专题 3.3 圆的对称性（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦圆的对称性核心知识点，从圆的轴对称、中心对称及旋转不变性入手，系统梳理圆心角弧弦关系、圆心角与弧度数关系、垂径定理及其推论，构建从性质理解到定理应用的递进式学习支架。 资料通过分层题型设计（基础夯实与综合提升），结合垂径定理勾股计算、图形变换综合题等实例，培养学生几何直观与运算能力，发展空间观念和创新意识。课中助力教师高效授课，课后同步检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 3.3 圆的对称性（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆的对称性 1 【知识点二】圆心角、弧、弦之间的关系 2 【知识点三】圆心角与弧的度数关系 3 【知识点四】垂径定理及其推论 3 二.题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】圆的对称性辨析 4 【题型 2】圆心角、弧、弦关系辨析 5 【题型 3】圆心角与垂径定理辨析 7 【题型 3】圆心角、弧、弦关系的证明与计算 9 【题型 4】圆心角与弧度数换算计算 11 【题型 5】垂径定理勾股定理计算（高频必考） 16 【题型 6】垂径定理综合求值证明 21 三.题型精析（综合提升） 25 【题型 7】圆心角与垂径定理综合求值 25 【题型 8】垂径定理与图形变换综合求值 30 四.同步检测 36 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 36 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 44 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 50 一.知识梳理与解读 【知识点一】圆的对称性 1. 轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 2. 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与自身完全重合。该性质是圆心角、弧、弦关系定理的推导基础，是圆的核心特殊性质。 【要点提示】 （1）圆的对称轴是直线，直径是线段，不能说“直径是圆的对称轴”； （2）圆绕圆心旋转180°可与自身重合，满足中心对称图形定义； （3）所有多边形不具备任意角度旋转重合的性质，旋转不变性是圆独有的特征。 【知识点二】圆心角、弧、弦之间的关系 1. 等弧定义：我们把可以重合的弧叫等弧。 2. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3. 定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量中，有一组量相等，其余两组对应量全部相等，简称“知一推二”。 列表表示如下： 定理及推论 图示 几何语言 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在☉o中， ， 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量中，有一组量相等，其余两组对应量全部相等， 【要点提示】 （1）定理与推论的唯一前提：同圆或等圆，不同圆的圆心角、弧、弦无必然相等关系； （2）等量对应遵循：劣弧对劣弧、优弧对优弧，不可交叉等价； （3）本定理是圆中证明弦相等、弧相等、圆心角相等的最常用依据。 【知识点三】圆心角与弧的度数关系 1. 性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数。将圆周360°等分，1°的圆心角对应1°的弧，的圆心角对应的弧。 【要点提示】 （1）仅度数相等，圆心角（角）和弧（曲线）是不同几何图形，不能直接等同； （2）可实现角度与弧度数的相互转化，是圆中角度计算的重要方法。 【知识点四】垂径定理及其推论 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：若是直径，于点，则，，。 2. 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 列表表示如下： 定理及推论 图示 几何语言 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 在☉o中 ， 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 在☉o中 【要点提示】 （1）推论限定“弦不是直径”：任意两条直径互相平分，但不一定垂直，不满足垂直关系； （2）核心计算模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理：； （3）五条件知二推三：过圆心、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧，满足任意两个可推出其余三个（直径平分直径除外）。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】圆的对称性辨析 核心考点：区分圆的轴对称、中心对称性质，规避概念易错点。 【例题1】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，正六边形内接于，交于点，连接，则下列三角形中，与关于点成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，成中心对称的定义，利用正多边形与圆的关系，成中心对称的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵正六边形内接于，交于点， ∴点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称，点与点关于点成中心对称， ∴与关于点成中心对称的是， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）圆是（ ）图形. A．中心对称 B．轴对称 C．中心对称和轴对称 D．以上都不对 【答案】C 解：圆既是中心对称图形又是轴对称图形，中心对称图形是图形关于某点对称，轴对称是图形关于某条直线对称. 故选C. 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期末）在⊙O中有两个三角形：和，点A，B，C，D依次在⊙O上，如图所示．若这两个三角形关于过点O的直线l成轴对称，则点B关于直线l的对称点是____________． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可． 解：和关于过点O的直线l成轴对称，如图所示， ∴点B关于直线l的对称点是点C， 故答案为：C． 【点拨】题目主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． 【题型 2】圆心角、弧、弦关系辨析 【例题2】（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆心角相等 C．相等的弦所对的弦心距相等 D．弦心距相等，则弦相等 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系进行判断即可． 解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此说法错误，不符合题意； B、相等的弧所对的圆心角相等，故此说法正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，故此说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，弦心距相等，则弦相等，故此说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题考查了圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系是解题的关键． 【题型 3】圆心角与垂径定理辨析 【例题3】2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】A 【分析】根据垂径定理及其推论求解即可． 解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题． 【变式1】（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列命题中，假命题是（　　） A．如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 B．如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 C．如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心 D．如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆的相关概念，根据垂径定理、圆的相关概念逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：A、如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，说法正确，是真命题，不符合题意； B、当弦本身是另一条直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，故原说法错误，是假命题，符合题意； C、如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心，说法正确，是真命题，不符合题意； D、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦，说法正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．等弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题考查弧、弦、圆周角之间的关系，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据弦、弧、圆周角的关系及垂径定理，逐项分析判断即可得出答案． 解：A、相等的弦所对的弧不一定相等，要在同圆或者等圆中才成立，故原说法错误，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意； C、在同圆或者等圆中，长度相等的弧才是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、等弧所对的圆周角相等，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【题型 3】圆心角、弧、弦关系的证明与计算 核心考点：利用“知一推二”定理，求解角度、证明线段和弧相等。 【例题3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若所对圆心角的度数为70°，且，求所对圆心角的度数．    【答案】 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据等腰三角形的性质求出，即可利用三角形内角和定理求出的度数． 解：∵所对圆心角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴所对圆心角的度数为． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∵是的直径，即点O是与的交点， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·福建·期末）如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 【变式3】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【答案】证明：如图，连接，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，连接，，证明，可得，再根据弧、弦、圆心角的关系即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：略 【题型 4】圆心角与弧度数换算计算 核心考点：利用圆心角度数与对应弧的度数相等，完成互化计算。 【例题4】（2024·吉林长春·一模）在等边中，，以A为圆心，2为半径画的． （1）【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） （2）【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． （3）【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 【答案】（1）；（2）存在，理由： ∵是等边三角形， ∴，． ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后利用等式的性质可得答案； （2）先证明，然后根据证明即可求解； （3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况求解即可． 解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略； （3）当顺时针旋转时，如图，作于H，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（2）得：， ∴； 当逆时针旋转时，如图，作于H，    同理可求． 综上可知，的长为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 【变式3】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据求出，求出，求出，根据圆周角定理得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可； （2）求出，求出，根据三角形内角和定理求出，求出的度数，再求出答案即可． 解：（1）证明：， ， （两边都减去）， ， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ， ， ， 的度数是， ， ， 的度数是 【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键． 【题型 5】垂径定理勾股定理计算（高频必考） 核心考点：构造直角三角形，结合勾股定理求半径、弦长、弦心距。 【例题5】（2026·广东·一模）如图，在中，半径为5， （1）请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； （2）求的长． 【答案】（1）解：如图所示： （2） 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 解：（1）略 （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴． 【变式1】（2026·广西百色·三模）如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，设半径为，在中利用勾股定理列关于的方程，求解即可． 解：设圆的圆心为点， 如图，连接， 由题意得，， ， 设半径为，即， 则， 在中， ，即， 解得， 球的半径为：． 【变式2】（24-25九年级下·湖南株洲·期中）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 【答案】 【分析】根据弧田的面积公式列出关于“矢”的方程求出“矢”长，设圆的半径为米，利用垂径定理和勾股定理列出方程求解即可． 解：设矢长为米， 由题意可得，， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴矢长为米， 设圆的半径为米， 圆心到弦的距离为米， ∵“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差． ∴,即， 如图，连接过点作， ∵，米， ∴米 在中，， ∴， 解得米， 即弧田弧所在的圆的半径为米． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图1，在中，，且，垂足为点E． （1）求证：； （2）如图2，连接，当，，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点O作，，垂足分别为M、N，证明四边形是正方形，得出，再由即可得证； （2）由（1）可得，，，求出，再解直角三角形即可得解． 解：（1）证明：如图1，过点O作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 即． （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴． 【题型 6】垂径定理综合求值证明 【例题6】（2026·广东汕头·二模）如图，内接于，是的直径． （1）尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 【答案】（1）如图，即为所求： （2）证明：是的直径， ， ， ， ， ． 【分析】（1）作交于点，根据平行线的判定可得，则即为所求； （2）由是的直径，得到，再根据平行线的性质得到，即，再根据垂径定理即可证明． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（2026九年级下·甘肃临夏·学业考试）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【变式2】（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 【变式3】（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； （2）的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 解：（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 三.题型精析（综合提升） 【题型 7】圆心角与垂径定理综合求值 【例题7】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知的直径，弦与弦相交于点，且，垂足为． （1）如图，若，求弦的长． （2）如图，若为弦的中点， ①求证：． ②求的值． 【答案】（1）；（2）①证明见分析；② 【分析】（1）由得，根据知，从而得，即可知，利用可得答案； （2）①连接，证明得、根据三角形中位线定理可得出结论； ②求出，由勾股定理求出，继而求出的长，则可得出答案． 解：（1）解：∵在中，是弦，， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即弦的长为； （2）①证明：如图，连接， ∵为直径，， ∴，， ∵点为弦的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴，即， ∴； ②解：设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，弦、弧、圆心角的关系，锐角三角函数的定义，直径所对圆周角是直角，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，及勾股定理等知识点．掌握圆的相关知识及锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在⊙O中，． （1）若，求的度数； （2）若，，求⊙O的半径． 【答案】（1）30°；（2） 【分析】（1）根据弧、弦间的关系可以得到，结合等腰三角形的性质解答； （2）如图，延长交于，连接OB，则，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即可． 解：（1）∵在中，， ∴． ∴． ∴； （2）如图，延长交于，连接OB， 则，， ∴在直角中，由勾股定理，得． 在直角中，由勾股定理，得， 解得，即的半径是． 【点拨】本题主要考查垂径定理，弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握弧、弦的关系和垂径定理． 【题型 8】垂径定理与图形变换综合求值 【例题8】（2025·河北沧州·一模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，表示筒车的外轮廓，筒车的涉水宽度为，涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离）为． （1）①在图中，请用无刻度的直尺和圆规作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； ②求出该筒车的半径长； （2）筒车工作时，筒车上的每一个盛水筒都按顺时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．若上处的某盛水筒到水面的距离为，经过35秒后，该盛水筒旋转到点处，则旋转后该盛水筒的竖直高度下降了多少?（结果保留根号） 【答案】（1）①线段如图所示， ②该筒车的半径长为；（2）旋转后该盛水筒的竖直高度下降了 【分析】（1）①先作出线段的垂直平分线，根据垂径定理和圆的性质可得即是所求；②利用垂径定理和勾股定理即可求出圆的半径； （2）过C，D分别作，交于点H，G，先利用三角函数求出，然后再利用三角函数的性质得出，进而即可得解． 解：（1）解：①略 ②由①知，且点在直线上，如上图，连接， ， 设该筒车的半径长为， ， 在中，， ，解得， 即该筒车的半径长为； （2）解：过C，D分别作，交于点H，G， ， 处到水面的距离为，即， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 即旋转后该盛水筒的竖直高度下降了． 【点拨】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，勾股定理，尺规作图等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题关键．过点作的垂线交于点，交半圆于点，由轴对称的性质可知，，由勾股定理可得，再利用垂径定理求解即可． 解：如图，过点作的垂线交于点，交半圆于点， ， ， 由轴对称的性质可知，， 在中，， 是半径，， ， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则____________．    【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可． 解：连接，，    由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角为， 设半圆的半径为r， ， ， 解得： 半径为2， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为． （1）如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． （2）如图2，当经过圆心时，求的长； （3）如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 【答案】（1）①C②，；（2）；（3） 【分析】（1）①确定圆心最常见思路为不在同一直线的三点共圆，利用其外心可确定圆心； ②连接、，易证得四边形为菱形，加上，所以四边形为正方形，根据正方形的性质得可得结果； （2）作于，如图，根据折叠的性质得，由，根据垂径定理得，再在中，利用勾股定理计算出，进而容易得出； （3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，，根据圆周角定理得到，求得，根据圆内接四边形的性质得到，再由翻折可求得，于是得到结论． 解：（1）①甲：在上找一点，连、并分别做它们的中垂线，即做的外心，故甲正确； 乙：由切线长定理可知，为切线，且，故也为的切线，易知为正方形（证明见②），故乙正确； 故选：C； ②如图，连接、， ∵， ∴四边形为菱形， 而， ∴四边形为正方形， ∴，； （2）作于，交劣弧于，如图， ∵沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，如图， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 由圆内接四边形的性质得到， 可得：， ∴ 【点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质，作出辅助线是解答此题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）下列说法错误的是（   ） A．同圆中相等的圆心角所对的弧相等 B．同圆中相等的弦所对的弧相等 C．同圆中相等的圆周角所对的弧相等 D．同圆中相等的弧所对的弦相等 【答案】B 【分析】本题考查了同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键．根据同圆中弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐一分析各选项的正确性． 解：A. 同圆中相等的圆心角所对的弧相等，正确，故该选项不符合题意； B. 同圆中相等的弦所对的弧相等，错误，相等的弦可能对应优弧或劣弧，若未明确类型，弧不一定相等，故该选项符合题意； C. 同圆中相等的圆周角所对的弧相等，正确，故该选项不符合题意； D. 同圆中相等的弧所对的弦相等，正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）如图的直径为10，圆心到弦的距离的长为4，则弦的长是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查利用垂径定理和勾股定理求解，先根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出的值即可得出． 解：连接， ∵的直径为10， ∴， ∵圆心O到弦的距离的长为4， 由垂径定理知，点M是的中点，， 由勾股定理可得，， 所以． 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 解：解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 4．（2026·河南许昌·一模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据，得到，即可得到的度数． 解：由圆内接四边形的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 6．（24-25九年级下·广西防城港·阶段检测）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故选：A． 【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 7．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 8．（2026·河南南阳·三模）如图，是的弦，交于点，点是上弦上方的一点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等边对等角结合三角形的内角和定理，求出的度数，三线合一得到的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果. 解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）. 9．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 10．（25-26八年级上·天津·阶段检测）“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（    ） A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识点，连接，设圆的半径是x寸，根据垂径定理得出寸，在中，寸，，在中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长，正确作出辅助线是关键． 解：连接，设圆的半径是x寸， ∵弦，寸， ∴寸， 在中，寸，， ∵， 则， 解得：， 则（寸）． 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 解：添加， 则． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东韶关·期中）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆心角的关系，圆周角定理， 先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 解：连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：．    13．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为，则______°． 【答案】 【分析】利用弧的度数等于圆心角的度数，和同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及三角形的外角的性质进行求解即可． 解：∵， ∴的度数为：， ∵的度数为， ∴的度数和为：， ∵分别是的度数的一半， ∴； 故答案为：． 【点拨】本题考查弧的度数等于圆心角的度数，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半和三角形外角的性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，的直径，弦于点，若，则___． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可． 解：连接， ∵是的直径，弦于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：8． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 16．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 17．（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       18．（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【答案】/75度 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 解：如图所示，连接， ． ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 连接， ∵点A、B、C是三等分点， ∴, ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在上，点是的中点，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】， 理由如下： ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，由圆心角、弧、弦的关系定理得到，由圆周角定理得到，因此，即可证明． 解：略 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 解：证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 21．（本小题满分10分）（2025九年级上·山东·专题练习）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． （1）证明：； （2）试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理和性质． （1）根据，证得，进而根据垂径定理证得； （2）先证明是的中位线，得出，进而得出结论． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想：． 证明：∵，， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 22．（本小题满分10分）（2026·浙江温州·二模）如图，是的直径，弦于点，延长至点，使得．过点作的切线，交延长线于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若半径为5，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，易证垂直平分，得到，推出，再根据垂径定理得到，进而得到，推出，由切线的性质得到，证明，即可证明结论； （2）连接，由（1）可得，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，进而求出，根据即可求解． 解：（1）证明：连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， 则， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． （1）求的长． （2）一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 【答案】（1）米 （2）解：该船能通过该桥洞．理由如下： 如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米， 由（1）易得米， 米， 若该船随水面上升1米，则点H到线段的距离为2米， 若该船刚好能通过该桥洞，情形如图（2），过点O作于点G， 延长交半圆O于点H，连接， 则米，米． 在中，由勾股定理得（米）． 米． ， 该船能通过该桥洞． 【分析】（1）由垂径定理可知，易得米，，于是，（米），再由可得答案； （2）如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米，由（1）易得米，则米， 解：（1）解：如图（1），过点O作于点E，则，． 连接，则米，，当箱子随水面上升1米，点H到线段的距离为2米，求出当木箱刚好通过该桥洞时，的长度，若该长度小于2，则此木箱能通过该桥洞，否则不能． ， （米）， （米）； （2）略 【点拨】本题主要考查垂径定理、勾股定理、特殊角的三角函数值、含30度角的直角三角形性质、矩形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 24．（本小题满分12分）（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，均为格点． 【操作探究】 （1）在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段，，相交于点，并给出部分说理过程．请你补充完整； 解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，． 在中， ． 又因为， 所以 ． 所以． 因为， 所以， 所以， 即． 【拓展应用】 （2）如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点，使，写出作法画出图，并给出证明． 【答案】（1）解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，． 在中，，． 又因为， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 即． （2）取格点，作射线交于点P，点P即为所求作； ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查作图-应用与设计，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意及全等三角形的判定证明即可； （2）取格点，作射线交于点P，则根据垂径定理可知，点P即为所求作，然后利用正切函数及垂径定理证明即可． 解：（1）略 （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 圆的对称性（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆的对称性 1 【知识点二】圆心角、弧、弦之间的关系 2 【知识点三】圆心角与弧的度数关系 3 【知识点四】垂径定理及其推论 3 二.题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】圆的对称性辨析 4 【题型 2】圆心角、弧、弦关系辨析 5 【题型 3】圆心角与垂径定理辨析 6 【题型 3】圆心角、弧、弦关系的证明与计算 6 【题型 4】圆心角与弧度数换算计算 7 【题型 5】垂径定理勾股定理计算（高频必考） 8 【题型 6】垂径定理综合求值证明 9 三.题型精析（综合提升） 10 【题型 7】圆心角与垂径定理综合求值 10 【题型 8】垂径定理与图形变换综合求值 12 四.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 17 一.知识梳理与解读 【知识点一】圆的对称性 1. 轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 2. 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与自身完全重合。该性质是圆心角、弧、弦关系定理的推导基础，是圆的核心特殊性质。 【要点提示】 （1）圆的对称轴是直线，直径是线段，不能说“直径是圆的对称轴”； （2）圆绕圆心旋转180°可与自身重合，满足中心对称图形定义； （3）所有多边形不具备任意角度旋转重合的性质，旋转不变性是圆独有的特征。 【知识点二】圆心角、弧、弦之间的关系 1. 等弧定义：我们把可以重合的弧叫等弧。 2. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3. 定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量中，有一组量相等，其余两组对应量全部相等，简称“知一推二”。 列表表示如下： 定理及推论 图示 几何语言 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在☉o中， ， 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量中，有一组量相等，其余两组对应量全部相等， 【要点提示】 （1）定理与推论的唯一前提：同圆或等圆，不同圆的圆心角、弧、弦无必然相等关系； （2）等量对应遵循：劣弧对劣弧、优弧对优弧，不可交叉等价； （3）本定理是圆中证明弦相等、弧相等、圆心角相等的最常用依据。 【知识点三】圆心角与弧的度数关系 1. 性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数。将圆周360°等分，1°的圆心角对应1°的弧，的圆心角对应的弧。 【要点提示】 （1）仅度数相等，圆心角（角）和弧（曲线）是不同几何图形，不能直接等同； （2）可实现角度与弧度数的相互转化，是圆中角度计算的重要方法。 【知识点四】垂径定理及其推论 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 符号语言：若是直径，于点，则，，。 2. 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 列表表示如下： 定理及推论 图示 几何语言 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 在☉o中 ， 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 在☉o中 【要点提示】 （1）推论限定“弦不是直径”：任意两条直径互相平分，但不一定垂直，不满足垂直关系； （2）核心计算模型：半径、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理：； （3）五条件知二推三：过圆心、垂直弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧，满足任意两个可推出其余三个（直径平分直径除外）。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】圆的对称性辨析 核心考点：区分圆的轴对称、中心对称性质，规避概念易错点。 【例题1】（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，正六边形内接于，交于点，连接，则下列三角形中，与关于点成中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）圆是（ ）图形. A．中心对称 B．轴对称 C．中心对称和轴对称 D．以上都不对 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·期末）在⊙O中有两个三角形：和，点A，B，C，D依次在⊙O上，如图所示．若这两个三角形关于过点O的直线l成轴对称，则点B关于直线l的对称点是____________． 【题型 2】圆心角、弧、弦关系辨析 【例题2】（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的弧所对的圆心角相等 C．相等的弦所对的弦心距相等 D．弦心距相等，则弦相等 【题型 3】圆心角与垂径定理辨析 【例题3】2026·上海松江·二模）已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【变式1】（24-25九年级下·上海·阶段检测）下列命题中，假命题是（　　） A．如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 B．如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 C．如果一条直线垂直平分一条弦，那么这条直线一定经过圆心 D．如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线平分这条弦 【变式2】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．相等的弦所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦 C．长度相等的两条弧是等弧 D．等弧所对的圆周角相等 【题型 3】圆心角、弧、弦关系的证明与计算 核心考点：利用“知一推二”定理，求解角度、证明线段和弧相等。 【例题3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，点，在上，且点，在的异侧，连接，，．若所对圆心角的度数为70°，且，求所对圆心角的度数．    【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建·期末）如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【变式3】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点，在上，于点，于点，．求证：． 【题型 4】圆心角与弧度数换算计算 核心考点：利用圆心角度数与对应弧的度数相等，完成互化计算。 【例题4】（2024·吉林长春·一模）在等边中，，以A为圆心，2为半径画的． （1）【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） （2）【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． （3）【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【变式3】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结．设交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【题型 5】垂径定理勾股定理计算（高频必考） 核心考点：构造直角三角形，结合勾股定理求半径、弦长、弦心距。 【例题5】（2026·广东·一模）如图，在中，半径为5， （1）请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； （2）求的长． 【变式1】（2026·广西百色·三模）如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·湖南株洲·期中）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图1，在中，，且，垂足为点E． （1）求证：； （2）如图2，连接，当，，求的长度． 【题型 6】垂径定理综合求值证明 【例题6】（2026·广东汕头·二模）如图，内接于，是的直径． （1）尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 【变式1】（2026九年级下·甘肃临夏·学业考试）如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 【变式3】（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 三.题型精析（综合提升） 【题型 7】圆心角与垂径定理综合求值 【例题7】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知的直径，弦与弦相交于点，且，垂足为． （1）如图，若，求弦的长． （2）如图，若为弦的中点， ①求证：． ②求的值． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【变式3】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在⊙O中，． （1）若，求的度数； （2）若，，求⊙O的半径． 【题型 8】垂径定理与图形变换综合求值 【例题8】（2025·河北沧州·一模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，表示筒车的外轮廓，筒车的涉水宽度为，涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离）为． （1）①在图中，请用无刻度的直尺和圆规作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； ②求出该筒车的半径长； （2）筒车工作时，筒车上的每一个盛水筒都按顺时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．若上处的某盛水筒到水面的距离为，经过35秒后，该盛水筒旋转到点处，则旋转后该盛水筒的竖直高度下降了多少?（结果保留根号） 【变式1】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心O，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则____________．    【变式3】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为． （1）如图1，当与相切于时． ①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案 ． 甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为； 乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心． A．甲正确   B．乙正确   C．甲乙都正确       D．都不正确 ②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数． （2）如图2，当经过圆心时，求的长； （3）如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）下列说法错误的是（   ） A．同圆中相等的圆心角所对的弧相等 B．同圆中相等的弦所对的弧相等 C．同圆中相等的圆周角所对的弧相等 D．同圆中相等的弧所对的弦相等 2．（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）如图的直径为10，圆心到弦的距离的长为4，则弦的长是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 4．（2026·河南许昌·一模）如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 6．（24-25九年级下·广西防城港·阶段检测）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河南南阳·三模）如图，是的弦，交于点，点是上弦上方的一点，连接，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·广东汕头·三模）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·天津·阶段检测）“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（    ） A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 12．（25-26九年级上·广东韶关·期中）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为______．    13．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在扇形中，点C、D在上，连接、交于点E，若，的度数为，则______°． 14．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，的直径，弦于点，若，则___． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 16．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为______． 17．（2026·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 18．（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在上，点是的中点，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 21．（本小题满分10分）（2025九年级上·山东·专题练习）如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． （1）证明：； （2）试猜想与之间的数量关系，并证明． 22．（本小题满分10分）（2026·浙江温州·二模）如图，是的直径，弦于点，延长至点，使得．过点作的切线，交延长线于点，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若半径为5，，求的长． 23．（本小题满分10分）（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． （1）求的长． （2）一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 24．（本小题满分12分）（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，均为格点． 【操作探究】 （1）在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段，，相交于点，并给出部分说理过程．请你补充完整； 解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是和． 在中，，． 在中， ． 又因为， 所以 ． 所以． 因为， 所以， 所以， 即． 【拓展应用】 （2）如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点，使，写出作法画出图，并给出证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $