3.1 圆的相关概念（第1课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆的定义、圆心、半径及基本性质，从生活圆形切入，通过圆规或细绳画圆操作，让学生直观体会“圆心固定、半径不变”，完成从感性到抽象定义的过渡，衔接已学几何知识，为后续推理奠基。 此设计以“情境-操作-抽象-应用”为主线，通过动手画圆培养几何直观与抽象能力（数学眼光），例题“等腰三角形证明”“矩形四点共圆”运用半径相等推理培养推理意识（数学思维），符号“⊙O”规范表达（数学语言），助力学生形成“找圆心-比距离”思维，教师可借分层练习提升教学效率。

3.1 圆的相关概念（1） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版九年级上册第三章《圆》3.1 圆的相关概念（1）——圆的定义、圆心、半径及其基本性质。核心知识点： 1.圆的定义——“平面内到一定点的距离等于定长的点的集合”； 2.圆心、半径的含义及确定圆的两个要素； 3.圆的符号表示“”； 4.性质：同圆或等圆的半径相等，并能用于线段等长证明、共圆判定。 2.内容解析 本节从生活中常见圆形切入，通过“用圆规或细绳作圆”的操作，让学生直观体会“圆心固定、半径不变”的本质特征，完成从感性认识到抽象定义的过渡。随后用“集合”语言给出严格定义，落实“定点→圆心、定长→半径”的概念对应，凸显“要确定一个圆，只需位置与大小”这一思维高度。引入符号“”既满足数学表达规范，也为后续圆的性质与推理奠基。通过例题“ 等腰”与“矩形四点共圆”展示“同圆半径相等”在证明线段相等、判定共圆中的价值，初步培养学生“找圆心——比距离”的几何思维。整节课概念链条清晰：情境——操作——抽象——应用，既突出知识生成逻辑，又服务于几何推理能力的形成。 1.教学目标 •理解圆的定义，能准确说出圆心、半径的含义。 •掌握圆的表示方法，能用“”正确表示以点 为圆心的圆。 •能运用“同圆的半径相等”进行简单的几何推理。 2.目标解析 •学生能复述定义并指出“定点”“定长”的对应关系；课堂口答正确率≥85%。 •在练习中能用符号描述圆，如“作 ”，书写、读法均正确；作业正确率≥90%。 • 面对“已知若干点是否共圆”“证明线段等长”等情境，能主动寻找圆心并列式 等，完成基本推理步骤，至少70%的学生能独立完成例题级任务。 3.重点难点 • 教学重点：圆的定义及圆心、半径的本质含义。 • 教学难点：从操作活动中抽象出“集合”定义的思维提升。 九年级学生已系统学习过线段、角、三角形及其全等判定，具备基本几何语言与推理能力，对“距离相等”已不陌生，因而圆的定义较易接受。易点：• 通过圆规作图，学生能直观理解“圆心不动、半径一定”。• 记忆符号“”难度小。难点：• 把“同圆半径相等”转化为证明工具，需要将“找圆心—连线—比距离”内化为策略；• 对“集合”表述的抽象理解仍显薄弱，需借助多媒体与动手操作巩固。部分学生空间想象与逻辑表达能力差异较大，教师应通过分层提问、板书演示与小组讨论，帮助学生完成由直观到抽象、由概念到应用的知识迁移。 创设情景，引入新课 情景引入： 自古以来，圆象征着完美、和谐．生活中，圆的形象处处可见． 你能给圆下一个定义吗？圆有哪些独特的性质呢？ 【设计意图】通过贴近生活的真实场景，引发学生对“圆”本质属性的直观体验，激发学习兴趣，同时为后续对“圆的定义、圆心、半径”的抽象概念建构奠定感性基础。 探究点：圆的定义、圆心、半径与符号表示 1.操作思考 请同学们用圆规或一根定长的细绳在练习本上画一个圆，在画圆的过程中，思考“画圆时，什么是固定不动的？什么长度是始终保持不变的？”． 在画圆的过程中，你还有哪些发现？ 圆心固定不动，半径的长度不变． 2.获取新知 通过画圆的过程可以发现，圆上的点到一定点的距离都相等，到一定点的距离相等的点都在同一个圆上． 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆（circle）． 定点叫作圆心（centre of circle），定长叫作半径（radius）． 3.概念辨析 ①确定一个圆需要几个要素？ 圆心：决定圆的位置； 半径：决定圆的大小． 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 如图，点O是圆心，线段OP是半径． ②在⊙O中，再任取圆上一点A，连接OA，OA和OP长度相等吗？ 依据定义，OA、OP都是圆心到圆上点的定长，因此OA＝OP． 同一个圆中，所有半径长度相等． 4.知识链接 墨子（战国时期） 每个圆只有一个中心点， （约公元前372—公元前289年） 从圆心到圆上作线段，长度都相等. 欧几里得（希腊） 由一条线包围着的平面图形，其内有一点与 （约公元前330—公元前275年） 这条线上任何一个点所连成的线段都相等. 5.典例分析 例1 如图，A，B是⊙O上的两点，点O，A，B不在一条直线上，连接OA，OB，AB． 求证：△OAB是等腰三角形． 证明：∵ A，B 是⊙O上的两点， ∴ OA＝OB（圆的定义）． ∴ △OAB 是等腰三角形． 练一练 如图，矩形ABCD的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，指出圆心和半径． 解：矩形ABCD的四个顶点在同一个圆上． 理由如下：设矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O． ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC＝BD，且OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴ OA＝OB＝OC＝OD． ∴点 A、B、C、D 在以点 O 为圆心，OA长为半径的圆上． 即：圆心是对角线 AC、BD 的交点，半径为对角线长度的一半． 判断共圆的关键：找一点，使其到各点的距离相等． 【设计意图】通过“现实问题→数学抽象”的链条，让学生亲历概念形成过程，突破“圆＝集合”的理解难点，培养抽象概括能力。 1．分别在两个边长给定的正方形中画出下列图形． 解：以正方形对角线的交点为圆心，以边长的一半为半径画圆． 解：分别以正方形的四个顶点为圆心，以边长的一半为半径，在正方形内部画四分之一圆弧． 2.一个直角三角形的三个顶点在同一个圆上吗？为什么？ 解：一个直角三角形的三个顶点在同一个圆上． 理由如下：如图，取斜边中点D，连接CD． ∵ △ABC是直角三角形，点D是斜边AB的中点， ∴ CD＝AB，BD＝AD＝AB， ∴ AD＝BD＝CD． ∴点 A、B、C 在以点 D 为圆心，CD长为半径的圆上． 拓展提升 1. 如图，BD，CE是△ABC的高，M是边BC的中点．点B，C，D，E是否在以点 M 为圆心的同一个圆上？为什么？ 解：连接DM，EM． ∵ BD，CE是△ABC的高， ∴ △BCD和△BCE都是直角三角形． ∵ DM，EM分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线， ∴ DM＝BC，EM＝BC，BM＝CM＝BC， ∴ BM＝CM＝DM＝EM． ∴ 点 B，C，D，E 在以点 M 为圆心的同一个圆上． 2．如图，分别以线段 AB 的两个端点为圆心，AB长为半径画圆，两圆的交点为 C，D，连接AC，BC，AD，BD．判断 △ABC 和四边形ADBC的形状，并说明理由． 解：△ABC是等边三角形，四边形ADBC是菱形． 理由如下： 由题意，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆， 得 AC＝AB (⊙A的半径)，BC＝AB (⊙B的半径)， ∴ AC＝AB＝BC， ∴ △ABC是等边三角形． 同理，AD＝AB＝BD， ∴ AC＝BC＝AD＝BD， ∴ 四边形ADBC是菱形． 【设计意图】配合课本“新知巩固”题目，立即操作绘图与口头论证，让学生在动手与思考中再次体验“圆心决定位置、半径决定大小”和“同圆的半径相等”两大核心要点。 主板书 3.1 圆的相关概念（1） 探究点 圆的定义、圆心、半径与符号表示 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $