4. 作答：结合实际情境写出最终答案。 二、四大必考经典模型 模型1：高度问题（竹竿、树木、楼房） 场景：物体垂直地面，构成直角。竖直高度、水平距离为直角边，斜长为斜边。 例题：一棵大树在离地面3米处折断，树顶落在离树根4米处，求大树原高。 解：折断部分、地面、剩余树干构成直角三角形。 直角边：3m、4m，折断斜长 $$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$$（m） 树原高：$$3+5=8$$（m） 答：大树原来高度为8米。 模型2：航行、方位距离问题 场景：轮船、小车先向东（西）、再向北（南）行驶，两段路程互相垂直，可构造直角三角形求直线距离。 例题：一艘船从港口出发，向东行驶6km，再向北行驶8km，此时船离港口直线距离多远？ 解：东西、南北方向垂直，构成直角三角形。 直线距离 $$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$（km） 答：船离港口直线距离为10km。 模型3：折叠问题（几何应用高频） 核心性质：折叠前后对应边长相等、对应角相等，利用“等长代换”在直角三角形中列方程。 例题：长方形纸片长8，宽4，将一角折叠，使顶点落在对边上，利用勾股定理可设未知数建立方程求解折痕长度、剩余边长。 解题技巧：遇折叠必设 $$x$$，用边长和差表示另一条边，套勾股定理列方程。 模型4：最短路径问题 原理：两点之间线段最短。立体图形（长方体、圆柱）展开为平面图形，构造直角三角形求最短路径。 口诀：立体变平面，拉直找斜边。 三、方程思想（重难点） 实际应用中，若已知条件不足、边长未知，统一使用勾股方程法： 1. 设未知边长为 $$x$$； 2. 用含 $$x$$ 的代数式表示另一条边； 3. 根据 $$a^2+b^2=c^2$$ 列方程求解。 四、常见易错点 1. 审题不清：分不清直角边和斜边，乱用公式； 2. 忘记还原实际长度：如树高需要加上剩余竖直部分； 3. 非直角三角形不能用勾股定理，必须先确认垂直关系； 4. 立体图形不展开，直接胡乱计算路径。 五、考点总结 勾股定理实际应用本质：现实场景 → 抽象Rt△ → 代入公式求解。 四大必考题型：高度折断问题、方位行程问题、折叠边长问题、立体最短路径问题。 问题引入 甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2:1和16:9，哪款手机的屏幕面积更大？(1英寸≈2.54 cm) 长宽比 2. 对于甲手机：设宽为 x 英寸，则长为______英寸； 对于乙手机：设宽为9y英寸，则长为________英寸． x 9y 2x 2x 16y 16y 新知探究 甲、乙两种款式手机屏幕的对角线长分别为5.5英寸和5.4英寸，纵横比分别为2:1和16:9，哪款手机的屏幕面积更大？(1英寸≈2.54 cm) 解：设甲手机屏幕的长、宽分别为2x英寸，x英寸，乙手机屏幕的长、宽分别 为16y英寸，9y英寸．根据勾股定理，得 　甲：(2x)2＋x2＝5.52，解得x2＝6.05， 屏幕面积：2x×x＝2x2＝2×6.05＝12.1平方英寸； 乙： (16y)2＋(9y)²＝5.42，解得y2＝， 屏幕面积：16y×9y＝144y2＝144×≈12.5平方英寸． ∵12.1＜12.5 ∴乙手机屏幕的面积更大. 1.某公园里新修建了两座观景塔，观景塔A的高度为 ，观景塔B的高 度为，两座塔之间隔着一条 宽的人工湖，维修工人需要使用绳 索从观景塔A的塔顶滑到观景塔B的塔顶进行设备检修，那么这条绳索 最短（接头处忽略不计）需要( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 4 2.如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长 为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为_____. （第2题） 返回 中考考法 5 知识链接 屏幕类型 常见比例 面积效率 应用场景 传统屏幕 4:3 92.3% 显示器 高清屏幕 16:9 98.2% 电视/手机 全面屏 19.5:9 94.7% 智能手机 折叠屏 1:1 100% 智能手表 你知道吗？ 典例分析 例1 《九章算术》中有一个“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺),中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高? x 10－x 3 ┐ B C A 典例分析 例1 《九章算术》中有一个“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺),中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高? 解：如图，竹子在点B处折断，竹梢点A着地， △ABC是直角三角形． 设BC的长为x尺，则AB的长为(10－x)尺． 由勾股定理，得 x2＋32＝(10－x)2． 解得 x＝4.55． 答：折断处离地面4.55尺． x 10－x 3 ┐ B C A 新知巩固 1. 如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点对B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为16m，教学楼高15m，围墙BC高3m，问至少需要多长的彩旗带？ E D 解：如图，过点B作BE⊥AD于点E， 由题意，得BE＝16m，AD＝15m，BC＝3m， ∴ED＝BC＝3m，AE＝AD－ED＝15－3 ＝12m， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 AB2＝AE2＋BE2＝162＋122＝400， ∴AB＝20m. 答：至少需要20m长的彩旗带. 16m 15m 3m 新知巩固 2．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 解：设芦苇长AB＝x尺，则水深BC＝(x－1)尺， 由题意得 (x－1)2＋52＝x2， 解得 x＝13 即AB＝13尺，BC＝12尺. 答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺. ┐ B C A 1尺 5尺 3. 如图，货车车高，卸货时后面挡板 折落在地面 处，已知点，，在一条直线上， ，经过测量知 ，则____ . 1.5 （第3题） 返回 中考考法 11 4. 如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖 直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆 在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱 底部6尺（ 尺）处时绳索用尽，则木柱长为___尺. 8 （第4题） 返回 中考考法 12 5.如图，一个梯子长 ，斜靠在一面墙上，梯子底端 离墙脚 . （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ 解：根据勾股定理，得 ， 这个梯子的顶端距地面的高度为 . 中考考法 13 （2）如果梯子的顶端下滑了 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 解：由题意得， . 根据勾股定理，得，即 ， . . 即梯子的底端在水平方向滑动了 . 返回 中考考法 14 6.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一 丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问 水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是 边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在池塘的中央， 高出水面部分 为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直 的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的 （如图），求芦苇长多少尺. 中考考法 15 解：根据题意可得 （尺）. 设水深尺，则芦苇长 尺， 在中， ， 即，解得 ， ，即芦苇长13尺. 返回 中考考法 16 （第7题） 7.如图，一支长为 的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔 筒的长、宽、高分别为、、 ，那么这支铅 笔露在笔筒外的部分的长度 的范围是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 17 （第8题） 8.《九章算术》是古代东方数学代 表作，书中记载：今有开门去阃 （读 ，门槛的意思）一尺，不 合二寸，问门广几何？题目大意是： 如图①②（图②为图①的平面示意 图），推开双门，双门间隙 为2 101 寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），则 的长是_____寸. 返回 中考考法 18 9. 如图，公路和公路在点 处交汇，且 .点处有一栋居民楼， 假设一拖拉机在公路 上沿方向行驶，周围 以内会受到噪声的影响. 中考考法 19 （1）该居民楼是否会受到噪声的影响？请说明理由； 解：该居民楼会受到噪声的影响，理由如下：如图，作 ，则 ， ， ， .， 该居民楼会受到噪声的影响. 中考考法 20 （2）若受影响，已知拖拉机的速度为 ，则居民楼受到影响的 时间有多长？ 解：如图，假设拖拉机到达 处，居民楼开始受到 影响，过处后，居民楼不再受影响，连接, , 则 ， ， ， . . ，.故居民楼受到影响的时间有 . 返回 中考考法 21 10.如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆 柱的侧面上，过点， 嵌有一圈长度最短的金属丝. （1）现将圆柱侧面沿 剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ___； A A. B. C. D. （2）金属丝的长为____； 20 中考考法 22 （3）如图②，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为 ，在杯内 壁离杯底的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯 上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁 处所爬 行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 中考考法 23 解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点 ， 连接交于点，连接，则 ，易知 为最短路程.作，交的延长线于点 . 外壁处到内壁处所爬行的最短路程为 . 易得, .在 中，由勾股定理得 ,即蚂蚁从 返回 中考考法 24 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 1．构造直角三角形； 3．用勾股定理列出方程； 4．解方程； 5．检验、写出答案． 2．设出未知数； 课堂小结 $