3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第2课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦直线与圆的三种位置关系及判定定理，通过海上日出情境抽象直线—圆模型，类比点与圆位置关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色在于情境化探究与数形结合，以自然现象培养几何直观（数学眼光），通过实验操作与推理验证发展推理意识（数学思维），例题中作垂线求距离提升运算能力，助力学生掌握判定方法，为教师提供清晰教学路径。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（2） 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版九年级上册第三章《圆》 §3.5《点与圆、直线与圆的位置关系（2）》。核心知识点： 1.直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离。 2.判定定理：设圆心到直线距离为 ，半径为 ，则相交 ；相切 ；相离 。3.切线、切点的定义及基本性质。 2.内容解析 本节在已掌握“点与圆位置关系”的基础上，类比迁移到“直线—圆”模型。通过海上日出、直尺平移等情境，引导学生从公共点数量（2、1、0）归纳出三种位置关系，再借助“圆心到直线的距离”建立数量判定公式 与 的大小比较。概念形成过程体现了“实验探究—猜想—论证—归纳”的数学方法价值；判定定理为后续“圆的切线性质”“圆与几何综合”奠定工具基础。教学重点在于判定定理的理解与应用，难点在于通过作垂线计算 并用 与 比较解决问题。 1.教学目标 • 通过生活实例感知直线与圆的三种位置关系，能依据公共点个数区分相交、相切、相离。 •掌握圆心到直线距离 与半径 的数量关系判定直线与圆位置：  相交 ；相切 ；相离 。 •理解切线、切点的定义。 2.目标解析 •能在真实情境中识别并举例三种位置关系；口头或书面准确说明“公共点”数量特征。 •能独立作圆心到直线的垂线，计算 （利用勾股定理、面积法等）；能根据 关系做出正确判断并解决简单实际问题。 3.重点难点 • 教学重点： 与 的数量关系判定直线与圆的位置。 • 教学难点：正确作圆心到直线的垂线并求 。 学生已学过“勾股定理”“点与圆的位置关系”，能作垂线，会用 求边长，对一元一次方程及简单几何证明具备基本能力。 认知特点：对直观图形敏感，乐于操作、探索；但对“点—圆”过渡到“直线—圆”的抽象化判定需要引导。 可能困难：① 将“数形结合”——从几何作图过渡到代数比较 与 ；② 反向思考：已知 与 关系，推断位置并描述几何结果。 教学提示：应加强动手实验、数形结合的示范，及时给予计算方法支持，并用生活化实例加深理解，逐步突破难点。 创设情景，引入新课 知识回顾： 点与圆有哪几种位置关系？设点到圆心的距离为d，圆的半径为r， 如何用 d 和 r 的数量关系来判断点与圆的位置关系？ 情景引入 如果把海平面看成一条直线，太阳看成一个圆，在日出过程中，二者会出现几种位置关系？ 转眼间天边出现了一道红霞．过了一会儿，在那个地方出现了太阳的小半边脸．太阳好像负着重荷似的一步一步，慢慢地努力上升，到了最后，终于冲破了云霞，完全跳出了海面． ——巴金 【设计意图】通过富有生活气息的“海上日出”情境，引导学生把自然现象抽象成“直线—圆”模型，激发学习兴趣；同时利用旧知迁移，顺势提出“能否用圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系”这一核心问题，明确本课学习目标。 探究点：直线与圆的位置关系 1.操作思考 可以发现，直线与圆的位置关系可以分为三种：有两个公共点、一个公共点和没有公共点． 2.新知探究 当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交． 当直线与圆有唯一公共点时，我们称直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点． 当直线与圆没有公共点时，我们称直线与圆相离． 3.做一做 利用圆心与点的距离可以判断这个点与圆的位置关系，是否也可以利用圆心到直线的距离来判断这条直线与圆的位置关系？ 如图，过圆心作OD⊥l，垂足为D，记圆心O到直线 l 的距离为d，则 d＝OD． 圆的半径为 r，下面分三种情况讨论： 1．如图(1)，直线 l 与⊙O相交．设A，B为交点，连接OA，则OA＝r．在Rt△ADO中，OD＜r，即 d＜r． 反过来，如果 d＜r，则点D在圆内，过点D的任意直线都与圆相交，所以直线 l 与⊙O相交． 2．如图(2)，直线 l 与⊙O相切．设 C 为切点，OC＝r， 因为直线 l 上除点 C 外的任意一点P都在圆外，OP＞r． 所以 OC 就是圆心 O 到直线 l 的距离，即点 C 与点 D 重合．所以 d＝r． 3．如图(3)，当直线 l 与⊙O相离时，d 与 r 有什么关系？反过来成立吗？请与同学讨论． 当直线 l 与⊙O相离时，d＞r． 反过来，d＞r时，直线整体在圆外，无公共点． 4.知识归纳 如果⊙O的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么 直线 l 和⊙O相交 ⇔ d＜r； 直线 l 和⊙O相切 ⇔ d＝r； 直线 l 和⊙O相离 ⇔ d＞r． 填表： 5.例题讲解 例2 已知∠BAC＝45°，点O在射线 AC 上，AO＝4，以点O为圆心，r为半径画圆. 根据下列 r 的值，判断AB所在直线与⊙O的位置关系： (1) r＝2 (2) r＝2 (3) r＝3 解：如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D． 在Rt△AOD中，∠A＝45°， ∴∠AOD＝∠A， ∴ OD＝AD． ∵ ＋＝ ，AO＝4， ∴ 2＝16，∴ OD＝2， 即圆心O到AB所在直线的距离d＝2． (1)当r＝2时，d ＞r，AB 所在直线与⊙O相离； (2)当r＝2时，d＝r，AB 所在直线与⊙O相切； (3)当r＝3时，d＜r，AB 所在直线与⊙O相交． 6.归纳总结 判断直线与圆位置关系的一般步骤： 1．过圆心作目标直线的垂线，计算垂线段的长 度（d）； 2．找到（求出）圆半径 r； 3．比较 d 与 r 大小，判定直线与圆的位置关系． 【设计意图】通过“已知相交→求 与 关系→再反向验证”，让学生经历“特殊—一般—再验证”的思维过程，培养逆向思维与推理能力。 1.已知 ⊙O 的直径为 8，圆心 O 到直线 l 的距离为 5．直线 l 与 ⊙O有怎样的位置关系？圆心 O 到直线 l 的距离为 4 或 3 呢？ 解：因为 ⊙O 的直径为 8，所以半径 r＝4．因为圆心 O 到直线 l 的距离为5，5＞4，所以直线 l 与 ⊙O 相离． 若圆心 O 到直线 l 的距离为4，4＝4，所以直线 l 与 ⊙O 相切． 若圆心 O 到直线 l 的距离为3，3＜4，所以直线 l 与 ⊙O 相交． 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r 为半径画圆. 根据下列 r 的值，判断圆与AB所在直线的位置关系： (1) r＝2； (2) r＝2.4； (3) r＝3． 解：过C作CD⊥AB，垂足为D． 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AB＝＝5， d＝CD＝＝＝2.4． (1) 当r＝2时，d ＞r，⊙C与直线AB相离； (2) 当r＝2.4时，d＝r，⊙C与直线AB相切； (3) 当r＝3时，d＜r，⊙C与直线AB相交． 能力提升 1．已知∠MAN＝30°，点B，C分别在射线AM，AN上，AB＝4．判断当 BC 的长满足什么条件时， （1）用直尺和圆规可以作出两个△ABC； （2）用直尺和圆规只能作出一个△ABC； （3）用直尺和圆规不能作出△ABC． 解：如图，过点B作BO⊥AN，垂足为O． ∵在Rt△ABO中，∠MAN＝30°，∴BO＝×AB＝×4＝2． （1）当2＜BC＜4时，用直尺和圆规可以作出两个△ABC； （2）BC＝2或BC≥4时，用直尺和圆规只能作出一个△ABC； （3）当BC＜2时，满足条件的△ABC不存在． 2．如图，⊙O的半径为2 ，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝2  ，AC＝4．如果以点 O 为圆心作一个与 AC 相切的圆，那么这个圆的半径是多少？它与 AB 所在直线有怎样的位置关系？ 解：连接OA，过O作OD⊥AC，垂足为D． 在Rt△AOD中，OA＝2，AD＝AC＝2． 则OD＝＝2， 即以点O为圆心，与AC相切的圆的半径r为2． 过O作OE⊥AB，垂足为E． 在Rt△AOE中，OA＝2，AE＝1/2AB＝． 则OE＝＝， 由OE＞r可得所作圆与直线AB相离． 归纳总结 判定直线与圆的位置关系： （1）由直线与圆的公共点的个数来判断； （2）由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断． 【设计意图】本环节通过更具探究性、开放性的题目，引导学生综合运用“ 与 的比较”“作垂线求距离”等多种方法，提升迁移运用与思维拓展能力。 主板书 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（2） 探究点 直线与圆的位置关系 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后练习题。 学科网（北京）股份有限公司 $