3.7 扇形（第2课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆锥母线概念、侧面积及全面积公式，通过“蛋筒包装纸面积”生活情境导入，引导学生剪开展开圆锥侧面，经历“立体—平面—立体”转化，衔接已学圆周长、面积公式及勾股定理，构建知识支架。 采用“生活情境→动手实验→数学推导→例题应用”四步教学法，以剪展开操作培养几何直观与空间观念，公式推导渗透推理意识，生活实例（零件涂漆）与综合题（旋转体）发展模型意识，助力学生提升转化思想与应用能力，为教师提供分层练习与清晰教学路径。

3.7扇形（2） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版九年级上册第三章 圆 3.7《扇形（2）》。核心知识点： 1.圆锥母线的概念； 2.圆锥侧面积公式 与全面积公式 ； 3.圆锥侧面展开图为扇形，并满足“扇形弧长＝底面圆周长”的等量关系； 4.利用侧面积公式解决实际问题与综合题。 2.内容解析 本节课以生活情境“蛋筒包装纸的面积”导入，借助剪展开操作经历“立体—平面—立体”的转化过程，让学生直观认识圆锥侧面展开图是扇形，并在操作体验中感知母线与扇形半径、底面圆周长与扇形弧长之间的对应关系。随后通过公式推导，建立 ，再结合底面积导出 ，突出“以不变映射化曲为平”的思想方法。例题与练习由直观计算—逆向求参—综合建模逐层递进，既巩固公式使用，又培养量化分析与转化思想。教学重点放在公式的建立及其意义，难点在于“弧长＝圆周长”对应关系的理解与综合题的数学建模。 1.教学目标 •了解圆锥母线的概念。 •理解并掌握圆锥侧面积公式 及全面积公式 。 •能运用圆锥侧面积公式解决相关问题。 2.目标解析 •通过剪展开、公式推导及例题练习，学生能准确叙述母线定义，熟练运用 、 公式进行计算，正确求解已知扇形数据、旋转体等多样化题型。 •引导学生在操作、观察、类比中归纳等量关系，体验模型转换与公式推导的思维过程，形成用几何转化解决实际问题的意识。 •通过生活实例（冰淇淋包装、零件涂漆等）体会数学与生产实际的联系，激发学习兴趣，培养节约资源的责任感。 3.重点难点 • 教学重点：母线、底面半径与扇形半径、弧长之间的一一对应。 • 教学难点：等量关系“扇形弧长＝底面圆周长”的本质理解。 九年级学生已掌握圆的周长、面积公式及勾股定理，具备用割补法、类比法获取新知识的基础。学生对立体几何的空间想象能力尚在发展，能通过实物、模型直观感知，但在抽象层面的“曲面—平面”转化、用字母表示数量关系、列方程求未知量等方面存在困难。部分学生对公式来源与应用场景缺乏深层理解，易机械套用。因此需通过动手剪裁、动态演示、实际问题情境，帮助学生建构空间—平面对应关系，突破公式推导与综合运用的难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 这些物品外形有哪些共同特点？能抽象成哪一种立体图形？ 蛋筒的外侧常包着一圈印着logo的纸，假如你是厂家，要怎么算出这张纸的面积呢？ 【设计意图】借助贴近生活的实例激活学生已有经验，引发“如何量化”的真实需求，激发学习兴趣；同时明确本节知识框架，为后续探究指明方向。 探究点：圆锥 1.概念引入： 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体， 我们把连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫作圆锥的母线． 如图，线段 SA 是圆锥的一条母线． 若圆锥的母线长为 l，圆锥的底面圆半径为 r，你能计算圆锥的侧面积吗？ 2.新知探究 将圆锥形冰淇淋的包装纸的侧面沿虚线剪开，得到什么平面图形. 圆锥的侧面展开图是一个扇形． 1．这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ 扇形的半径＝圆锥母线长（l） 2．这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？ 扇形的弧长＝底面圆的周长（2πr） 3．这个扇形的面积如何计算？ 3.讨论交流，共同总结可得： 圆锥的侧面积 圆锥的全面积如何计算？ 4.例题讲解 例3 用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，求这个铁皮容器盖的面积（结果精确到1 ）． 解：∵ 圆锥形容器盖的底面周长为π×80＝80π（cm）. ∴ 容器盖的面积 S＝×80π×50≈6 283（ ）. 答：这个铁皮容器盖的面积约为6 283 ． 【设计意图】通过“生活情境→动手实验→数学推导→例题应用”四步递进，完成从感性认识到理性抽象，再到实际运用的闭环学习；教师始终扮演引导者角色，学生在观察、操作、讨论与计算中获得自主建构和合作提升的机会，为后续“新知巩固、能力提升”奠定坚实基础。 1．给一种圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示．已知每平方厘米涂漆约0.5g，给100个这样的零件涂漆需要多少油漆？ 解：＝π××12＝72π（）． 100×72π ×0.5＝3600π（g）． 答：需要油漆 3600π g . 2.用半径为 30，圆心角为 120° 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面．求这个圆锥的底面圆半径． 解： ＝2πr r＝10 答：这个圆锥的底面圆半径为10． 拓展提升 1. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2，以点A为圆心，AD 长为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F．用扇形AFD围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径． 解：连接AE． ∵ BC与⊙A相切于点E，∴ AE⊥BC，AE＝AD＝2． 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 BE＝2． 　　 ∴ AE＝BE，∴∠BAE＝45°， ∵ AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°． ∴ ∠BAD＝∠BAE＋∠DAE＝135°. ∵＝2πr，∴ r＝． 2.如图，在三角形纸片△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a． (1) 分别以AC、BC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到两个不同的圆锥．求这两个圆锥的侧面积并比较大小． 解：（1），。 ① 以为轴： ； ② 以为轴： 。 ， 故当 ① 时，； ② 时，； ③ 时，。 (2) 以AB所在直线为轴，把△ABC旋转一周，若a＝4，b＝3，求所得几何体的表面积． （2）作于，则 ， 。 以为轴旋转一周，所得几何体由以为底面半径的两个圆锥组成： 。 答：该几何体的表面积为。 【设计意图】通过“计算—应用—反思”三步走，让学生在动手实际运算中体会公式的适用范围，并掌握 “扇形—圆锥” 互化的关键量：半径、母线、弧长。 主板书 3.7 扇形（2） 探究点 圆锥 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $