3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第3课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆的切线判定定理、性质定理及辅助线策略，通过回顾直线与圆位置关系中“d=r”的数量关系，引出“半径外端点＋垂直”的判定定理，再反向探究得到切线垂直半径的性质定理，构建“判定—性质—应用”知识脉络。 资料以动态演示强化几何直观，设计对比练习突出判定与性质的互逆推理，通过例题、变式、巩固、提升四级练习培养应用意识，助力学生掌握“连半径、作垂直”辅助线方法，提升逻辑推理能力，教师可直接用于分层教学，高效突破重难点。

3.5点与圆、直线与圆的位置关系（3） 教学设计 1.教学内容 本课为苏科版九年级上册第三章《圆》3.5“点与圆、直线与圆的位置关系（3）”。核心知识点： 1.圆的切线判定定理——“半径外端点＋垂直” ⇔ “该直线是圆的切线”； 2.圆的切线性质定理——“切线⊥切点处半径”； 3.常用辅助线策略——“见切线连半径，欲判切作垂直”。 2.内容解析 本节在“点与圆、直线与圆的位置关系”两课时基础上，进一步聚焦“切线”这一特殊位置关系。先借助圆心到直线距离 与半径 的数量关系 引出“半径外端点＋垂直”的判定定理，再反向探究得到切线与半径垂直的性质定理，实现条件与结论的对比迁移。随后通过“连半径”“作垂直”两大辅助线方法，将定理论证、判定与应用贯穿于例题、变式、巩固、提升四级梯度练习中，帮助学生形成“判定——性质——应用——拓展”的知识结构。教学重点是两定理的准确表述与互逆思维；难点在于在复杂图形中捕捉“半径、垂线、切点”特征并主动添加辅助线。学科价值体现在培养学生的逻辑推理能力、几何建模意识及化繁为简的思想方法。 1.教学目标 •理解并掌握圆的切线判定定理和性质定理。 •能根据题目条件识别切线的判定定理或性质定理的应用场景，并正确运用定理进行推理。 •掌握“连半径；作垂直”的基本辅助线作法，能综合运用圆的相关知识解决问题。 2.目标解析 •能口述、书写两条定理的文字表述与符号语言。 •在含圆与直线的图形中，能快速判断已知条件属于“半径＋垂直”或“切线已知”两类。 3.重点难点 • 教学重点：圆的切线判定定理、性质定理的理解与应用。 • 教学难点：在复杂图形中提取判定或性质定理的切入点并添加恰当辅助线。 学生已掌握圆的基本性质、弦切角定理及直线与圆的三种位置关系，能处理简单的“相交/相离”问题。 认知特点：• 形象思维较强，抽象逻辑仍在发展；• 喜欢通过作图和操作探究获取结论，但对符号化、形式化证明易感吃力。 可能困难：• 难以从复杂条件中提炼“判定定理”所需的“半径＋垂直”信息；• 对“切线已知→半径垂直”的性质定理应用不够主动，易遗漏连线；• 辅助线作法多样，学生易迷茫于“如何下手”。 教学启示：• 通过动态软件演示 与“半径外端点＋垂直”的等价，强化直观；• 设计对比练习，突出判定与性质的条件—结论差异；• 引导学生总结“一看二连三垂”的策略，并在小组合作中多次迁移应用，突破难点。 创设情景，引入新课 知识回顾： 直线和圆有哪三种位置关系？判定方法是什么？ 【设计意图】利用旧知表格回顾三种位置关系，引发学生对“切线”判定与性质的兴趣，明确学习方向。 探究点：圆的切线 1.小组讨论 如何过圆上的一点作圆的切线？ 根据直线与圆的三种位置关系，我们知道，如果经过一条半径 OD 的外端 D 作OD 的垂线 l，那么圆心 O 到直线 l 的距离 OD 等于圆的半径r，所以直线 l 与圆 O 相切，D 为切点． 2.知识归纳 于是，我们得到圆的切线判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：这两个条件与“d＝r”的条件在本质上是相同的，仅是说法不同而已． 符号语言： ∵ OD为⊙O的半径，OD⊥直线 l 于点 D， ∴ 直线 l 为⊙O的切线． 3.新知探究 反过来，已知直线 l 是⊙O的切线，切点为 D， OD和直线 l 有什么位置关系？ 直线 l 与⊙O相切，则OD＝r，而OD为圆心 O 到直线 l 的距离，所以 OD⊥l． 4.新知归纳 由此可得圆的切线性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径． 符号语言： ∵ 直线 l 与⊙O相切于点 D， ∴ OD⊥直线 l ． 5.讨论交流 圆的切线的判定定理和性质定理的条件和结论有什么不同？用途是什么？ 6.典例分析 例3 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O的直径，∠BAD＝∠ACB， 判断直线 AD 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由． 解：直线 AD 与☉O相切．理由如下： ∵ AC 是☉O 的直径， ∴ ∠ABC＝90 °． ∴ ∠ACB＋∠BAC＝90°． ∵ ∠BAD＝∠ACB， ∴ ∠BAD＋∠BAC＝90°， 即 ∠DAC＝90°， ∴ AD⊥AC． ∴ 直线AD与☉O相切（圆的切线判定定理）． 变式 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠BAD＝∠ACB，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 解：直线AD与⊙O相切．理由如下： 连接AO并延长交☉O于E，连接BE，则AE为☉O的直径． ∴ ∠ABE＝90°， ∴ ∠BAE＋∠E＝90°． ∵ ∠E＝∠ACB， ∠BAD＝∠ACB， ∴ ∠E＝∠BAD， ∴ ∠BAE＋∠BAD＝90°． 即 ∠DAE＝90 °， ∴ AD⊥AE． ∴直线AD与⊙O相切. 例4 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AD 平分∠BAC，过点 D 的切线交AC 于点 E． 求证：DE⊥AC． 解：连接OD． ∵ DE是⊙O的切线，∴ DE⊥OD (圆的切线性质定理)， 即∠ODE＝90°． ∵ OD＝OA， ∴ ∠ODA＝∠OAD． ∵ AD 平分∠BAC， ∴ ∠OAD＝∠CAD． ∴ ∠ODA＝∠CAD． ∴ OD∥AC． ∴ ∠ODE＋∠AED＝180°． ∵∠ODE＝90°，∴ ∠AED＝90°． ∴ DE⊥AC． 7.练一练 1．如图，P 是⊙O 外一点，以 OP 为直径作圆，与⊙O 相交于 A，B 两点．连接 PA，PB．求证： PA，PB 是⊙O 的切线． 证明：∵ OP是⊙O 的直径， ∴ ∠OAP＝90°． 同理，∠OBP＝90°． ∴ OA⊥AP，OB⊥BP． ∵ OA，OB是⊙O 的半径， ∴ PA，PB是⊙O的切线（圆的切线判定定理） 2．如图，直线 AB 经过⊙O上一点 C，且 OA＝OB，CA＝CB．直线AB 与⊙O相切吗？为什么？ 解：直线 AB 与⊙O相切．理由如下： 连接 OC． ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC⊥AB． ∵点 C 在⊙O 上， ∴直线 AB 与⊙O 相切． 【设计意图】通过逆向思维强化“判定⇄性质”的逻辑对应，帮助学生在不同情境下迅速决定使用哪条定理，提高解决问题的策略意识。 1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点P．PA 与 PB 相等吗？为什么？ 证明：连接OP． ∵ AB是小圆的切线，P为切点， ∴ OP⊥AB． ∵ AB是大圆的弦， OP⊥AB， ∴ PA＝PB． 2．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，过点 B 的切线交 AD的延长线于点 C．已知 AD＝DC．求∠ABD 的大小． 解：∵ BC 是⊙O 的切线，AB 是圆的直径， ∴ AB⊥BC， ∴ ∠ABC＝90°． ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB＝90°． ∴ BD⊥AC． ∵ AD＝DC， ∴ BA＝BC． ∴ ∠ABD＝∠ABC＝×90°＝45°． 3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D．若∠D＝30°．求∠A 的大小. 解：连接OC． ∵ CD是⊙O的切线，C为切点， ∴ OC⊥CD， ∴ ∠OCD＝90°． ∵∠D＝30°， ∴ ∠COD＝60°． ∵ OA＝ OC， ∴ ∠A＝∠ACO． ∵ ∠COD＝∠A＋∠ACO， 　　∴ 60°＝2∠A． ∴ ∠A＝30°． 能力提升 1．如图，P是∠BAC的平分线上的一点，PD⊥AC，垂足为D．AB与以点 P 为圆心、PD为半径的圆相切吗？为什么？ 证明：过点P 作PE ⊥AB，垂足为E. ∵ AP是∠BAC的平分线，PD ⊥AC ，PE⊥AB， ∴ PE＝PD， ∵ PD是⊙P 半径， ∴ AB与以点P为圆心、PD为半径的圆相切． 2．如图，已知Rt△ABC (∠C＝90°)．作一个圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC所在直线相切 (不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由)． 解：作∠ABC的平分线，交AC于点O；以点O为圆心，OC为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆. 过点O作OD⊥AB，垂足为D，由BO 平分∠ABC，得OD＝OC，从而⊙O与AB所在直线相切．又由作图可知⊙O与BC所在直线相切，⊙O为满足条件的圆． 备用练习 1．如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点 D 恰使∠ADC＝∠B， 求证：直线CD与⊙O相切．   证明：如图，连接OD， ∵ OA＝OD，∴ ∠A＝∠ODA， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∵∠ADC＝∠B， ∴∠ODA＋∠ADC＝90°， 即∠CDO＝90°，∴ CD⊥OD， ∵ OD是⊙O的半径， ∴直线CD与⊙O相切． 2．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB 于点P． 判断△CBP的形状，并说明理由。 证明：连接OB. ∵ BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC． ∴ ∠OBA＋∠PBC＝90°． ∵ OC⊥OA，∴∠OAB＋∠APO＝90°． ∵ OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA． ∴∠PBC＝∠APO． ∵∠APO＝∠BPC， ∴∠PBC＝∠BPC，∴ PC＝BC． ∴ △CBP是等腰三角形． 【设计意图】通过“新知巩固”练习，帮助学生当堂检验所学定理的掌握程度，强化“判定用直径＋垂直”“性质见切线＋连半径”的核心思想。 主板书 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（3） 探究点 圆的切线 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $