3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第1课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

3.5  点与圆、直线与圆的位置关系（1）  教学设计

1.教学内容

本课选自苏科版九年级上册第三章 圆 3.5《点与圆、直线与圆的位置关系（1）》。核心知识点：1.点与圆的三种位置关系——点在圆内、点在圆上、点在圆外； 2.判定方法——比较点到圆心的距离 与半径 的大小； 运用勾股定理求 ，并据此判断位置或求半径的取值范围。

2.内容解析

本节以“射击靶纸”情境导入，引导学生从生活经验中抽象出“点与圆”的几种相对位置。通过动态演示“动点由圆心向外运动”使学生直观体验 与 的数量比较，进而归纳出“、、”对应三种位置关系，并用“”揭示其充要性，凸显几何语言的严谨性。随后运用集合视角重新诠释“圆、圆内、圆外”的本质，强化学生对“集合定义”的理解。例题1、变式题和巩固练习循序渐进：先给 、求点的位置；再给位置、求 的范围；最后结合坐标系与平面区域描绘，实现从直观感知到符号化运算再到图形建模的过渡。课堂总结提炼“三步法”（找、求、比大小），帮助学生构建迁移工具。整体设计突出数学思想的渗透（数形结合、化归转化）与方法意识的培养，为后续学习“圆与直线的交点个数”“圆的切线”奠定基础。

1.教学目标

•理解点与圆的三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。

•掌握用点到圆心距离 与半径 的大小关系判断点与圆位置的方法。

•会运用勾股定理计算 ，准确判断点与圆的位置，并能根据点的位置求 的取值范围。

2.目标解析

•能用语言和符号准确表述三种位置关系，对应写出 的大小关系。
•在常见几何图形或坐标系中，能够独立完成“求 —比较—判定/求”的过程，正确率不低于90%。
•在射击靶纸等生活化情境中体验数学模型的价值，形成“数形结合”意识，交流时能使用“”等数学语言。

3.重点难点

• 教学重点： 比较判定三种位置。

• 教学难点：理解“充要条件”与“”的双向含义。

学生已掌握勾股定理、平面直角坐标系中两点距离公式，对集合也有初步认识。 对“圆”持直观表象，擅长操作测量，符号化表达能力仍在发展。 通过生活化情境（靶纸、导航、雷达）能激发探究欲；需通过动态演示与小组合作加深理解。

 

创设情景，引入新课

问题情境：

如图，这是一张射击靶纸的图片．图中的箭落点分几种情况？

射中靶内、刚好压线、完全脱靶．

如果把靶心定为圆心，靶子最大外圈看成一个大圆，每支箭尖当作平面上的一个点，这些点和圆一共会出现几种位置情况？如何描述？

能用什么数量关系精准区分这几种位置吗？

【设计意图】通过生活化的“射击靶纸”情境，激活学生已有经验；用“点——射中/压线/脱靶”类比“点与圆”的三种位置关系，引导学生意识到“距离”与“半径”是区分三种位置的关键，明确学习方向和目标。

探究点：点与圆的位置关系

1.操作思考

如图，动点从圆心 O出发向外移动，依次经过(圆内)、(圆上)、(圆外)，动点到圆心的距离和半径有什么关系？

动点到圆心 O 的距离分别小于、等于、大于半径．

因此可以利用点到圆心的距离判断点与圆的位置关系．

2.新知归纳

如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么

符号“⇔”读作:“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端．

3.探究思考

从集合的角度来理解，圆是什么？圆的内部和外部呢？

圆：到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合；

圆的内部：到圆心的距离小于半径的点的集合；

圆的外部：到圆心的距离大于半径的点的集合．

4.例题讲解

例1  如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点 A 为圆心，4为半径作⊙A．点 B，C，D 分别与⊙A有怎样的位置关系？

解：如图，连接 AC．