高中数学单元测试——第一章空间向量与立体几何（适中版01）

**基本信息** 高中数学第一章空间向量与立体几何单元复习卷，覆盖空间向量运算、立体几何证明与计算，注重空间观念与推理能力，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系、基底、共线向量|基础概念辨析，如对称点坐标、基底判断| |多选题|3/18|平行六面体向量、法向量应用|多选项设计，考查向量相等、线面关系判断| |填空题|3/15|向量模长、夹角、二面角|情境化计算，如二面角中向量数量积| |解答题|5/77|空间向量表示、面面垂直、线面角、距离|综合应用，如正方体中证明面面垂直、求异面直线夹角，体现运算与推理能力|

高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 5．（本题5分）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．（本题5分）空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（本题6分）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分），分别为空间内不重合的两平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与共线 D．当时，与相交 11．（本题6分）如图，棱长均为2的正三棱柱中，M、N分别是AB、的中点，则（   ）    A．平面 B． C．平面平面 D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题 12．（本题5分）在空间直角坐标系中，已知点，则__________. 13．（本题5分）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 14．（本题5分）如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 16．（本题15分）如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值； 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 18．（本题17分）如图，在正四棱锥中，，E，F分别为，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若平面与棱交于点M，求的值． 19．（本题17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 空间向量与立体几何（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于原点对称的两点间的关系直接求解. 【详解】因为点， 所以点关于原点对称的点的坐标为. 故选：C 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加减法的法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 3．（本题5分）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面， 因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确； 对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误； 对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误； 对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误； 故选：A 4．（本题5分）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 5．（本题5分）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 6．（本题5分）空间中，若向量，，共面，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据，，共面，所以存在，使得，列出方程组，可求的值. 【详解】因为，，共面，所以存在，使得， 所以. 故选：C 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据平面外一点到平面的距离公式代入计算解方程即可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由题意可知，即， 解得或； 所以点的坐标为或. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果. 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD.    10．（本题6分），分别为空间内不重合的两平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，与共线 D．当时，与相交 【答案】ACD 【分析】根据空间中线面的位置关系，结合向量运算关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，因为，所以，故与共线， 由，知与共线，故B错误； 对于C，因为，所以，故可设， 故，可知与共线，故C正确； 对于D，因为，所以，显然与不共线， 于是与不共线，故显然两平面不平行， 故二者只能相交，故D正确． 故选：ACD． 11．（本题6分）如图，棱长均为2的正三棱柱中，M、N分别是AB、的中点，则（   ）    A．平面 B． C．平面平面 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项的准确性． 【详解】如图，以中点为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系．    则，，，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为， 则即，故可取； 对于A，因为，所以与平面不平行，故A错误； 对于B，因为，则有，故B正确； 对于C，因为， 由，可得， 又平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 由，可知平面平面，故C正确； 对于D，因，， 设直线与所成的角为， 则，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．（本题5分）在空间直角坐标系中，已知点，则__________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标表示，表示出向量，再计算其模. 【详解】. 故答案为： 13．（本题5分）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】利用数量积大于0求解，即可去除同向共线时的情况求解. 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 14．（本题5分）如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则__________. 【答案】 【分析】依题意，可得，，及，再由空间向量的数量积公式与模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以. 由，得. 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）点为的中点，， ， ． （2），由（1）得 ． 16．（本题15分）如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量垂直证明， （2）求解法向量和方向向量，即可利用向量的夹角求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 则, 设平面的法向量为，则 取， 设平面的法向量为 取，则， 由于，故， 所以平面平面； （2）, 设平面的法向量为， 则取，则， 设直线与平面所成角为, 则 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求平行线的距离. （2）利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为正方体棱长为1，所以，，，，. 所以，， 因为，所以. 又，所以点到直线的距离为： . （2）因为，所以，. 设平面的法向量为， 则，可取； 因为，所以. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的角为， 则 18．（本题17分）如图，在正四棱锥中，，E，F分别为，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若平面与棱交于点M，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，进而通过空间向量的夹角运算求出答案； （2）设，求出平面AEF的法向量，进而通过求出，最后得到答案. 【详解】（1）解：根据题意，设正四棱锥的棱长为4，易得，如图，以O为原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则， 所以，则，所以异面直线与所成角的余弦值为：. （2）解：由（1），,,， 设平面AEF的法向量，则，令x=1，则，连接AM，设，则， 由,所以. 19．（本题17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. (2)1 (3)存在， 【分析】（1）如图，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角系，利用空间向量法求解点面距即可； （3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）略 （2）由已知得，，，， ，， 又平面，平面， 所以，建立如图空间直角系. 则，，，，，. 显然平面的法向量，， 点到平面的距离. （3）假设存在点满足题意，令，，则， 显然平面的法向量，设平面的法向量为 由，取， ， 即，解得. ，，. 记与平面所成角为， 则. 存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $