3.4 圆周角（第2课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆周角定理推论（直径对直角、直角对直径）及圆内接四边形对角互补性质，通过回顾圆周角定义与定理，以“90°圆周角所对弧度数”问题导入，搭建新旧知识衔接支架。 此资料以“特殊—一般—应用”思维为主线，通过“画—测—猜—证”探究圆内接四边形性质，培养推理意识与几何直观。例题结合生活实例（如直角曲尺检查零件），强化应用意识，助力学生掌握“弦—弧—角”转化，提升教师教学效率与学生问题解决能力。

3.4　圆周角（2） 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版九年级上册第三章《圆》3.4　圆周角（2）。核心知识点： 1.圆周角定理的两个推论：（1）直径所对的圆周角是直角；（2） 的圆周角所对的弦是直径。 2.圆内接四边形的性质——对角互补 ()。 推论：圆内接四边形的任意一个外角等于其内对角。 2.内容解析 本节是在已掌握圆周角定理“圆周角等于所对圆心角一半”的基础上，对典型特殊情形作进一步推广的课时。首先，通过“所对弧为半圆”这一极端特例，引出推论“直径 圆周角 ”，再由逆向思考得出“圆周角 弧为半圆（弦为直径）”，体现“由特殊到一般、再回归特殊”的数学思维方法。其次，借助同弧对圆周角相等、弧度数和为 的事实，推导出“圆内接四边形对角互补”，并进一步获得“外角等于内对角”等实用推论。本节内容为今后学习圆周四边形、圆的度量、几何证明与解析几何奠定重要基础，教学重点在于推论的形成过程及其在多步证明、几何计算中的迁移应用；难点则在于“弦—弧—角”三者的相互转化以及对角互补性质在多种四边形（矩形、正方形、等腰梯形等）判定中的灵活使用。 1.教学目标 •理解并掌握圆周角定理的两个推论：直径所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径。 •理解并掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 •能够运用圆周角定理的推论和圆内接四边形的性质进行几何计算和证明。 2.目标解析 •学生能在图形中迅速识别“直径—直角”对应关系，用符号语言完成推论的正确叙述与逆否命题转化；解决含有“直角”“直径”“半圆弧”判定题。 •学生能叙述并证明“圆内接四边形对角互补”，会利用该性质推导“外角等于内对角”等结论，并能在典型图形（矩形、正方形、等腰梯形）的判定中灵活应用。 •面对综合几何问题，学生能根据题设识别圆周角、内接四边形特征，主动进行“弧—角—弦”转化，列式计算角度或完成证明，体现类比、转化的数学思想。 3.重点难点 • 教学重点：圆周角定理两条推论的理解与应用。 • 教学难点：在复杂图形中捕捉“直径—直角”与“对角互补”信息并进行转化。 九年级学生已具备直线、角、三角形与基本几何变换的知识，初步掌握了圆心角、弧、弦及圆周角定理，为本节学习提供了认知基础。优势： 1.对“圆周角＝圆心角一半”已有直观经验，能较易接受“直径对应 弧”的特殊情形。 2.具备基本的三角形与四边形性质，可援用平行四边形、矩形、菱形、梯形的判定结论。困难： 1.将“弦—弧—角”三要素进行灵活转换，对推论的逆否命题掌握不足；2.在含多个圆、复合图形中抽取“共圆四点”并运用对角互补性质的能力较弱； 3.文字表述与符号表达的规范性和逻辑性需加强。基于以上，教学中应通过丰富的操作、演示与对比推理，突出“特殊—一般—应用”的思维路径，并设置层次递进的练习，引导学生在探究与讨论中内化两大推论及性质的应用策略。 创设情景，引入新课 ◎知识回顾： 1．什么是圆周角？圆周角定理的内容是什么？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角．同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 2．如果圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弧是多少度？ 如图，∠BAC＝×180°＝90°． 【设计意图】通过回顾旧知，明确本节课要解决的核心问题：直径与圆周角的关系、圆内接四边形的角关系，为新知探究奠定基础。 探究点1：圆周角定理的推论 1.获取新知 直径所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径． 符号语言：∵ BC为⊙O的直径，∴ ∠BAC＝90°． ∵ ∠BAC＝90°，∴ BC为⊙O的直径． 分析两句话的条件与结论，你有什么发现？你能用符号语言表述这两句话吗？ 2.例题讲解 例2 证明：以圆的两条直径为对角线的四边形是矩形． 解：已知：如图，在⊙O中，AC，BD是直径， 连接 AB，BC，CD，DA． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵ AC 是直径， ∴ ∠ABC＝∠ADC＝90°（圆周角定理的推论）． 同理可得∠BAD＝∠BCD＝90°． ∴ 四边形ABCD是矩形． 3.新知巩固 1．利用三角尺可以确认图中的弦 AB 是圆的直径，为什么？ 思考：你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？ 解：因为“90°的圆周角所对的弦是直径”，所以，由∠C＝90°，可知弦 AB 是圆的直径． 利用上述方法，确定出圆的两条直径，交点即为圆心． 2．如图,工人师傅用直角曲尺检查半圆形的零件,哪个是合格的为什么？ 解：(2)是合格的，因为工件凹面所对的弦是直径，而直径所对的弧是半圆． 3．如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠DCB＝30°．求∠ABD的度数． 解：∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB＝90°． ∵ ＝，∠DCB＝30°， ∴ ∠DAB＝∠DCB＝30°， ∴ ∠ABD＝180°－∠ADB－∠DAB ＝180°－90°－30° ＝60°． 【设计意图】通过“正、逆命题”对照，培养逻辑思维；借助生活实例提升知识迁移能力；以例2支撑推论的应用，强化“见直径想直角”的核心策略。 探究点 2：圆内接四边形的性质 1.探究交流 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，它的内角之间有怎样的数量关系？ 解：因为∠A所对的弧为，∠C所对的弧为， 而和 的度数的和为360°， 所以 ∠A＋∠C＝×360°＝180°， 同理，∠B＋∠D＝180°. 2.新知归纳 于是，我们得到圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补． 符号语言：∵ 四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°． 3.典例分析 例3证明：圆的内接平行四边形是矩形． 已知：如图，▱ABCD是⊙O的内接四边形． 求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A＝∠C． ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°（圆内接四边形的性质）． ∴ ∠A＝∠C＝90°． 同理可得 ∠B＝∠D＝90°． ∴四边形ABCD是矩形． 4.练一练 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的一个外角． 求证：∠CBE＝∠D． 证明：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠D＋∠ABC＝180°． ∴ ∠D＝180°－∠ABC． ∵ ∠CBE＋∠ABC＝180°， ∴ ∠CBE＝180°－∠ABC． ∴ ∠CBE＝∠D． 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角． 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，判断∠BOD与∠BCD的数量关系． 证明：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠BAD＋∠BCD＝180°． ∵ ∠BAD＝∠BOD， ∴ ∠BOD＋∠BCD＝180°． 5.探究交流 圆的内接菱形一定是正方形吗？圆的内接梯形一定是等腰梯形吗？ 解：∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°． ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ ∠A＝∠C． ∴ 2∠A＝180°． ∴ ∠A＝90°． ∴ 圆的内接菱形一定是正方形． ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴ ∠A＋∠C＝180°． ∵ AD∥BC， ∴ ∠A＋∠B＝180°． ∴ ∠B＝∠C． ∴ 圆的内接梯形一定是等腰梯形． ∴ 综上,圆的内接菱形一定是正方形,圆的内接梯形一定是等腰梯形． 6.归纳总结 1．对于圆内接多边形: 角：既可以看作是多边形的内角，也可以看作是圆的圆周角； 线段：既可以看作是多边形的边，也可以看作是圆的弦． 2．与圆周角有关的问题：弦的条件需转化成弧的条件． 【设计意图】通过“画—测—猜—证”四步探究，帮助学生经历从现象到本质的过程，理解对角互补的本质来源；在例3中渗透“转化”思想，培养从已知平行四边形性质转化到对角互补的能力。 1.如图，AB是⊙O的弦，以OA为直径的圆交AB于点C，AB＝10． 求AC的长． 解：连接OC． ∵ OA是小圆的直径．点C在小圆上， ∴ ∠ACO＝90 °， ∴ OC⊥AB． ∴ AC＝BC＝AB． ∵ AB＝10． ∴ AC＝×10＝5． 2.A，B，E，C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD＝∠BAE，AE是⊙O的直径吗？为什么？ 解：AE是⊙O的直径．理由如下： 连接BE． ∵ ＝ ，∴ ∠E＝∠C． ∵ AD是△ABC的高，∴ ∠ADC＝90 °， ∴ ∠CAD＋∠C＝90°， ∵ ∠CAD＝∠BAE， ∴ ∠BAE＋∠E＝90°． ∴ ∠ABE＝90°． ∴ AE是⊙O的直径． 3.在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3:4:6．求四边形ABCD各内角的度数． 解：设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝6x°． ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°， ∴ 3x°＋6x°＝180°，解得， x＝20． ∴∠A＝3×20°＝60°，∠B＝4×20°＝80°，∠C＝6×20°＝120°． ∴∠D＝180°－∠B ＝180°－80°＝100°． 4.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？ 解：∠DAE与∠DAC相等．理由如下： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DAB＋∠DCB＝180°． ∵∠DAB＋∠DAE＝180°， ∴∠DCB＝∠DAE． ∵ DB＝DC，∴∠DCB＝∠DBC． ∴ ∠DAE＝∠DBC． ∵ ∠DAC＝∠DBC ， ∴ ∠DAE＝∠DAC． 【设计意图】引导学生主动运用“外角等于内对角”这一推论，并体会到已知条件（垂直、直角）对结论的影响，加深对圆内接四边形性质的理解。 主板书 3.4 圆周角（2） 探究点1 圆周角定理的推论 探究点 2 圆内接四边形的性质 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后题目练习。 学科网（北京）股份有限公司 $