2026年高一数学秋季开学分班·学情自测卷（北师大版必修一预备知识：集合与常用逻辑用语+不等式）

**基本信息** 2026年秋季高一开学数学学情自测卷，聚焦北师大版必修一预备知识，通过文化情境（如毛泽东诗句考充分必要条件）、实际问题（劳动课程报名统计、无盖盒子容积优化）设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、不等式最值|第3题结合诗句考条件关系，体现文化传承| |多选|3/18|集合性质、充要条件判断、均值不等式|第10题电路情境考充要条件，关联生活实际| |填空|3/15|不等式解集、代数式取值范围、创新集合运算|第14题定义新运算，考查数学抽象| |解答|5/77|含参不等式、集合关系、函数应用、均值不等式证明|第19题结合数学史与实际建模，培养应用意识与推理能力|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高一开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高一开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版2019必修一第一章 预备知识 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 2．设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 8．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．空集是任意一个集合的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．的近似值的全体构成一个集合 10．如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．关于实数x的不等式的解集是________． 13．已知，则的取值范围为______ 14．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 16．（15分） 已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知函数． (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19．（17分） 对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． (1)请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； (2)写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； (3)如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版2019必修一第一章 预备知识 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 2．设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 5．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 8．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．空集是任意一个集合的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．的近似值的全体构成一个集合 10．如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．关于实数x的不等式的解集是________． 13．已知，则的取值范围为______ 14．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 16．（15分） 已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知函数． (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 19．（17分） 对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． (1)请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； (2)写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； (3)如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B C C D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】（1）；（2）或． 【详解】（1）若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即．（5分） （2）若为假命题，由（1）知，（7分） 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，．（12分） 至少有一个是真命题时，或．（13分） 16．（15分） 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集，（1分） 当时，由，可得；（3分） 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，．（6分） 综上，实数m的取值范围为．（7分） （2）若时，当时，即，可得；（10分） 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，（14分） 时, .(15分) 17．（15分） 【答案】（1）2或3；（2） 【详解】（1）由得或，所以，（2分） 由得或，所以，（4分） 因为，所以， 所以或，所以或.(6分) （2）因为，所以，（7分） 当时，，解得，（8分） 当时，，无解，（10分） 当时，，解得，（12分） 当时，，无解，（14分） 综上，实数m的取值范围是.(15分) 18．（17分） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 得， 综上可得，的取值范围是.(5分) （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为； 当时，或， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.(12分) （3）由题可知关于的方程有四个不同实根，令， 则关于的方程有两个不同正根， 则，可得； 故实数的取值范围是．（17分） 19．（17分） 【答案】(1) (2)，其中，， (3)切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大. 【详解】（1）由题意得 所以时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.（5分） （2）由题意可知，当时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，， 当且仅当时，等号成立.（7分） 证明： 所以，，当且仅当时，等号成立. 根据题意，可设，，， 用，，替换，，可得， 当且仅当时，等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立.（12分） （3）设小正方形的边长为，则盒子的高，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为.(17分) ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高一开学学情自测卷 ·: 数学 .: (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： : : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：北师大版2019必修一第一章预备知识 O O : 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 : 1.下列关于命题“若实数x>1,则2x+1>5"的否定，正确的是() A.若x>1,则2x+1≤5 : B.任意实数x,满足x>1,则2x+1≤5 C.存在一个实数x,满足x>1,则2x+1≤5 D.存在一个实数x,满足x≤1，则2x+1≤5 : 2.设全集U={xx是小于8的自然数}，集合A={2,4,6},B={2,3,6,7},则(C,B)nA=() A.4 B.{2,6 c.{2,4} D.{4,5,6} 然 3.毛泽东同志在《清平乐六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句 为真命题，则“到长城”是“好汉”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 : C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 4.已知0<x<2,则y=2x√4-x2取最大值时x的值为() : A.1 B.√2-1 c.5 D.2-5 班 5.设a、b是实数，集合A={1,b,a},B={-1,2+b,2a+3},若A=B,则a+b2027的值为() . A.-4 B.0 C.2 D.4 6.已知关于x的不等式x2+x-2>0的解集为(-m-2刘行+， 则不等式1≤1的解集为() b-x 试题第1页（共6页） : 6学科网·上好课 A. B. D. 7.若两个正实数x,y满足4x+y=y,且存在这样的x,y使不等式x+兰<m+3m有解，则实数m的取 4 值范围是() A.-1<m<4 B.-4<<1 C.m<-4或m>1 D.<-3或>0 8.为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、A虹技术培训3类拓 展课程.高三某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参加劳动实践，有18人报名参加研 学参观，有14人报名参加AI技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参 观和AI技术培训的有5人，只参加AI技术培训的人数为() A.5 B.6 C.8 D.10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.空集是任意一个集合的真子集 B.集合{a,b}共有4个子集 C.集合{xx=3n+l,n∈Z={xx=3n-2,neZ D.√的近似值的全体构成一个集合 10.如图所示的电路中，“开关S闭合”是“灯泡L亮”的充要条件的电路图是() 11.已知a>0,b>0, 1+2-1- ab, 则下列选项正确的是() a b A.b>2 B.4a+b的最小值为4N5+6 试题第2页（共6页） 66学科网·上好课 。62的最小值为2 C. D.(2a-1)b最小值为45+8 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.关于实数x的不等式-x-3x-O “(x-2)(x-4)(x-5) ≥0的解集是 13.已知1≤2x-y≤2，-1≤2x+3y≤1，则6x+y的取值范围为 14.定义集合的⑧运算：己知集合A,B,则A⑧B= x= b,aeAb∈B. 若集合A=红，，B={2,} 则集合A⑧B的真子集个数的取值集合是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 设命题卫：对x∈{x1≤x≤3}，不等式x2-4x+2+m>0恒成立；命题q:x∈{x-1≤x≤1}，使得不等式 1 X4十m≤0成立. (1)若P为真命题，求实数m的取值范围： (2)若命题P,q至少有一个是真命题，求实数m的取值范围. 16.(15分) 已知集合A={x-1≤x≤6}，集合B={xm+1≤x≤2m-1,m∈R} (1)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若A∩B=☑，求实数m的取值范围. 17.(15分) 已知集合A={xx2-3x+2=0},B={xx2-ax+a-1=0},C={xx2+2(m+1)x+m2-5=0}. (1)若A∩B=B,求实数a的值： (2)若A⌒C=C,求实数m的取值范围. 试题第3页（共6页） 18.(17分) 己知函数y=2-（a+2)x+2,a∈R. (1)y<3-2x对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围： (2)求不等式y≥0的解集： (3)若使关于x的方程x-（a+2)x+2=3有四个不同的实根，求实数a的取值范围. : : 19.(17分) 对于基本不等式，即当a>0,b>0时有叶也≥b(当且仅当a=b时不等式取“”)，我们称a+也为正数 2 游 数 α，b的算术平均数，√b为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.这只 : 是均值不等式的一个简化版本.均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由Chebycheff在1882年发表的论 文中首次提出，均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式.它的基本形 式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系.它表明：n个正数x,x2,x3…x,的 平方平均数 +号++￡大于等于它们的算术平均数当++多+…+五大于等于几何平均数 n 刊%xx3…x大于等于调和平均数11 ,11,且当1，，3…x这些数全部相等时，等号成立。 E肉 十…十 12n 4 ()请直接运用上述不等式链中某个”的情形求y=+(>0)的最小值： (2)写出=3时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明： : : (3)如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无 : 盖的方底盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ : 试题第4页（共6页） : 2026年秋季高一开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【答案】C 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 2．设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以， 所以． 3．毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 4．已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 5．设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 6．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或，结合，最终解集为. 7．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由题设，则， 当且仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，则， 所以或. 故选：C 8．为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．空集是任意一个集合的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．的近似值的全体构成一个集合 【答案】BC 【详解】对于A，空集是任意一个非空集合的真子集，故A错误； 对于B，集合的子集有：，共有4个，故B正确； 对于C，因为，令， 则集合中元素为被3除余1的整数， 又集合中元素也为被3除余1的整数， 可得两集合相等，故C正确； 对于D，的近似值不明确，与集合中元素的确定性矛盾，故D错误； 故选：BC 10．如图所示的电路中，“开关闭合”是“灯泡亮”的充要条件的电路图是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，开关与另一个开关是并联电路，灯泡亮，不一定闭合，判断A错误； 对于B，开关与灯泡是串联电路，当灯泡亮，一定闭合，当开关闭合，灯泡亮，故B正确； 对于C，开关与灯泡以及另一个开关三者串联，当开关闭合时，灯泡不一定亮，故C错误； 对于D，当开关与灯泡是串联，当开关闭合时，灯泡亮，当灯泡亮时，开关闭合，故D正确. 故选：BD. 11．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．关于实数x的不等式的解集是________． 【答案】 【详解】， 即等价于且， 根据“穿针引线法”，可得解集为. 13．已知，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 14．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 【答案】 【详解】由集合中元素的互异性可得且． 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为． 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【详解】（1）若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即．（5分） （2）若为假命题，由（1）知，（7分） 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，．（12分） 至少有一个是真命题时，或．（13分） 16．（15分） 已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集，（1分） 当时，由，可得；（3分） 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，．（6分） 综上，实数m的取值范围为．（7分） （2）若时，当时，即，可得；（10分） 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，（14分） 时, .(15分) 17．（15分） 已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】（1）2或3；（2） 【详解】（1）由得或，所以，（2分） 由得或，所以，（4分） 因为，所以， 所以或，所以或.(6分) （2）因为，所以，（7分） 当时，，解得，（8分） 当时，，无解，（10分） 当时，，解得，（12分） 当时，，无解，（14分） 综上，实数m的取值范围是.(15分) 18．（17分） 已知函数． (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 得， 综上可得，的取值范围是.(5分) （2）由题，即， 当时，，所以不等式的解集为； 当时，或， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.(12分) （3）由题可知关于的方程有四个不同实根，令， 则关于的方程有两个不同正根， 则，可得； 故实数的取值范围是．（17分） 19．（17分） 对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． (1)请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； (2)写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； (3)如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】(1) (2)，其中，， (3)切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大. 【详解】（1）由题意得 所以时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.（5分） （2）由题意可知，当时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，， 当且仅当时，等号成立.（7分） 证明： 所以，，当且仅当时，等号成立. 根据题意，可设，，， 用，，替换，，可得， 当且仅当时，等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立.（12分） （3）设小正方形的边长为，则盒子的高，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为.(17分) 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高一开学学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 舒 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][BJ[C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 叔 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 相 12 14. 剂 请在各题目答题！内，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） (道9并)道9熊素谁 :※￥美号识海☒马的到狂毋盖用避‘号海☒酷号目酷艺安 (LI)'6I ;￥嵩品阳海习马的到班并母盖甲避‘易卦4海☒瑶品明目踞号平巢