22.3.3 相似三角形的性质 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形性质，涵盖对应线段（高、中线、角平分线）比、周长比等于相似比，面积比等于相似比平方。课堂导入通过建筑模型房梁问题，回顾相似三角形定义、判定及性质，搭建旧知到新知的学习支架。 以探究为主线，分组合作证明对应高比等于相似比，类比推导中线、角平分线关系，培养推理意识与几何直观。方格纸画图计算周长与面积比，发展抽象能力和空间观念。应用举例联系小孔成像等实际，提升应用意识，助学生形成理性思维，为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

3.相似三角形的性质 　　　　　　　　　 课题 3.相似三角形的性质 授课人 教 学 目 标 　　1.知道相似三角形的周长的比、对应边上的中线的比、对应边上的高的比、对应角的平分线的比都等于相似比. 2.能由相似三角形的相似比,求相应的面积的比;由面积比,会求相似比. 3.经历探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系的过程,理解相似三角形的性质,利用相似三角形的性质解决一些数学问题. 4.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系,培养学生的探索精神和合作意识,培养学生全面观察问题与分析问题的能力,进一步培养学生的逆向思维能力,打破思维定式的束缚. 5.通过相似三角形性质的运用,增强学生的应用意识,培养学生独立思考的习惯和在数学学习中获得成功的体验. 教学 重点 相似三角形中对应线段的比等于相似比的应用,面积的比等于相似比的平方的应用. 教学 难点 相似三角形的对应线段比、面积比与相似比的关系的推导和应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　前面我们学习了相似三角形的有关知识. 问题1:什么叫相似三角形? 问题2:如何判定两个三角形相似? 问题3:相似三角形有何性质? 问题4:一个三角形有三条重要的线段,你们知道是哪三条吗?如果两个三角形相似,那么这些对应线段有什么关系呢? 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　在生活中,我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图22-3-71,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房梁△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱. 图22-3-71 问题1:试写出△ABC与△A'B'C'的对应边、对应角之间的关系. 问题2:△ACD与△A'C'D'相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比. 问题3:如果CD=1.5 cm,那么模型房梁的立柱有多高? 问题4:据此,你可以发现相似三角形有怎样的性质? 　　从生动有趣的问题情景出发,采用递进式的提问,让学生主动获取部分知识,同时也激发了学生学习另一部分知识的欲望. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 相似三角形的对应高之比等于相似比 如图22-3-72所示,如果△ABC∽△A1B1C1,AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高,且=k,请大家猜想:与相似比k有何关系. 图22-3-72 分析:在这里要通过三角形相似得到比例式,先要看所证的比例式在哪两个三角形中,在这里是在△ABD与△A1B1D1中,只需要证这两个三角形相似即可.再想想:要证这两个三角形相似,具备了哪些条件,还差哪些条件. 请大家写出解题过程(此时大多数学生已能找到解题思路). 解: =k. ∵△ABC∽△A1B1C1,∴∠B=∠B1. 又∵AD是BC边上的高,A1D1是B1C1边上的高, ∴∠ADB=∠A1D1B1=90°, ∴△ABD∽△A1B1D1, ∴=k. 【探究2】 相似三角形对应中线和对应角平分线的比等于相似比 类比以上证明方法试着探究对应中线和对应角的平分线的比的关系. 通过刚才的探究,你能归纳一下相似三角形的有关性质吗? (学生相互交流,然后选代表回答,教师补充不足) 　　1.通过学生分组合作探究,引发学生主动探究的意识,培养合作交流的能力,发展学生类比的思维能力与归纳总结能力. 活动 二: 探究 与 应用 　　归纳:(1)相似三角形对应边的比等于相似比. (2)相似三角形的对应角相等,对应边成比例. (3)相似三角形对应边上的高的比、对应角平分线的比、对应边上的中线的比都等于相似比. 图22-3-73 【探究3】 相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方 (1)请大家在图22-3-73所示的6×6方格(方格的边长为单位1)中,画出一个与△ABC相似,且相似比不是1的格点△A'B'C'. (2)请同学们分别计算图中两个三角形的相似比、周长比及面积比,归纳总结相似三角形的周长比、面积比与相似比有什么关系. (3)想一想:如图22-3-74,如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少?面积比呢?说说你的理由. 图22-3-74 由此得到相似三角形的性质: 相似三角形的周长比等于　　　　,面积比等于　　　　.  　　2.通过比较培养学生观察、思考、类比、判断的能力.有了前面探索的基础,学生完全有能力独立完成后面的探索,在探索过程中,发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力,培养学生全面思考的思维品质. 【应用举例】 例1　(1)已知△ABC∽△DEF,其中AB=5,BC=6,CA=9,DE=3,那么△DEF的周长是　12　.  (2)若两个相似多边形的面积之比为1∶4,则它们的周长之比为 (B) A.1∶4　　　B.1∶2　　　C.2∶1　　　D.1∶16 变式　两个相似三角形中,一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm,求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中,如果较短的中线长是3 cm,那么较长的中线有多长? 例2　如图22-3-75,小强自制了一个小孔成像装置,其中纸筒的长度为15 cm.他准备了一支长为20 cm的蜡烛,想要得到高度为5 cm的像,蜡烛应放在距离纸筒多远的地方?[答案:60 cm] 图22-3-75 　　训练利用相似三角形对应边上的高的比、对应边上的中线的比、对应角的平分线的比等于相似比的性质来解决生活与生产中的实际问题,增强学生的应用意识. 【拓展提升】 例3　如图22-3-76,分别取等边三角形ABC各边的中点D,E,F,连结DE,EF,DF得到△DEF.△ABC的边长为a. (1)△DEF与△ABC相似吗? (2)求△DEF与△ABC的周长比与面积比. 图22-3-76 活动 二: 探究 与 应用 　　例4　如图22-3-77,在△ABC中,DE∥BC,DE=8 cm,BC=12 cm,若梯形BCED的面积为90 cm2,求S△ADE. 图22-3-77 例5　如图22-3-78,在△ABC中,矩形DEFG的一边DE在BC上,点F,G分别在边AC,AB上,AH是BC边上的高,AH交GF于点K,BC=48,EF=30,DE=40.求AK的长. 图22-3-78 　　1.学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的. 2.在教学中要培养学生的应变能力,巩固学生对相应的基础知识的掌握,才能解决生活与生产中的实际问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.课本P84中的练习. 2.补充练习: (1)如图22-3-79,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是 (D) A.　　　　　　　　　B. C. D. (2)已知△ADE∽△ABC,AM,AN分别是△ADE和△ABC的高,且△ADE和△ABC的周长分别是5和15,则AM∶AN=　1∶3　.  图22-3-79 (3)已知:如图22-3-80,△ABC的面积为12,D,E分别是边AB,AC的中点,则四边形BCED的面积为　9　.  图22-3-80 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本课以学生的自主探究为主线,引入新课时从学生身边熟悉的例子出发,来激发学生的学习兴趣.在猜想、证明相似三角形的性质时,也遵循学生的认知规律,循序渐进,易于学生理解. ②[讲授效果反思] 通过课堂验证“相似三角形对应边上的高的比、对应角平分线的比、对应边上的中线的比都等于相似比”,为学生提供了展示自己聪明才智的机会,并在此过程中,有利于教师发现学生分析问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生的学习热情和获得学习能力放在首位,通过应用各种启发和激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度. ③[师生互动反思] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $