1.3 二次函数的性质 同步课时练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章  二次函数

1.3  二次函数的性质  同步课时练

【教材版本】浙教版九年级上册    【建议用时】45分钟    【满分】100分

【学习目标】

1. 掌握二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向等基本性质；

2. 能利用二次函数的增减性解决相关问题，会求给定区间上的最值；

3. 理解二次函数图象与系数 a、b、c 的关系，能通过系数判断图像特征。

【知识梳理】

一、二次函数 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的性质

◆  对称轴：直线 x = -b/(2a)；

◆  顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))；

◆  a > 0 时，开口向上，有最小值；a < 0 时，开口向下，有最大值；

◆  增减性（a > 0）：当 x < -b/(2a) 时，y 随 x 增大而减小；当 x > -b/(2a) 时，y 随 x 增大而增大；

◆  增减性（a < 0）：当 x < -b/(2a) 时，y 随 x 增大而增大；当 x > -b/(2a) 时，y 随 x 增大而减小。

口诀：开口望 a，对称看 -b/(2a)，顶点代公式，增减有方向。

二、系数 a、b、c 与图像的关系

◆  a 的符号 → 开口方向：a > 0 开口向上，a < 0 开口向下；

◆  a 与 b 共同决定对称轴位置：对称轴 x = -b/(2a)，a、b 同号时对称轴在 y 轴左侧，异号时在右侧；

◆  c 的符号 → 与 y 轴交点 (0, c)：c > 0 正半轴，c < 0 负半轴；

◆  b² - 4ac 的符号 → 与 x 轴交点个数：> 0 两个，= 0 一个（相切），< 0 无交点。

一、选择题（每小题5分，共25分）

1. 抛物线 y = x² - 4x + 3 的对称轴是（    ）

A. 直线 x = 2

B. 直线 x = -2

C. 直线 x = 4

D. 直线 x = -4

2. 二次函数 y = -2x² + 8x - 5 的顶点坐标是（    ）

A. (2, 3)

B. (-2, 3)

C. (2, -3)

D. (-2, -3)

3. 对于二次函数 y = (x - 1)² + 2，下列说法正确的是（    ）

A. 当 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小

B. 当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大

C. 当 x < 1 时，y 随 x 的增大而增大

D. y 的值恒大于 0

4. 二次函数 y = -x² + 2x + 3 的最大值是（    ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

5. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图像如图所示（开口向上，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于负半轴），则下列判断正确的是（    ）

A. a > 0, b < 0, c < 0

B. a > 0, b > 0, c < 0

C. a < 0, b < 0, c > 0

D. a < 0, b > 0, c < 0

二、填空题（每小题5分，共25分）

6. 二次函数 y = 3x² - 6x + 1 的对称轴为 ______，顶点坐标为 ______。

7. 若二次函数 y = (m - 1)x² + 2x + 1 的图像开口向下，则 m 的取值范围是 ______。

8. 二次函数 y = -2x² + 4x - 1，当 x = ______ 时，y 有最______值为 ______。

9. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 中，a < 0，b > 0，c = 0，则该函数图像不经过第 ______ 象限。

10. 若点 A(-1, y₁)、B(2, y₂)、C(4, y₃) 均在抛物线 y = (x - 2)² + 1 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是 ____________（用 > 连接）。

三、解答题（共20分）

11. （10分）已知二次函数 y = x² - 6x + 5。

（1）用配方法将函数化为 y = a(x - h)² + k 的形式；

（2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；

（3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？当 x 取何值时，y 有最小值？最小值是多少？

 

 

 

 

 

 

12. （10分）已知二次函数 y = -2x² + 8x - 6。

（1）求该函数的对称轴和顶点坐标；

（2）画出函数图像的草图（标注顶点、对称轴、与坐标轴的交点）；

（3）当 1 ≤ x ≤ 3 时，求 y 的取值范围。