3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第1课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦点与圆的三种位置关系及用点到圆心距离d与半径r大小判定的核心知识，以射击靶纸情境导入，衔接勾股定理、两点距离公式，通过动态演示和“三步法”总结搭建学习支架，为后续直线与圆位置关系学习奠基。 亮点在于生活化情境激活数学眼光，动态演示动点运动让学生直观体验d与r关系，符号化表达与集合视角诠释发展数学思维，“三步法”与梯度例题培养数学语言。助力学生形成数形结合意识，为教师提供清晰教学流程和可直接使用的例题练习。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（1） 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版九年级上册第三章 圆 3.5《点与圆、直线与圆的位置关系（1）》。核心知识点：1.点与圆的三种位置关系——点在圆内、点在圆上、点在圆外； 2.判定方法——比较点到圆心的距离 与半径 的大小； 运用勾股定理求 ，并据此判断位置或求半径的取值范围。 2.内容解析 本节以“射击靶纸”情境导入，引导学生从生活经验中抽象出“点与圆”的几种相对位置。通过动态演示“动点由圆心向外运动”使学生直观体验 与 的数量比较，进而归纳出“、、”对应三种位置关系，并用“”揭示其充要性，凸显几何语言的严谨性。随后运用集合视角重新诠释“圆、圆内、圆外”的本质，强化学生对“集合定义”的理解。例题1、变式题和巩固练习循序渐进：先给 、求点的位置；再给位置、求 的范围；最后结合坐标系与平面区域描绘，实现从直观感知到符号化运算再到图形建模的过渡。课堂总结提炼“三步法”（找、求、比大小），帮助学生构建迁移工具。整体设计突出数学思想的渗透（数形结合、化归转化）与方法意识的培养，为后续学习“圆与直线的交点个数”“圆的切线”奠定基础。 1.教学目标 •理解点与圆的三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 •掌握用点到圆心距离 与半径 的大小关系判断点与圆位置的方法。 •会运用勾股定理计算 ，准确判断点与圆的位置，并能根据点的位置求 的取值范围。 2.目标解析 •能用语言和符号准确表述三种位置关系，对应写出 的大小关系。 •在常见几何图形或坐标系中，能够独立完成“求 —比较—判定/求”的过程，正确率不低于90%。 •在射击靶纸等生活化情境中体验数学模型的价值，形成“数形结合”意识，交流时能使用“”等数学语言。 3.重点难点 • 教学重点： 比较判定三种位置。 • 教学难点：理解“充要条件”与“”的双向含义。 学生已掌握勾股定理、平面直角坐标系中两点距离公式，对集合也有初步认识。 对“圆”持直观表象，擅长操作测量，符号化表达能力仍在发展。 通过生活化情境（靶纸、导航、雷达）能激发探究欲；需通过动态演示与小组合作加深理解。 创设情景，引入新课 问题情境： 如图，这是一张射击靶纸的图片．图中的箭落点分几种情况？ 射中靶内、刚好压线、完全脱靶． 如果把靶心定为圆心，靶子最大外圈看成一个大圆，每支箭尖当作平面上的一个点，这些点和圆一共会出现几种位置情况？如何描述？ 能用什么数量关系精准区分这几种位置吗？ 【设计意图】通过生活化的“射击靶纸”情境，激活学生已有经验；用“点——射中/压线/脱靶”类比“点与圆”的三种位置关系，引导学生意识到“距离”与“半径”是区分三种位置的关键，明确学习方向和目标。 探究点：点与圆的位置关系 1.操作思考 如图，动点从圆心 O出发向外移动，依次经过(圆内)、(圆上)、(圆外)，动点到圆心的距离和半径有什么关系？ 动点到圆心 O 的距离分别小于、等于、大于半径． 因此可以利用点到圆心的距离判断点与圆的位置关系． 2.新知归纳 如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么 符号“⇔”读作:“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端． 3.探究思考 从集合的角度来理解，圆是什么？圆的内部和外部呢？ 圆：到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合； 圆的内部：到圆心的距离小于半径的点的集合； 圆的外部：到圆心的距离大于半径的点的集合． 4.例题讲解 例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点 A 为圆心，4为半径作⊙A．点 B，C，D 分别与⊙A有怎样的位置关系？ 解：如图，连接 AC． ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠B＝90°． 在Rt△ABC中，＝＋． ∴ AC＝＝5． ∵ AB＝4，AD＝BC＝3＜4，AC＝5＞4， ∴ 点B在⊙A上，点D在⊙A内，点C在⊙A外． 总结 判断点与圆位置关系的一般步骤： 1．确定圆心和半径 r； 2．计算点到圆心的距离 d； 3．比较 d 与 r 的大小，对应三类位置． 5.变式练习 如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝5，⊙A 的半径为 r，点 B 在⊙A 内，点 C 在⊙A 外．求 r 的取值范围． 解：∵点B在⊙A内，AB＝3， ∴ r＞3． ∵点 C 在⊙A 外，AC＝5， ∴ r＜5． ∴ r 的取值范围是 3＜r＜5． 【设计意图】通过典型例题，将“勾股定理”与“位置判定”有机结合，落实“能利用勾股定理计算 ”的目标，培养迁移应用能力。 1.已知⊙O的半径为4．如果点、、到圆心 O 的距离分别为4.5， 4，3，那么点 、、 与⊙O分别有怎样的位置关系？ 解：当点 到圆心 O的距离为4.5时，∵4.5＞4，∴点P在⊙O外； 当点 到圆心 O的距离为4时，∵4=4，∴点P在⊙O上； 当点 到圆心 O的距离为3时，∵3＜4，∴点P在⊙O内． 2.在平面上给定一个点 A，用图形表示到点 A 的距离小于或等于 2，并且大于或等于 1 的点的集合． 解：如图所示的阴影部分 3. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为 r．已知点A(3，4)在⊙O内． 求半径 r 的取值范围． 解：∵点 A的坐标为(3，4)， ∴ OA＝＝5． ∵点 A(3，4)在⊙O内， ∴ ⊙O的半径 r＞5． 【设计意图】三题分别对应“判断点的位置”“作圆环图形”“求半径范围”三种核心能力点； 原题+详解，方便教师直接投屏或印发； 通过正误判断、图形描绘、数形结合，多角度检测学生的理解深度。 主板书 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（1） 探究点 点与圆的位置关系 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $