22.3.2 第1课时 利用两角判定两个三角形相似（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“利用两角判定两个三角形相似”核心知识点，通过复习相似三角形定义、性质及全等三角形角判定方法，类比猜想引入新课，构建新旧知识衔接的学习支架。 此资料以探究过程培养推理意识，通过猜想验证归纳定理，结合公共角、对顶角等模型提升几何直观，分层练习与易错辨析强化严谨思维。帮助学生提升识图推理能力，为教师提供实用教学流程与素材。

2.相似三角形的判定利用两角判定两个三角形相似 教案 一、教材分析 《利用两角判定两个三角形相似》是相似三角形判定的第一课时，是继相似三角形定义、性质之后的核心重点内容。此前学生已经掌握通过定义（三角相等、三边成比例）判定三角形相似的方法，但定义法步骤繁琐、实用性较弱。本节课学习的“两角分别相等的两个三角形相似”是初中几何最常用、最高频的相似判定定理，定理简洁、应用性强。本节课不仅完善了相似三角形的判定体系，也为后续边角判定、平行模型、几何综合证明、圆内相似问题奠定核心基础，在整个相似几何板块中起到承上启下的关键作用。 二、学情分析 九年级学生已经掌握相似三角形的基本概念、性质、对应关系和相似比，具备良好的几何识图与简单推理能力，同时熟练掌握三角形内角和、全等三角形角判定方法，具备学习本节课的知识基础。学生学习优势是容易理解“角相等推相似”的逻辑，但存在明显易错点：容易混淆全等判定与相似判定的条件，误认为需要边相等；只会机械套用定理，不会在复杂图形中找公共角、对顶角、等角代换；忽略图形隐藏条件，导致找不到两组相等角，解题思路单一。 三、教学目标 1. 知识与技能：理解并掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理；能准确识别图形中的公共角、对顶角、余角、等角代换，熟练运用定理判定三角形相似；能结合定理完成简单的几何证明与边长、角度计算。 2. 过程与方法：经历猜想、验证、归纳定理、例题应用的探究过程，培养学生观察识图、等量代换、几何推理的能力，进一步强化数形结合、类比推理的数学思想。 3. 情感态度与价值观：感受几何定理的简洁性与实用性，体会从简单条件推导图形关系的逻辑魅力，培养严谨的推理习惯和规范的解题书写习惯，提升学生几何学习的积极性与自信心。 四、教学重难点 重点：掌握两角分别相等判定三角形相似的定理，能熟练运用定理判定三角形相似。 难点：在复杂图形中挖掘隐藏相等角（公共角、对顶角、同角的余角等）；规范书写相似证明过程，精准找准三角形对应关系。 五、教学准备 多媒体课件、几何模型图（A型、X型、斜交型）、分层练习题、易错对比素材 六、教学过程 （一）复习旧知，导入新课（5分钟） 复习回顾：相似三角形的定义与性质、定义法判定相似的繁琐性，回顾全等三角形的角边角、角角边判定方法。设问启发：判定全等可以用两组角加一组边，那么判定相似是否可以只用角的关系？展示两个形状相同、大小不同但两组角对应相等的三角形，引导学生猜想：只要两个三角形有两组角对应相等，三角形形状就相同，进而相似。由此导入本节课课题：利用两角判定两个三角形相似。 （二）探究新知，归纳定理（22分钟） 1. 定理猜想与验证 引导学生结合三角形内角和定理推理：若两个三角形有两组对应角分别相等，则第三组角必然相等，满足相似三角形“三角对应相等”的定义，由此验证猜想成立。最终归纳核心判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。教师强调：只需两组角对应相等，即可直接判定相似，无需验证边长，是最简、最常用的判定方法。 2. 定理核心解读 拆解定理关键：必须是“两个三角形”“两组对应角”分别相等，随意两组角相等无意义。区分相似与全等：相似只需角相等，不要求边相等；全等需要角相等且边相等，杜绝概念混淆。同时说明：直角三角形只需一组锐角相等即可判定相似，简化特殊图形判定流程。 3. 常见等角模型精讲 归纳中考高频找角模型：公共角模型、对顶角模型、同角（等角）的余角相等模型、平行线同位角内错角模型。结合A型、X型基础图形示范，教会学生快速从图形中锁定两组相等角，突破识图难点。 4. 例题示范，规范步骤 基础例题：在△ABC和△ADE中，DE∥BC，求证△ADE∽△ABC。示范标准证明流程：先由平行得等角，再罗列两组对应角相等，最后根据两角判定定理证相似，规范几何推理书写格式。提升例题：利用余角相等找等角，证明三角形相似，训练等角代换思维。 5. 高频易错点辨析 汇总典型错误：找错对应角、未对应直接套用定理、证明过程逻辑颠倒、混淆相似与全等判定条件、复杂图形漏看隐藏公共角。通过正误书写对比，纠正学生推理漏洞，强化解题严谨性。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：简单平行模型、公共角模型相似判定，夯实定理应用；提升练习：余角、对顶角等隐藏角题型，训练识图与代换能力；拓展练习：结合相似性质的综合题型，先判定相似再求边长与角度。学生独立完成后小组互评，教师针对对应错误、书写不规范、找角不全等问题集中讲评。 （四）课堂小结，梳理知识（3分钟） 引导学生自主总结：两角相似判定定理、常见找等角模型、证明书写步骤。教师升华：两角判定法是相似判定的核心方法，核心难点不在于记定理，而在于识图找隐藏等角，为后续综合几何证明奠定基础。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材课后对应习题，熟练掌握两角相似判定与规范书写；拓展作业：整理四类找等角模型，归纳易错点，完成相似证明专项练习。 七、板书设计 利用两角判定两个三角形相似 1. 判定定理：两角分别相等的两个三角形相似 2. 核心依据：两组等角→三角全相等→三角形相似 3. 常见等角：公共角、对顶角、平行等角、余角等角 4. 特殊结论：直角三角形一锐角相等即相似 5. 易错点：找错对应角、书写不规范、混淆全等相似 八、教学反思 本节课依托旧知类比导入，推理简洁易懂，符合学生认知规律。通过定理推导、模型归纳、例题示范、分层训练，大部分学生能够掌握两角相似判定定理，可独立完成基础相似证明与计算。课堂反馈发现，学生定理记忆较快，但识图能力参差不齐，在复杂图形中难以快速找到两组对应等角，容易忽略隐藏角条件，同时证明过程书写逻辑不够严谨。后续教学中，需强化几何识图专项训练，多归类经典几何模型，严格规范证明书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，为后续相似综合题型学习筑牢基础。 第1课时 利用两角判定两个三角形相似 1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点) 2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点) 　 一、情景导入 如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 二、合作探究 探究点一：两角分别相等的两个三角形相似 在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由. 解：△ABC∽△A′B′C′. 理由：由三角形的内角和是180°， 得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°， 所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′. 故△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）. 方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件. 探究点二：两角分别相等的两个三角形相似的应用 已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：＝. 解析：要证明＝，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论. 证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠AEF＝∠BDF＝90°. 又∵∠AFE＝∠BFD， ∴△AFE∽△BFD，∴＝. 方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式. 如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长. 解：方法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC， 所以＝，即＝， 所以BC＝15cm.又因为DF∥AC， 所以四边形DFCE是平行四边形， 所以FC＝DE＝5cm， 所以BF＝BC－FC＝15－5＝10（cm）. 方法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B. 又因为DF∥AC，所以∠A＝∠BDF， 所以△ADE∽△DBF， 所以＝，即＝， 所以BF＝10cm. 方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到. 三、板书设计 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $