3.3 圆的对称性 课时2 垂径定理（教学课件）2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“垂径定理”，通过《九章算术》“圆材埋壁”问题导入，结合温故知新中轴对称图形、等腰三角形“三线合一”及勾股定理，搭建新旧知识支架，引导学生自然衔接学习。 其亮点在于以“操作—观察—猜想—证明”探究过程培养推理能力，用古代数学问题和实例发展模型意识与应用意识，辅助线方法及易错提醒强化几何直观。学生能深化理解与应用，教师可高效开展教学。

第三章 圆 3.3 圆的对称性 3.3.2 垂径定理 学习目标 过程与方法 知识与技能 掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 能运用垂径定理进行相关的证明和计算 能运用垂径定理解决实际问题 经历“操作—观察—猜想—证明”的过程，体会转化思想在几何证明中的应用 02 01 课前自主·知识预习奠基 轴对称图形的概念 等腰三角形“三线合一”的性质（底边上的高、中线、顶角平分线互相重合） 勾股定理及其应用 温故知新 古代工匠在建造大型木质建筑时，常会遇到一根巨木埋入墙中，不知道它的粗细，却需要根据它来设计榫卯结构。我国古代数学名著《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：一根圆柱形木材，埋入墙中，不知直径大小，用锯去锯它，锯入深度为1寸，锯道的长度为1尺（10寸），问这根木材的直径是多少？ 情境导入 问题：只知道锯入深度和锯道长度，真的能算出直径吗？这里面藏着什么几何奥秘？ 活动探究：圆的轴对称性 (1)(2)：在透明纸上画和直径AB，将沿直径AB对折 发现：圆上、下两部分完全重合 结论：圆是轴对称图形，直径AB所在的直线是它的对称轴 活动探究：圆的轴对称性 (3)：任意画的一条弦CD，使，垂足为P 问题：点C、D关于AB对称吗？图中还有哪些关于AB对称的点？ 发现：C与D关于AB对称，A与B关于圆心O对称（即A点与自身、B点与自身对称） 结论：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴 新知讲解：垂径定理 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为P。连接OC、OD 在△OCD中： ∵ OC = OD（同圆半径相等），OP⊥CD ∴ PC = PD（等腰三角形“三线合一”），∠BOC = ∠BOD ∴ ∠AOC = ∠AOD（等角的补角相等） 由圆心角、弧、弦关系定理可得： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 新知讲解：垂径定理的三种语言 文字语言：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 图形语言：如图，AB是直径，于点P → CP = DP， 符号语言： ∵ AB是的直径，，垂足为P， ∴ 新知讲解：垂径定理的推论 如果一条直径平分一条弦（非直径），那么它是否垂直于这条弦？是否平分弦所对的两条弧？ 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 特别说明：如果被平分的弦是直径，那么两条直径互相平分，但结论不一定成立（两条直径互相平分但不一定垂直） 例题 1 如图，CD为的直径，弦，垂足为E，CE = 1，AB = 10。求直径CD的长。 背景介绍：这其实就是《九章算术》中的“圆材埋壁”问题——“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 例题 1 连接OA。设，则。 ∵ ， ∴ （垂径定理）。 在中，。 ∴ 。 解这个方程，得。 ∴ 。 答：直径的长为26。 方法归纳：在圆中求半径或弦长，常连接半径构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解 例题 2 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D。 求证：AC = BD。 过点O作OE⊥AB，垂足为E。 ∵ OE⊥AB， ∴ AE = BE，CE = DE（垂径定理）， ∴ AE - CE = BE - DE， 即 AC = BD。 新知讲解：垂径定理常用辅助线 方法总结： 连半径构造直角三角形（半径作斜边） 过圆心作弦的垂线，垂足平分弦 基本图形（“直角三角形”模型）： 半径R、弦长的一半a、弦心距d构成直角三角形 关系： 垂径定理中的“直径”是过圆心的直线（弦所在直线），理解成线段也可以 2. 定理中的弦不能是直径（直径被平分但不一定垂直于另一条直径） 3. 运用垂径定理时，常需连接半径构造直角三角形，不要忘记连接辅助线 4. 利用垂径定理求值时，注意方程中r的表达式要正确 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 如图，点 O 是正方形网格中的格点，点 是以 O 为圆心的圆与网格线的交点，直线 m 经过点 O 与点 ，则点 P 关于直线 m 的对称点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 2. 如图，在 中，弦 AB 的长为 4，圆心到弦 AB 的距离 OC 为 2，则 的半径长是（ ） A. 1 B. C. D. 4 D C 基础过关练 3. 如图，在中，直径AB 的长是26，弦CD⊥AB交AB于点E，若OE=5，则CD的长为______。 4. 如图，AB 是 的直径，弦 CD 交 AB 于 E 点，BE=1，AE=5，，则 CD 的长为 。 24 课后测评·学业效果巩固 1. 如图，，边 BA 上有一点 D，DB=6，以点 D 为圆心，DB 长为半径作弧交 BC 于点 E，则 BE 的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 课后测评 【解析】如图，过点 D 作 于 F，则 .在 中，... 故选 C. C 2. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小（O 为圆心，连接 OA, OE，OE 与 AB 交于点 D）.用锯去锯这根木材，锯口深 ED=1 寸，锯道长 AB=1 尺（1尺 = 10寸），那么这根圆柱形木材的直径是（ ） A. 6寸 B. 寸 C. 13寸 D. 26寸 课后测评 D 课后测评 【解析】根据题意可得 . 是 的半径，AB=1 尺 = 10 寸，（寸）. 设半径 寸. 寸， 寸. 在 中，，即 ，解得 . 木材的直径为 （寸）. 故选 D. 3. 如图， 的半径为 4，将劣弧沿弦 AB 翻折，恰好经过圆心 O，点 C 为优弧 AB 上的一个动点，则 面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 课后测评 A 课后测评 【解析】如图，过点 O 作 于 H，交弧 AB 于点 M，连接 AO, CO。 当点 C 运动到优弧 AB 中点时，C, O, H 三点共线，则 中，以 AB 为底，高为 CO + OH，此时 的面积最大。 点 C 运动到优弧 AB 中点，，且 AH = HB。 将劣弧沿弦 AB 翻折，恰好经过圆心 O，。 的半径为 4，。 在 中，利用勾股定理得 。。， 。故选 A。 4. 如图，点 M 在 的直径 AB 上，作正方形 MCDE 和正方形 MFGH，其中点 D，G 在直径 AB 所在直线上，点 C，E，F，H 都在 上。若两个正方形的面积之和为 2a，，则 的值是 。（用含 a 的代数式表示） 课后测评 a-2 课后测评 【解析】作 于 K，如图。设正方形 MFGH 的边长是 x。 四边形 MCDE 是正方形，。 是等腰直角三角形， 。 。 。 两个正方形的面积之和为，化简得 。 。。故答案为 。 5. 一条弦 AB 把圆的直径分为 3 和 7 两部分，弦和直径相交成 角，则 AB 的长为 . 课后测评 课后测评 【解析】根据题意画图如图所示，DE 为 的直径，AB 为 的弦，连接 OA，OB，过点 O 作 于点 H。 弦 AB 将直径分成 3 和 7 两部分，，即 的半径为 5。。 弦 AB 和直径 DE 相交成 角，。。 在 中，由勾股定理得 。 。 6. 如图，AB 是 的一条弦， 于点 C，交 于点 D，点 E 在 上，连接 DE. (1) 若点 B 是 的中点，求证：AB = DE； (2) 若 CD=4，AB=16，求 的半径 r. 课后测评 课后测评 【解析】(1) . 点 B 是 的中点，. ... (2) 如图，连接 OA. 的半径为 r，. . 在 中，，解得 . 的半径为 10 7. 如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，连接 OD，CD // AB，AB=10 米， 于点 E，OE : CD = 3 : 8. (1) 求 CD 的长； (2) 若水位以 0.4米/时 的速度上升，则经过多长时间桥洞会被灌满？ 课后测评 课后测评 【解析】(1) 米， 米.. . 设 米，则 米. 在 中，由勾股定理得 ，解得 （负值已舍去）. 米. 米. (2) 由 (1) 得 OE=3 米.如图，延长 OE 交半圆 O 于点 F，（米）. （时）. 课堂小结 第三章 圆 3.3 圆的对称性 3.3.2 垂径定理 $