1.3 二次函数的性质 同步课时练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用递进，通过“概念理解-运算巩固-问题解决”路径强化二次函数性质掌握，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数对称轴、顶点坐标、开口方向等基本性质|直接应用公式（如选择1求对称轴），基础运算（如解答11配方法），强化符号意识与运算能力| |能力提升|增减性、区间最值、系数与图像关系|结合数据表格抽象函数（如13题），含参数问题（如14题），发展推理能力与抽象思维| |拓展探究|综合应用与几何结合|待定系数法求解析式、最短路径及面积问题（如15题），培养模型意识与应用能力|

第1章 二次函数 1.3 二次函数的性质 同步课时练 【教材版本】浙教版九年级上册 【建议用时】45分钟 【满分】100分 【学习目标】 1. 掌握二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向等基本性质； 2. 能利用二次函数的增减性解决相关问题，会求给定区间上的最值； 3. 理解二次函数图象与系数 a、b、c 的关系，能通过系数判断图像特征。 【知识梳理】 一、二次函数 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的性质 ◆ 对称轴：直线 x = -b/(2a)； ◆ 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))； ◆ a > 0 时，开口向上，有最小值；a < 0 时，开口向下，有最大值； ◆ 增减性（a > 0）：当 x < -b/(2a) 时，y 随 x 增大而减小；当 x > -b/(2a) 时，y 随 x 增大而增大； ◆ 增减性（a < 0）：当 x < -b/(2a) 时，y 随 x 增大而增大；当 x > -b/(2a) 时，y 随 x 增大而减小。 口诀：开口望 a，对称看 -b/(2a)，顶点代公式，增减有方向。 二、系数 a、b、c 与图像的关系 ◆ a 的符号 → 开口方向：a > 0 开口向上，a < 0 开口向下； ◆ a 与 b 共同决定对称轴位置：对称轴 x = -b/(2a)，a、b 同号时对称轴在 y 轴左侧，异号时在右侧； ◆ c 的符号 → 与 y 轴交点 (0, c)：c > 0 正半轴，c < 0 负半轴； ◆ b² - 4ac 的符号 → 与 x 轴交点个数：> 0 两个，= 0 一个（相切），< 0 无交点。 一、选择题（每小题5分，共25分） 1. 抛物线 y = x² - 4x + 3 的对称轴是（ ） A. 直线 x = 2 B. 直线 x = -2 C. 直线 x = 4 D. 直线 x = -4 2. 二次函数 y = -2x² + 8x - 5 的顶点坐标是（ ） A. (2, 3) B. (-2, 3) C. (2, -3) D. (-2, -3) 3. 对于二次函数 y = (x - 1)² + 2，下列说法正确的是（ ） A. 当 x > 1 时，y 随 x 的增大而减小 B. 当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大 C. 当 x < 1 时，y 随 x 的增大而增大 D. y 的值恒大于 0 4. 二次函数 y = -x² + 2x + 3 的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图像如图所示（开口向上，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于负半轴），则下列判断正确的是（ ） A. a > 0, b < 0, c < 0 B. a > 0, b > 0, c < 0 C. a < 0, b < 0, c > 0 D. a < 0, b > 0, c < 0 二、填空题（每小题5分，共25分） 6. 二次函数 y = 3x² - 6x + 1 的对称轴为 ______，顶点坐标为 ______。 7. 若二次函数 y = (m - 1)x² + 2x + 1 的图像开口向下，则 m 的取值范围是 ______。 8. 二次函数 y = -2x² + 4x - 1，当 x = ______ 时，y 有最______值为 ______。 9. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 中，a < 0，b > 0，c = 0，则该函数图像不经过第 ______ 象限。 10. 若点 A(-1, y₁)、B(2, y₂)、C(4, y₃) 均在抛物线 y = (x - 2)² + 1 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是 ____________（用 > 连接）。 三、解答题（共20分） 11. （10分）已知二次函数 y = x² - 6x + 5。 （1）用配方法将函数化为 y = a(x - h)² + k 的形式； （2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？当 x 取何值时，y 有最小值？最小值是多少？ 12. （10分）已知二次函数 y = -2x² + 8x - 6。 （1）求该函数的对称轴和顶点坐标； （2）画出函数图像的草图（标注顶点、对称轴、与坐标轴的交点）； （3）当 1 ≤ x ≤ 3 时，求 y 的取值范围。 四、能力提升（共20分） 13. （8分）已知二次函数 y = ax² + bx + c 图像的一部分如下表所示： x -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 （1）根据表中数据，求该二次函数的表达式； （2）该函数的对称轴是多少？当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 14. （12分）对于二次函数 y = x² - 2mx + m² - m + 1（m 为常数）。 （1）将函数化为顶点式，并写出其最小值（用含 m 的式子表示）； （2）若该函数的最小值为 -2，求 m 的值； （3）当 m = 3 时，在 -1 ≤ x ≤ 3 范围内，求该函数的最大值和最小值。 五、拓展探究（共10分） 15. （10分）已知抛物线 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）经过点 (0, -3)、(1, 0)、(3, 0)。 （1）求 a、b、c 的值，写出该抛物线的解析式； （2）若点 P(m, n) 是抛物线对称轴上一点，且 PA + PB 最小，其中 A(-1, 0)、B(5, 0)，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到一点 Q，使 △ABQ 的面积为 6？若能，求出点 Q 的坐标；若不能，请说明理由。 参考答案与解析 一、选择题 1. A 解析：对称轴 x = -b/(2a) = -(-4)/(2×1) = 2。 2. A 解析：配方 y = -2(x² - 4x) - 5 = -2(x - 2)² + 8 - 5 = -2(x - 2)² + 3，顶点 (2, 3)。 3. B 解析：顶点式 y = (x - 1)² + 2，a = 1 > 0，开口向上。对称轴 x = 1，在对称轴右侧 y 随 x 增大而增大。 4. B 解析：配方 y = -(x² - 2x) + 3 = -(x - 1)² + 1 + 3 = -(x - 1)² + 4，最大值为 4。 5. A 解析：开口向上 → a > 0；对称轴 x = -b/(2a) > 0 → b < 0；与 y 轴交于负半轴 → c < 0。 二、填空题 6. 直线 x = 1；(1, -2) 解析：对称轴 x = -(-6)/(2×3) = 1；y = 3(x - 1)² - 2，顶点 (1, -2)。 7. m < 1 解析：开口向下 → 二次项系数 m - 1 < 0 → m < 1。 8. x = 1；大；1 解析：配方 y = -2(x² - 2x) - 1 = -2(x - 1)² + 2 - 1 = -2(x - 1)² + 1，顶点 (1, 1)，a < 0 开口向下，最大值为 1。 9. 三 解析：a < 0 开口向下，c = 0 过原点，b > 0 对称轴 x = -b/(2a) > 0（因为分母为负，分子为正，商为负的倒数即正）。顶点在 x 轴上方（因为过原点且开口向下，顶点在原点的右上方），图像不经过第三象限。 10. y₁ > y₃ > y₂ 解析：y = (x - 2)² + 1，对称轴 x = 2，开口向上。离对称轴越远 y 越大：|-1-2|=3，|2-2|=0，|4-2|=2，故 y₁ > y₃ > y₂。 三、解答题 11. 解： （1）y = x² - 6x + 5 = (x² - 6x + 9) - 9 + 5 = (x - 3)² - 4。 （2）a = 1 > 0，开口向上；顶点坐标 (3, -4)；对称轴为直线 x = 3。 （3）开口向上，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，∴ 当 x < 3 时，y 随 x 的增大而减小。 当 x = 3 时，y 有最小值，最小值为 -4。 12. 解： （1）y = -2x² + 8x - 6 = -2(x² - 4x) - 6 = -2(x - 2)² + 8 - 6 = -2(x - 2)² + 2。 对称轴为直线 x = 2，顶点坐标为 (2, 2)。 （2）开口向下，顶点 (2, 2)，对称轴 x = 2。 令 x = 0，y = -6；令 y = 0，-2(x - 2)² + 2 = 0 → (x - 2)² = 1 → x = 1 或 x = 3。 与 x 轴交于 (1, 0) 和 (3, 0)，与 y 轴交于 (0, -6)。（草图略） （3）在 1 ≤ x ≤ 3 上，顶点 x = 2 在区间内，最大值为 2（x = 2 时）； 端点：x = 1 和 x = 3 时 y = 0，为最小值。∴ y 的取值范围是 0 ≤ y ≤ 2。 四、能力提升 13. 解： （1）从表中可以观察到：x = 0 时 y = 1，x = 2 时 y = 1， x = -1 时 y = 4，x = 3 时 y = 4。这是一个对称的函数（对称轴 x = 1）。 设 y = a(x - 1)² + k，代入 (0, 1)：1 = a(0 - 1)² + k = a + k …① 代入 (1, 0)：0 = a×0 + k = k → k = 0。代入①：a = 1。 ∴ y = (x - 1)² = x² - 2x + 1。 （2）对称轴为直线 x = 1；a = 1 > 0，开口向上，∴ 当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大。 14. 解： （1）y = x² - 2mx + m² - m + 1 = (x - m)² - m + 1。 ∵ (x - m)² ≥ 0，∴ 最小值为 -m + 1。 （2）由题意：-m + 1 = -2，∴ m = 3。 （3）当 m = 3 时，y = (x - 3)² - 3 + 1 = (x - 3)² - 2。 对称轴 x = 3，开口向上。在 [-1, 3] 上： x = 3 时，y_min = -2；x = -1 时，y = (-1 - 3)² - 2 = 16 - 2 = 14。 ∴ 最大值为 14，最小值为 -2。 五、拓展探究 15. 解： （1）抛物线经过 (0, -3)、(1, 0)、(3, 0)， 设 y = a(x - 1)(x - 3)，代入 (0, -3)：-3 = a(-1)(-3) = 3a → a = -1。 ∴ 解析式为 y = -(x - 1)(x - 3) = -(x² - 4x + 3) = -x² + 4x - 3。 即 a = -1，b = 4，c = -3。 （2）对称轴 x = -b/(2a) = -4/(-2) = 2。 P 在对称轴 x = 2 上，设 P(2, p)。 要使 PA + PB 最小，P 应位于线段 AB 的垂直平分线上。 A(-1, 0)，B(5, 0)，AB 的中垂线为 x = 2（即对称轴本身）。 由几何意义（作 A 关于 x = 2 的对称点 A' = (5, 0) = B），P 连接 A'B 即 PB 自身， 使 PA + PB = PA + PB，当 P 在对称轴与 x 轴交点处时即可，P(2, 0)。 （或直接用光线反射原理：A 关于对称轴 x = 2 的对称点 A'(5, 0)， 直线 A'B 即 x 轴上的线段，与 x = 2 交于 (2, 0)。∴ P(2, 0)。） （3）|AB| = 6，若 S_{△ABQ} = 6，则 ½ × 6 × |y_Q| = 6 → |y_Q| = 2。 ∴ y_Q = 2 或 y_Q = -2。 在抛物线 y = -x² + 4x - 3 上： 若 y = 2：-x² + 4x - 3 = 2 → x² - 4x + 5 = 0，△ = 16 - 20 = -4 < 0，无解。 若 y = -2：-x² + 4x - 3 = -2 → x² - 4x + 1 = 0，△ = 16 - 4 = 12， x = (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3。 ∴ Q₁(2 + √3, -2)，Q₂(2 - √3, -2)。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $