20.3.2 二次根式的混合运算 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次根式的混合运算，通过回顾乘除、加减法则，类比分配律、整式乘除法及乘法公式，搭建新旧知识支架，引导学生从已知过渡到混合运算学习。 特色在于以类比思想为主线，探究运算律适用性培养推理意识，结合基础题、变式题及中考题实现分层教学，知识网络框架图助力体系构建。既提升学生运算能力与创新意识，又为教师提供清晰教学流程与反思方向。

第2课时　二次根式的混合运算 　　　　　　　　　 课题 第2课时　二次根式的混合运算 授课人 教 学 目 标 1.在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上,使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系,并能熟练地进行二次根式的混合运算. 2.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算做比较,要注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用. 3.引导法,在一题多解中进行比较,寻求有效快捷的计算方法. 4.通过本节课的学习,培养学生的类比思想. 教学 重点 混合运算的法则,明确三级运算的顺序及运算律的合理使用. 教学 难点 灵活运用因式分解、约分等技巧,使计算简便. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体:PPT课件、电子白板 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.二次根式的乘法和除法法则分别是什么? 乘法法则:·(a≥0,b≥0). 除法法则:(a≥0,b>0). 2.二次根式的加减法则是什么? m±n=(m±n)(为最简二次根式,m,n为实数). 3.计算: (1);(2);(3). 　　通过对加减乘除法则的回顾,掌握其运算的关键步骤,为混合运算奠定基础. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 1.你能说出分配律吗?利用分配律计算:36×. 2.你能类比单项式与多项式乘除法法则计算下列各式吗? (1)(2);(2)()÷. 3.你能说出乘法公式吗?你能利用乘法公式计算下列各题吗? (1)(2x+3y)(2x-3y);(2)(2a-b)2. 4.你能根据乘法公式计算下列各题吗? (1)(-2)(+2);(2)(-2)2. 　　用类比的方法探索二次根式混合运算的特点,使学生了解新旧知识之间的区别与联系. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二次根式的乘除法与运算律 问题1:单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc. (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. 问题2:多项式与单项式的除法法则是什么? (ma+mb+mc)÷m=a+b+c(m≠0). 思考1:若把字母a,b,c,m都用二次根式代替呢? (1)();　　　(2)()÷. 解:(1)()=. (2)()÷-1=2-1=1. 思考2:(2+4)×=(+2)×成立吗?判断的依据是什么? 学生一起讨论研究得出结论:有理数乘法的运算律同样适用于二次根式的混合运算. 　　继续就引入中的问题进行探讨,让学生在交流探究中成长,学生通过问题的研究明白有理数乘法的运算律同样适用于二次根式的混合运算. 活动 二: 探究 与 应用 【探究2】 二次根式的乘法运算与乘法公式 问题1:整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. 问题2:整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 因为整式的乘法公式就是多项式乘多项式,前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算,所以整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用. 　　用代数替换的方法引入二次根式与乘法公式的综合问题,符合学生的认知规律,也让学生更能熟练地应用乘法公式. 【应用举例】 例1　计算: (1)()×;(2)(4-3)÷2. 解:(1)()×=4+3. (2)(4-3)÷2=(4-3)×=4-3=2-. 变式　计算:×(-2). 解:原式=×(-2)=-×(-2)=8. 规律总结:二次根式的加减乘除混合运算与整式运算一样,体现在运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 例2　计算: (1)(+1)(-1);(2)(-1)2. 解:(1)(+1)(-1) =()2-12 =2-1 =1. (2)(-1)2 =()2-2××1+12 =3-2. 　　通过应用举例帮助学生巩固所学知识. 【拓展提升】 例3　先化简,再求值:÷,其中a=-1. 解:原式=·. 把a=-1代入,得原式==1. 　　1.例3选择于近几年的中考题,既说明二次根式在中考中占有重要的位置,也说明化简求值题先化简、再求值对于二次根式仍然适用. 活动 二: 探究 与 应用 　　例4　比较和的大小. 解:因为()2=18+2,()2=18+2, 而18+2>18+2, 所以()2>()2, 所以. 例5　阅读下列解题过程: ; . (1)观察上面的解题过程,请直接写出的结果; (2)利用上面所提出的解法化简: +…+. [解析] 解题关键是将二次根式除法中的分母有理化. 解:(1). (2)原式=-1++…+-1=10-1=9. 　　2.例5把课本单个分母有理化变式为几个二次根式的分母有理化,且要观察、归纳、推导一般的结论. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.课本P11练习T2. 2.课本P12习题20.3T2. 3.补充练习: (1)下列计算中正确的是 (B) A.=3 B.()÷=-1 C.=2 D.()=+2 (2)计算()()的结果等于　3　.  (3)计算: ①()÷; ②(3+)(3-); ③(-2)2-6(3-). [答案:①5　②6　③6-12] (4)已知x=+1,y=-1,求下列各式的值: ①x2-y2;②x2+2xy+y2. [答案:①4　②12] 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 实际情境时小组讨论,开阔思维;利用以前的知识探究新知识,有利于学生对知识的系统把握. ②[讲授效果反思] 教学中要以练习为主,这样便于学生在实例中理解、掌握概念及法则.注意引导学生分析及书写的步骤和格式,引导学生归纳解题的注意事项,明确法则使用的条件. ③[师生互动反思] 针对不同学生设置不同的要求,实现分层教学.在实际教学中教师多巡视、指导,师生合作交流完成任务后教师适时评价. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　  　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $